1.0. Matemātiskā indukcija
MathematicalInduction:
Vispārīgu apgalvojumu pamatošana ar matemātisko indukciju - piemēram, apgalvojumi, kas spēkā jebkuram naturālam skaitlim $n$.
1.1. Indukcija ar soli 1
InductionWithStepOne:
Matemātiskā indukcija $k \rightarrow k+1$. Parāda, ka no induktīvā pieņēmuma $P(k)$ loģiski seko induktīvā pāreja $P(k+1)$.
1.2. Indukcija ar lielāku soli
InductionWithLargerStep:
Matemātiskā indukcija $k \rightarrow k+a$. Indukcijas solis, kas lielāks par $1$; šajā gadījumā arī indukcijas bāzei jābūt lielākai. Piemēram, viena spriedumu ķēdīte sāk ar $P(1)$ un pierāda apgalvojumu visiem nepāra skaitļiem; otra sāk ar $P(2)$ un pierāda apgalvojumu visiem pāra skaitļiem.
1.3. Kombinēts indukcijas solis
InductionWithCombinedStep:
Matemātiskā indukcija $k,k+1 \rightarrow k+2$ vai pēc līdzīgas saliktas shēmas. Piemēram, apgalvojumi par Fibonači skaitļiem un citām lineārām rekurencēm.
1.5. Divvirzienu indukcija
TwoDirectionalInduction:
Indukcijas spriedumi ar pārejām divās dimensijās un līdzīgi pamatojumi apgalvojumiem par naturālu skaitļu pāriem vai citām sanumurējamām kopām. Indukcija pēc skaitļu reizinājuma vai cita sarežģīta indukcijas parametra izvēle.
1.6. Strukturālā indukcija
InductionStructural:
Indukcija kokveida hierarhijā, algebriskā izteiksmē. Piemēram, apgalvojumu dotajai algebriskai izteiksmei reducē uz apgalvojumiem par tās apakšizteiksmēm; kombinatoriskas ģeometrijas uzdevumi, kurus reducē uz vienkāršākiem gadījumiem.
1.7. Induktīvas konstrukcijas
InductionConstructions:
Induktīvas konstrukcijas, kur atkārtojas vairāki līdzīgi soļi, lai sasniegtu vajadzīgo skaitu.
1.8. Induktīvās hipotēzes pastiprināšana
StrentheningInductiveHypothesis:
Indukcijas pierādījumi, kur jāstiprina apgalvojums un induktīvā hipotēze, lai varētu veikt pāreju. Paralēla indukcija, kur divas apgalvojumu virknītes izmanto hipotēzes viena no otras.
1.9. Bezgalīgā kritiena metode
InductionInfiniteDescent:
Labi sakārtotu kopu definīcijas izmantošana (katrā netukšā kopā ir mazākais elements) - induktīvs spriedums bezgalīgā kritiena formā.
2.0. Vidējās vērtības metode
MeanValuePrinciple:
Vērtību pierakstīšana atsevišķiem elementiem, šo vērtību summas un citu apkopotu datu izmantošana, lai novērtētu atsevišķos elementus. Dirihlē princips, ja elementu skaits par vienu pārsniedz kastu skaitu. Dirihlē principa vispārinājumi. Dirihlē principa izmantošana kombinatoriskajā ģeometrijā par laukumu pārklāšanu ar figūriņām un citiem figūru izvietojumiem.
**Algebrā:** Vidējās vērtības izmantošana dažādos novērtējumos.
**Kombinatorikā:** Dirihlē princips pierādot apgalvojumus.
**Ģeometrijā:** Uzdevumos par laukumu pārklāšanu ar figūriņām un citiem figūru izvietojumiem.par laukumu pārklāšanu ar figūriņām un citiem figūru izvietojumiem.
**Skaitļu teorijā:** Dirihlē princips attiecībā uz atlikumiem, sadalījumu pirmreizinātājos, skaitļu racionāliem tuvinājumiem un skaitļu izvietojuma blīvumu. Jaunu kopu definēšana, Dirihlē princips, salīdzinot vienādas vai dažādas galīgas kopas, galīgu un bezgalīgu kopu.
2.1. Dirihlē princips
PigeonholePrincipleBasic:
Risinājumi, kuros kopu sadala $N$ daļās un izvieto tajā $N+k$ objektus, lai parādītu, ka vismaz vienā kopā būs vismaz divi objekti.
