1. Algebra
1.1. Pārveidojumi un teksta uzdevumi
Uzdevumi par skaitļiem, to darbībām un skaitliskām nevienādībām. Teksta uzdevumu pārrakstīšana, izveidojot algebrisku modeli; manipulācijas ar algebriskām izteiksmēm.
Nesašķiroti: LV.AMO.2003.10.3, LV.AMO.2003.8.5, LV.AMO.2008.7.2, LV.AMO.2011.5.2, LV.AMO.2011.6.5, LV.AMO.2015.8.1, LV.AMO.2015.8.3, LV.AMO.2016.10.3, LV.AMO.2016.8.1, LV.AMO.2019.10.4, LV.AMO.2023.5.1, LV.NOL.2006.8.1, LV.NOL.2007.7.1, LV.NOL.2008.7.1, LV.NOL.2009.7.1, LV.NOL.2010.10.2, LV.NOL.2010.10.4, LV.NOL.2010.8.1, LV.NOL.2012.8.1, LV.NOL.2013.8.1, LV.NOL.2013.8.4, LV.NOL.2016.7.5, LV.VOL.2011.10.4, LV.VOL.2016.11.3,
1.1.1. Identitātes
Aritmētisku vai algebrisku identitāšu pamatošana vai lietošana izteiksmju pārveidojumos. :
LV.AMO.2003.8.5, LV.AMO.2008.7.2, LV.AMO.2015.8.1, LV.AMO.2015.8.3, LV.AMO.2016.10.3, LV.AMO.2016.8.1, LV.AMO.2019.10.4, LV.AMO.2023.5.1, LV.NOL.2006.8.1, LV.NOL.2007.7.1, LV.NOL.2008.7.1, LV.NOL.2009.7.1, LV.NOL.2010.10.2, LV.NOL.2010.10.4, LV.NOL.2010.8.1, LV.NOL.2012.8.1, LV.NOL.2013.8.1, LV.NOL.2013.8.4, LV.VOL.2011.10.4, LV.VOL.2016.11.3,
1.1.1.1. Identitātes un darbības ar naturāliem skaitļiem
Veselu skaitļu aritmētikas piemēri un aritmētiskas sakarības teksta uzdevumos un aprēķinos. :
LV.AMO.2023.5.1,
1.1.1.2. Pamatidentitāšu lietošana
Summas kvadrāta formula \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\); kvadrātu starpība \(a^2 - b^2\); pakāpju īpašības, piemēram, \((a^m)^n = a^{mn}\). :
LV.AMO.2003.8.5, LV.AMO.2008.7.2, LV.AMO.2015.8.1, LV.AMO.2015.8.3, LV.AMO.2016.10.3, LV.AMO.2016.8.1, LV.AMO.2019.10.4, LV.NOL.2007.7.1, LV.NOL.2008.7.1, LV.NOL.2009.7.1, LV.NOL.2010.10.4, LV.NOL.2010.8.1, LV.NOL.2012.8.1, LV.NOL.2013.8.1, LV.NOL.2013.8.4, LV.VOL.2016.11.3,
1.1.1.3. Dažas nestandarta identitātes
Augstāku pakāpju summa un starpība; Ņūtona binoms; S.Žermēnas identitāte; \(a^3+b^3+c^3-3abc\) :
LV.NOL.2010.10.2, LV.VOL.2011.10.4,
1.1.1.4. Pilnā kvadrāta atdalīšana
Kvadrātiskas izteiksmes pārveidošana, lai pazustu lineārais saskaitāmais. Piemēram \(x^2 + px + q = (x+p/2)^2 + (q-p^2/4)\) :
LV.AMO.2016.10.3, LV.NOL.2006.8.1,
1.1.2. Simetriskas un homogēnas izteiksmes
Simetriskas izteiksmes un darbības ar homogēnām algebriskām izteiksmēm :
LV.NOL.2016.7.5,
1.1.3. Saistītās izteiksmes
Algebriski pārveidojumi, piereizinot ar saistīto izteiksmi
1.1.4. Operācijas ar veselu skaitļu izteiksmēm
Problems involving integer arithmetic, puzzles to fill in digits and operation signs, simple magic squares and other magic configurations.