2.2. Vispārinātais Dirihlē princips
PigeonholePrincipleGeneralized:
Risinājumi, kuros kopu dala $N$ daļās un izvieto tajā $M$ objektus, lai parādītu, ka vismaz vienā kopā būs $\lceil M/N \rceil$ objekti. Arī dažādu krāsu zeķu izvilkšana no atvilknēm un citas situācijas, kur objektu kategorijas ir atšķiramas, bet joprojām ir saskaitāmas.
2.4. Masas centru metode
MeanWeights:
Masas centra īpašības, masu grupēšana, inerces moments, baricentriskās koordinātes. Šajos risinājumos vidējai vērtībai piemīt telpiska vai vizuāla interpretācija, ko vēlāk var iztulkot atpakaļ par matemātisku rezultātu. Tāds piemērs ir arī Jensena nevienādība (par izliektas/ieliektas funkcijas vērtību vidējo aritmētisko vai svērtu vidējo). Ja vien pašā uzdevumā nav minēti masu centri utml., masas centru metode lietota kopā ar interpretāciju metodi un jāapzīmē abas divas.
3.0. Ekstrēmālā elementa metode
ExtremePrinciple:
Uzdevumi, kuru risinājumā izmantots lielākais vai elements, lai kaut ko secinātu par to. Ekstremālais elements vai nu tieši izmantojams atbildē vai palīdz pamatot kādu īpašību vai novērtējumu.
**Algebrā:** Nevienādību pamatošana izmantojot ekstremālos elementus vai sakārtojuma īpašības.
**Kombinatorikā:** Elementi ar ekstrēmālām īpašībām grafu un relāciju apgalvojumos.
**Ģeometrijā:** Lielākā/mazākā leņķa, attāluma, laukuma aplūkošana. Nogrieznis kā īsākais attālums, izliektā čaula kā mazākais daudzstūris.
**Skaitļu teorijā:** Risinājumi, kas izvēlas mazāko pirmreizinātāju, kopīgo dalītāju vai dalāmo. Sakārtotas skaitļu kopas īpašības. Optimizācijas uzdevumi veseliem skaitļiem.
3.1. Ekstremālie elementi
ExtremeElements:
Risinājumi, kuros izdala elekementu ar ekstremālu īpašību un izmanto to tālākos novērtējumos vai konstrukcijās.
3.2. Ekstremālas konstrukcijas
ExtremeConstructions:
Risinājumi, kuros konstruē jaunus objektus ar ekstrēmām īpašībām un izmantotas to īpašības. Piemēram punktu kopas izliektais apvalks, bināru attiecību transitīvais vai simetriskais slēgums, kopu saimes šķēlums, lielākais kopīgais dalāmais utml.
3.3. Elementu kārtošana
OrderingElements:
Risinājumi, kuros ekstremālos elementus aplūko ar mērķi sakārtot aplūkojamos datus, izmantojot dotu (vai risinātāja ieviestu) sakārtojuma attiecību.
4.0. Invariantu metode
InvariantMethod:
Uzdevumos ar pārveidojumu virkni vai spēles gājieniem ieviests nemainīgs lielums, kura vērtība pārveidojumu gaidā nemainās un kas atļauj iegūt pretrunu - neiespējamību nonākt vajadzīgajā stāvoklī. Vai pamatot uzvarošu spēles stratēģiju. Arī krāsojumi un citas palīgkonstrukcijas, kuru mērķis ir uzkonstruēt un pareizi saskaitīt kādu invariantu, pieder invariantu metodei.
**Algebrā:** Invariants var būt, piemēram, summa, reizinājums vai cita algebriska izteiksme.
**Ģeometrijā:** Invariants var būt, piemēram, laukums, garums vai orientācija.
**Skaitļu teorijā:** Invariants var būt, piemēram, paritāte vai kāda cita atlikuma vērtība.
4.1. Fiksēts invariants
FixedInvariant:
Risinājumi, kuros izraudzītais invariants saglabājas nemainīgs soļu izpildes laikā un to var izmantot neiespējamības pierādījumos (kopā ar metodi "Pierādījums no pretējā").
4.2. Periodisks invariants
PeriodicInvariant:
Risinājumi, kuros izraudzītais invariants cikliski pieņem vairākas vērtības un to var prognozēt daudzus soļus uz priekšu.