1.1.5. Kompleksie skaitļi
Darbības ar kompleksajiem skaitļiem algebriskajā, trigonometriskajā vai eksponenciālajā formā. Kompleksi saistītais skaitlis. Kompleksa skaitļa modulis. Kompleksu skaitļu kāpināšana. "Vieninieka saknes" kompleksajā plaknē.
1.1.6. Izteiksmju sadalīšana saskaitāmajos
Racionālu daļu pārveidošana par summām vai starpībām, tsk. ieviešot nenoteiktos koeficientus.
1.1.1. Identitātes
Aritmētisku vai algebrisku identitāšu pamatošana vai lietošana izteiksmju pārveidojumos. :
LV.AMO.2003.8.5, LV.AMO.2008.7.2, LV.AMO.2015.8.1, LV.AMO.2015.8.3, LV.AMO.2016.10.3, LV.AMO.2016.8.1, LV.AMO.2019.10.4, LV.AMO.2023.5.1, LV.NOL.2006.8.1, LV.NOL.2007.7.1, LV.NOL.2008.7.1, LV.NOL.2009.7.1, LV.NOL.2010.10.2, LV.NOL.2010.10.4, LV.NOL.2010.8.1, LV.NOL.2012.8.1, LV.NOL.2013.8.1, LV.NOL.2013.8.4, LV.VOL.2011.10.4, LV.VOL.2016.11.3,
1.1.1.1. Identitātes un darbības ar naturāliem skaitļiem
Veselu skaitļu aritmētikas piemēri un aritmētiskas sakarības teksta uzdevumos un aprēķinos. :
LV.AMO.2023.5.1,
1.1.1.2. Pamatidentitāšu lietošana
Summas kvadrāta formula \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\); kvadrātu starpība \(a^2 - b^2\); pakāpju īpašības, piemēram, \((a^m)^n = a^{mn}\). :
LV.AMO.2003.8.5, LV.AMO.2008.7.2, LV.AMO.2015.8.1, LV.AMO.2015.8.3, LV.AMO.2016.10.3, LV.AMO.2016.8.1, LV.AMO.2019.10.4, LV.NOL.2007.7.1, LV.NOL.2008.7.1, LV.NOL.2009.7.1, LV.NOL.2010.10.4, LV.NOL.2010.8.1, LV.NOL.2012.8.1, LV.NOL.2013.8.1, LV.NOL.2013.8.4, LV.VOL.2016.11.3,
1.1.1.3. Dažas nestandarta identitātes
Augstāku pakāpju summa un starpība; Ņūtona binoms; S.Žermēnas identitāte; \(a^3+b^3+c^3-3abc\) :
LV.NOL.2010.10.2, LV.VOL.2011.10.4,
1.1.1.4. Pilnā kvadrāta atdalīšana
Kvadrātiskas izteiksmes pārveidošana, lai pazustu lineārais saskaitāmais. Piemēram \(x^2 + px + q = (x+p/2)^2 + (q-p^2/4)\) :
LV.AMO.2016.10.3, LV.NOL.2006.8.1,
1.1.2. Simetriskas un homogēnas izteiksmes
Simetriskas izteiksmes un darbības ar homogēnām algebriskām izteiksmēm :
LV.NOL.2016.7.5,
1.1.3. Saistītās izteiksmes
Algebriski pārveidojumi, piereizinot ar saistīto izteiksmi
1.1.4. Operācijas ar veselu skaitļu izteiksmēm
Problems involving integer arithmetic, puzzles to fill in digits and operation signs, simple magic squares and other magic configurations.
1.1.5. Kompleksie skaitļi
Darbības ar kompleksajiem skaitļiem algebriskajā, trigonometriskajā vai eksponenciālajā formā. Kompleksi saistītais skaitlis. Kompleksa skaitļa modulis. Kompleksu skaitļu kāpināšana. "Vieninieka saknes" kompleksajā plaknē.
1.1.6. Izteiksmju sadalīšana saskaitāmajos
Racionālu daļu pārveidošana par summām vai starpībām, tsk. ieviešot nenoteiktos koeficientus.
1.2. Vienādojumi
Algebras uzdevumi, kuros prasīts atrisināt vienādojumu vai noteikt vienādojuma sakņu skaitu. Uzdevumi, kuros jāpēta vienādojuma atrisinājuma eksistence, jāpierāda, ka eksistē atrisinājums vai ka tas neeksistē.
Nesašķiroti: LV.AMO.2022B.7.2,
1.4. Vienādojumu sistēmas
Vienādojumu sistēmu risināšana un atrisinājumu eksistences analīze.
Nesašķiroti: LV.NOL.2009.8.1,
1.2. Vienādojumi
Algebras uzdevumi, kuros prasīts atrisināt vienādojumu vai noteikt vienādojuma sakņu skaitu. Uzdevumi, kuros jāpēta vienādojuma atrisinājuma eksistence, jāpierāda, ka eksistē atrisinājums vai ka tas neeksistē.
Nesašķiroti: LV.AMO.2022B.7.2,
1.4. Vienādojumu sistēmas
Vienādojumu sistēmu risināšana un atrisinājumu eksistences analīze.
Nesašķiroti: LV.NOL.2009.8.1,
1.2. Vienādojumi
Algebras uzdevumi, kuros prasīts atrisināt vienādojumu vai noteikt vienādojuma sakņu skaitu. Uzdevumi, kuros jāpēta vienādojuma atrisinājuma eksistence, jāpierāda, ka eksistē atrisinājums vai ka tas neeksistē.
Nesašķiroti: LV.AMO.2022B.7.2,
1.4. Vienādojumu sistēmas
Vienādojumu sistēmu risināšana un atrisinājumu eksistences analīze.
Nesašķiroti: LV.NOL.2009.8.1,
1.2.1. Vienādojumu risināšana
Uzdevumi, kur vienādojumus risina ar algebriskiem pārveidojumiem. Risināmie vienādojumi parasti ir reālos skaitļos (var būt rakstīts vienkārši "atrisināt vienādojumu", kas pats par sevi nozīmē, ka nav jāaprobežojas ar veseliem vai naturāliem skaitļiem).
1.2.1.1. Sadalīšana reizinātājos
Vienādojumu dalīšana reizinātājos, tsk. izmantojot uzminētas saknes
1.2.1.2. Jaunu mainīgo ieviešana
Vienādojumu risināšana ar substitūcijas metodi, apzīmējot apakšizteiksmes ar jauniem mainīgajiem.
1.2.1.3. Nevienādību pielietošana
Vienādojumu analīze, izmantojot zināmas nevienādības.
1.2.1.4. Vienādojuma abu pušu pētīšana, uztverot tās kā funkcijas
Parametrizēt vairāku mainīgo vienādojumu, pieņemot kādu no mainīgajiem par parametru; tad pētīt abas puses kā funkcijas no otra mainīgā.
1.2.1.5. Vienādojuma reducēšana uz vienādojumu sistēmu
1.2.1.6. Algebras pamatteorēma
Algebras pamatteorēma reālo skaitļu variantā - ja \(n\)-tās pakāpes polinomam \(P(x)\) ir \(n\) saknes, tad to var izteikt kā vecākā koeficienta \(a_n\) reizinājumu ar pirmās pakāpes polinomiem \(x_x_i\), kur \(x_i\) ir \(i\)-tā sakne. Un ja polinomam ir sakne \(x_i\), tātad tas dalās ar \(x-x_i\) bez atlikuma.
1.2.2. Vienādojumu pētīšana, tos neatrisinot
Pamatojami apgalvojumi par vienādojumiem vai to saknēm (bet bez prasības atrast šīs saknes). :
LV.AMO.2003.8.1, LV.AMO.2022B.7.2,
1.2.2.1. Kvdrātvienādojuma atrisinājuma eksistences nosacījumi
1.2.2.2. Nevienādību lietošana
1.2.2.3. Vjeta formulu lietošana : LV.AMO.2003.8.1,
1.2.2.4. Dekarta likums
Polinoma pozitīvo sakņu skaits vienāds ar zīmju maiņu skaitu polinoma koeficientos, vai arī ir mazāks nekā zīmju maiņu skaits par pāra skaitli
1.2.2.5. Matemātiskās analīzes metodes
Reālās analīzes izmantošana algebras uzdevumos :
LV.AMO.2022B.7.2,
1.2.2.5.1. Monotonitātes izmantošana
Vienādojuma risināšana, nepārtraukti vai nelielos soļos palielinot vienu vai samazinot otru vienādojuma pusi :
LV.AMO.2022B.7.2,
1.2.2.5.2. Nepārtrauktības izmantošana
Vienādojumu risināšana, izmantojot funkciju nepārtrauktības īpašības.