4.3. Monovariants
Monovariant:
Risinājumi, kuros izraudzītā izteiksme prognozējami mainās noteiktā virzienā (piemēram, visu laiku aug vai dilst). Šādos gadījumos invarianta ir, piemēram, nevienādība, kas saglabājas. Šādas izteiksmes sauc par pusinvariantiem vai monovariantiem.
5.0. Pierādījums no pretējā
ContradictionMethod:
Uzdevumi, kuros prasīto apgalvojumu vispirms noliedz, lai no tā iegūtu secinājumus, kuri ved pie pretrunas. Nekonstruktīvie eksistences pierādījumi. Pierādījumi no pretējā kopā ar labās sakārtotības principu - piemēram, ja eksistētu netukša kopa ar naturāliem skaitļiem, tad tajā atrastos mazākais elements - no kura eksistences pieņēmuma var iegūt pretrunu.
**Algebra:** Lineāras algebras apgalvojumi par vektoru sistēmām, kas nav lineāri neatkarīgas. Daži iracionalitātes pierādījumi.
**Kombinatorika:** Grafu teorijas pierādījumi no pretējā, piemēram, ar virsotņu, šķautņu galu utt. saskaitīšanu.
**Ģeometrija:** Pretrunas kombinatoriskajā ģeometrijā.
**Skaitļu teorija:** Pirmskaitļu kopas bezgalības pamatojums.
5.1. Neeksistences pierādīšana no pretējā
ContradictionForExistence:
Pieņemam "no pretējā", ka eksistē objekts vai konstrukcija ar vajadzīgo īpašību, bet iegūstam pretrunu. Secinām, ka pieņēmums bija aplams - šāds objekts eksistēt nevar.
5.2. Eksistences pierādīšana no pretējā
ContradictionForNonExistence:
Pieņemam "no pretējā", ka objekts neeksistē un iegūstam pretrunu. Secinām, ka objektam ir jāeksistē (kaut arī neesam parādījuši, kā to iegūt). Šie ir nekonstruktīvie eksistences pierādījumi. Tos reizēm izmanto analizējot spēļu stratēģijas - pirmajam spēlētājam eksistē uzvaroša stratēģija (jo rastos pretruna, pieņemot, ka uzvar otrais spēlētājs).
6.0. Interpretāciju metode
InterpretationMethod:
Interpretācija pārtulko uzdevumu jaunos apzīmējumos; ievieš jaunas datu struktūras (piemēram, grafus) vai kodējumus (objektu attēlošanu par izteiksmēm). Dažas interpretāciju metodes ir jāveido katrā atrisinājumā no jauna, citas ir standartizētas un labi zināmas - piemēram ģeometrijas uzdevuma pārveidošana koordinātu formā.
6.1. Algebrisks modelis
AlgebraicModel:
Teksta uzdevumu vai ģeometrijas uzdevumu risinājumi, ja uzdevuma jēdzienus risinājumā aizstāj ar algebriskiem mainīgajiem un izteiksmēm.
6.2. Koordinātu metode
CoordinateMethod:
Risinājumi, kas izmanto Dekarta, polārās vai līdzīgas koordinātes, kas apraksta plaknes/telpas punktus. Arī vektoru algebras un komplekso skaitļu metodes.
6.3. Ģeometriska interpretācija
GeometricInterpretation:
Ģeometriska interpretācija neģeometriskam uzdevumam. Arī citas telpiskas interpretācijas vai vizualizācijas, kurās attēls vai diagramma ir būtiska risinājuma sastāvdaļa.
6.4. Varbūtiska interpretācija
ProbabilisticInterpretation:
Varbūtisku modeļu lietošana, lai pārformulētu uzdevumus, piemēram, algebrā vai ģeometrijā
6.5. Fizikāla interpretācija
PhysicalInterpretation:
Fizikālu modeļu lietošana - smaguma centru izmantošana ģeometrijas, algebras un varbūtību uzdevumos. Impulsa nezūdamība. Enerģijas un impulsa nezūdamība. Potenciālās enerģijas minimuma princips.
6.6. Interpretācija ar iekodēšanu
InterpretationWithCoding:
Uzdevumā aplūkojamo objektu aizstāšana ar galīgām simbolu virknītēm (kodējumiem), darbības ar šiem kodējumiem.
7.0. Izteiksmju pārveidojumi
Transformations:
Uzdevumi, kuros jaunu mainīgo ievietošana, identiski pārveidojumi un arī nevienādību pastiprināšana ir būtiska atrisinājuma sastāvdaļa. Arī citas situācijas, kurās ievietojot piemērotas izteiksmes, var izmantot kādu zināmu rezultātu.
7.1. Polinomu pārveidojumi
PolynomialTransformations:
Risinājumi ar polinomu vai racionālu izteiksmju pārveidojumiem. Algebriskas identitātes. Hornera shēma.
7.2. Lineārās algebras pārveidojumi
LinearTransformations:
Gausa izslēgšanas metode, determinants un inversā matrica. Matricu reizināšana ģeometrijā un grafu uzdevumos. Paplašinātā Eiklīda metode (Blankinšipa algoritms). Pārveidojumi lineārās programmēšanas uzdevumos.
7.3. Pārveidojumi grafos
GraphTransformations:
Grafu pārveidojumi un to pārzīmēšana par izomorfiem grafiem.
8.0. Struktūru papildināšana
Augmentation:
Ģeometrisku un citu struktūru papildināšana ar jauniem elementiem, lai vispirms pierādītu apgalvojumus par šiem elementiem un vēlāk atgrieztos pie sākotnējā jautājuma. Uz šo attiecas arī pretpiemēru konstruēšana kā arī novērtējumu iegūšana, konstruējot piemērus.
8.1. Papildināšana ar jauniem elementiem
AugmentationWithNewElements:
Jaunu elementu pievienošana eksistējošām konstrukcijām.
8.2. Papildināšana ar krāsojumiem
AuxiliaryColoring:
Risinājumi, kur uzdevuma objektus izkrāso galīgā skaitā krāsu.
8.3. Pāriešana augstākā dimensijā
TransitionToHigherDimension:
Uzdevumi, kuros nav telpisku objektu, bet risinājuma gaitā to papildina, pārejot uz telpisku uzdevumu.
9.0. Kombinatoriskie algoritmi
Algorithms:
Uzdevumi par elementu sakārtošanu vai lielākā vai mazākā atrašanu. Uzdevumi, kuros ir procesi, kuru realizācijai jāizstrādā algoritms vai jānovērtē algoritma efektivitāte. Uzdevumi par svēršanu, turnīra uzvarētāja atrašanu.
9.1. Algoritmu analīze
AlgorithmAnalysis:
Algoritmu izpratne, analīze, izstrāde, optimizācija. Nealgoritmisku uzdevumu pārveidošana par algoritmiem vai otrādi; ātrdarbības analīze. Optimizācijas uzdevumi, kuros atļauts izmantot ierobežotu skaitu svēršanu vai citu soļu.
9.2. Pārlases algoritmi
ExhaustiveAlgorithms:
Risināšanas metodes, kas izmanto pilno pārlasi, pārdomātā secībā aplūko gadījumus. Arī risinājumi, kas apstaigā gadījumu koku -- iegūst atrisinājumu ar sistemātisku variantu pārlasi, izveidojot "backtracking" koku un apstaigājot to.
9.3. Induktīvie algoritmi
InductiveAlgorithms:
Metodes, kas konstruē rezultātu induktīvi. Tai skaitā pielieto vienas un tās pašas funkcijas iterācijas vai arī iteratīvi uzlabo risinājumu.
9.4. “Skaldi un valdi” paradigma
DivideAndConquerAlgorithms:
Metodes, kas atkārtoti dala ievades datus vairākās daļās.
9.6. Dinamiskā programmēšana
DynamicProgrammingAlgorithms:
Metodes, kas taupa laiku, iegaumējot starprezultātus, ko izmantot vēlāk, kas aizpilda dažādas tabulas ar datiem, ieraksta datus kokos vai līdzīgās datu struktūrās.
9.7. Rijīgie algoritmi
GreedyAlgorithms:
Algoritmi, kuri meklē labāko risinājumu ar lokālām optimizācijām, katrā solī pievienojot lielāko uzlabojumu.
MathematicalInduction:
Vispārīgu apgalvojumu pamatošana ar matemātisko indukciju - piemēram, apgalvojumi, kas spēkā jebkuram naturālam skaitlim $n$.