1.2.2.5.3. Ekstrēmu vērtību izmantošana
Vienādojumu risināšana, aplūkojot ekstrēmās vērtības
1.2.2.5.4. Integrāļa izmantošana
Vienādojumu risināšana, izmantojot integrāļus un to īpašības.
1.2.2.5.5. Grafiku pielietošana
Vienādojumu risināšana, izmantojot funkciju grafikus Dekarta koordinātēs.
1.2.1. Vienādojumu risināšana
Uzdevumi, kur vienādojumus risina ar algebriskiem pārveidojumiem. Risināmie vienādojumi parasti ir reālos skaitļos (var būt rakstīts vienkārši "atrisināt vienādojumu", kas pats par sevi nozīmē, ka nav jāaprobežojas ar veseliem vai naturāliem skaitļiem).
1.2.1.1. Sadalīšana reizinātājos
Vienādojumu dalīšana reizinātājos, tsk. izmantojot uzminētas saknes
1.2.1.2. Jaunu mainīgo ieviešana
Vienādojumu risināšana ar substitūcijas metodi, apzīmējot apakšizteiksmes ar jauniem mainīgajiem.
1.2.1.3. Nevienādību pielietošana
Vienādojumu analīze, izmantojot zināmas nevienādības.
1.2.1.4. Vienādojuma abu pušu pētīšana, uztverot tās kā funkcijas
Parametrizēt vairāku mainīgo vienādojumu, pieņemot kādu no mainīgajiem par parametru; tad pētīt abas puses kā funkcijas no otra mainīgā.
1.2.1.5. Vienādojuma reducēšana uz vienādojumu sistēmu
1.2.1.6. Algebras pamatteorēma
Algebras pamatteorēma reālo skaitļu variantā - ja \(n\)-tās pakāpes polinomam \(P(x)\) ir \(n\) saknes, tad to var izteikt kā vecākā koeficienta \(a_n\) reizinājumu ar pirmās pakāpes polinomiem \(x_x_i\), kur \(x_i\) ir \(i\)-tā sakne. Un ja polinomam ir sakne \(x_i\), tātad tas dalās ar \(x-x_i\) bez atlikuma.
1.2.2. Vienādojumu pētīšana, tos neatrisinot
Pamatojami apgalvojumi par vienādojumiem vai to saknēm (bet bez prasības atrast šīs saknes). :
LV.AMO.2003.8.1, LV.AMO.2022B.7.2,
1.2.2.1. Kvdrātvienādojuma atrisinājuma eksistences nosacījumi
1.2.2.2. Nevienādību lietošana
1.2.2.3. Vjeta formulu lietošana : LV.AMO.2003.8.1,
1.2.2.4. Dekarta likums
Polinoma pozitīvo sakņu skaits vienāds ar zīmju maiņu skaitu polinoma koeficientos, vai arī ir mazāks nekā zīmju maiņu skaits par pāra skaitli
1.2.2.5. Matemātiskās analīzes metodes
Reālās analīzes izmantošana algebras uzdevumos :
LV.AMO.2022B.7.2,
1.2.2.5.1. Monotonitātes izmantošana
Vienādojuma risināšana, nepārtraukti vai nelielos soļos palielinot vienu vai samazinot otru vienādojuma pusi :
LV.AMO.2022B.7.2,
1.2.2.5.2. Nepārtrauktības izmantošana
Vienādojumu risināšana, izmantojot funkciju nepārtrauktības īpašības.
1.2.2.5.3. Ekstrēmu vērtību izmantošana
Vienādojumu risināšana, aplūkojot ekstrēmās vērtības
1.2.2.5.4. Integrāļa izmantošana
Vienādojumu risināšana, izmantojot integrāļus un to īpašības.
1.2.2.5.5. Grafiku pielietošana
Vienādojumu risināšana, izmantojot funkciju grafikus Dekarta koordinātēs.
1.3. Nevienādības
Uzdevumi, kuros jāpierāda vai jāapgāž, ka vienmēr ir pareiza kāda nevienādība. Kā arī uzdevumi, kuros jārisina nevienādības kādam mainīgajam.
Nesašķiroti: LV.AMO.2003.10.1, LV.AMO.2003.11.1, LV.AMO.2015.10.3, LV.AMO.2019.11.4, LV.AMO.2023.11.1, LV.AMO.2023.5.5, LV.NOL.2024.7.5,
1.3.1. Ekvivalento pārveidojumu metode
Pamatojamo nevienādību ķēdītes izrakstīšana tā, ka ikviena nākamā nevienādība ir ekvivalenta ar pirmo :
LV.AMO.2003.10.1,
1.3.2. Nevienādības pastiprināšanas metode
Pamatojamo nevienādību ķēdītē nevienādības tiek pastiprinātas tā, lai no nākamās nevienādības sekotu iepriekšējās. :
LV.AMO.2015.10.3, LV.AMO.2019.11.4,
1.3.3. Absolūtās vērtības funkcijas īpašības : LV.AMO.2003.11.1,
1.3.4. Citu nevienādību izmantošana
Zināmu nevienādību izmantošana, lai pierādītu citas nevienādības.
1.3.4.1. Vairāku nevienādību saskaitīšana vai reizināšana
1.3.4.2. Košī-Buņakovska nevienādība
1.3.4.3. Čebiševa nevienādība
1.3.4.4. Jensena nevienādība
1.3.5. Matemātiskā analīze nevienādību pamatošanā
Funkciju pētīšana, monotonitāte, nepārtrauktība un citas analīzes metodes nevienādību pamatošanā.
1.3.5.1. Ekstrēma atrašana
1.3.5.2. Funkcijas monotonitāte
1.3.5.3. Integrāļa lietošana
1.3.6. Interpretācijas
Nevienādību pamatošana tās interpretējot - pārveidojot citos jēdzienos vai apzīmējumos.
1.3.6.1. Ģeometriskās interpretācijas
1.3.6.2. Varbūtību teorijas interpretācijas
1.3.7. Nevienādību sistēmas; lineārā programmēšana : LV.AMO.2023.11.1, LV.AMO.2023.5.5, LV.NOL.2024.7.5,
1.4.1. Lineāri pārveidojumi
Lineāru vienādojumu sistēmu risināšana. :
LV.AMO.2010.7.3, LV.NOL.2009.8.1,
1.4.1.1. Vektoru sistēmu bāzes
Lineāras telpas elementu izteikšana ar nedaudziem bāzes elementiem.
1.4.1.2. Lineāru sistēmu lietojumi : LV.AMO.2010.7.3, LV.NOL.2009.8.1,
1.4.2. Nelineāras sistēms
Nelineāru vienādojumu sistēmu risināšana :
LV.AMO.2022B.5.4, LV.AMO.2022B.6.4,
1.4.2.1. Ievietošanas metode
Vienādojumu sistēmu risināšana, izsakot mainīgos vai ievietojot zināmās vērtības. :
LV.AMO.2022B.5.4, LV.AMO.2022B.6.4,
1.4.2.2. Nevienādību pielietošana
1.4.2.3. Speciālās ciklisko sistēmu risināšanas metodes
1.4.3. Dažādas metodes
1.3.1. Ekvivalento pārveidojumu metode
Pamatojamo nevienādību ķēdītes izrakstīšana tā, ka ikviena nākamā nevienādība ir ekvivalenta ar pirmo :
LV.AMO.2003.10.1,
1.3.2. Nevienādības pastiprināšanas metode
Pamatojamo nevienādību ķēdītē nevienādības tiek pastiprinātas tā, lai no nākamās nevienādības sekotu iepriekšējās. :
LV.AMO.2015.10.3, LV.AMO.2019.11.4,
1.3.3. Absolūtās vērtības funkcijas īpašības : LV.AMO.2003.11.1,
1.3.4. Citu nevienādību izmantošana
Zināmu nevienādību izmantošana, lai pierādītu citas nevienādības.
1.3.4.1. Vairāku nevienādību saskaitīšana vai reizināšana
1.3.4.2. Košī-Buņakovska nevienādība
1.3.4.3. Čebiševa nevienādība
1.3.4.4. Jensena nevienādība
1.3.5. Matemātiskā analīze nevienādību pamatošanā
Funkciju pētīšana, monotonitāte, nepārtrauktība un citas analīzes metodes nevienādību pamatošanā.
1.3.5.1. Ekstrēma atrašana
1.3.5.2. Funkcijas monotonitāte
1.3.5.3. Integrāļa lietošana
1.3.6. Interpretācijas
Nevienādību pamatošana tās interpretējot - pārveidojot citos jēdzienos vai apzīmējumos.
1.3.6.1. Ģeometriskās interpretācijas
1.3.6.2. Varbūtību teorijas interpretācijas
1.3.7. Nevienādību sistēmas; lineārā programmēšana : LV.AMO.2023.11.1, LV.AMO.2023.5.5, LV.NOL.2024.7.5,
1.4.1. Lineāri pārveidojumi
Lineāru vienādojumu sistēmu risināšana. :
LV.AMO.2010.7.3, LV.NOL.2009.8.1,
1.4.1.1. Vektoru sistēmu bāzes
Lineāras telpas elementu izteikšana ar nedaudziem bāzes elementiem.
1.4.1.2. Lineāru sistēmu lietojumi : LV.AMO.2010.7.3, LV.NOL.2009.8.1,
1.4.2. Nelineāras sistēms
Nelineāru vienādojumu sistēmu risināšana :
LV.AMO.2022B.5.4, LV.AMO.2022B.6.4,
1.4.2.1. Ievietošanas metode
Vienādojumu sistēmu risināšana, izsakot mainīgos vai ievietojot zināmās vērtības. :
LV.AMO.2022B.5.4, LV.AMO.2022B.6.4,
1.4.2.2. Nevienādību pielietošana
1.4.2.3. Speciālās ciklisko sistēmu risināšanas metodes
1.4.3. Dažādas metodes
1.5. Ekstrēmu uzdevumi
Algebras uzdevumi, kuros jāatrod lielākā vai mazākā iespējamā vērtība.
1.5.1. Ekstrēmu uzdevumu risināšana, izmantojot nevienādības
Ekstrēmu meklēšana, izmantojot zināmas nevienādības.
1.5.1.1. Nevienādība starp vidējo aritmētisko un vidējo ģeometrisko
Pozitīviem skaitļiem ģeometriskais vidējais nepārsniedz aritmētisko vidējo (vienādība t.t.t. ja visi skaitļi vienādi)
1.5.1.2. Nevienādības starp citiem vidējiem lielumiem
Arī vidējais kvadrātiskais (QM), vidējais harmoniskais (HM) - nevienādības, kas tos saista ar AM un GM
1.5.2. Ģeometriskas interpretācijas lietošana
1.5.2.1. Lauztas līnijas garums
1.5.2.2. Attālumu summa
1.5.2.3. Laukums
1.5.3. Funkcijas vērtības pakāpeniska palielināšana
1.5.4. Funkcijas aizstāšana ar to mažorējošu funkciju
Nevienādības mazākās puses aizstāšana ar funkciju, kas ir tās augšējais novērtējums
1.5.5. Ekstrēma atrašana, konstruējot algoritmu tā meklēšanai
1.5.6. Ekstrēma atrašana, lietojot zināmas funkcijas īpašības
1.5.7. Ekstrēma atrašana, izmantojot naturālu skaitļu specifiskas īpašības
1.5.8. Ekstrēma atrašana, izmantojot funkciju vērtības speciālā veidā izvēlētos punktos
Ekstrēmu meklēšana, izmantojot zināmas nevienādības.
1.5.1.1. Nevienādība starp vidējo aritmētisko un vidējo ģeometrisko
Pozitīviem skaitļiem ģeometriskais vidējais nepārsniedz aritmētisko vidējo (vienādība t.t.t. ja visi skaitļi vienādi)
1.5.1.2. Nevienādības starp citiem vidējiem lielumiem
Arī vidējais kvadrātiskais (QM), vidējais harmoniskais (HM) - nevienādības, kas tos saista ar AM un GM
1.5.2. Ģeometriskas interpretācijas lietošana
1.5.2.1. Lauztas līnijas garums
1.5.2.2. Attālumu summa
1.5.2.3. Laukums
1.5.3. Funkcijas vērtības pakāpeniska palielināšana
1.5.4. Funkcijas aizstāšana ar to mažorējošu funkciju
Nevienādības mazākās puses aizstāšana ar funkciju, kas ir tās augšējais novērtējums
1.5.5. Ekstrēma atrašana, konstruējot algoritmu tā meklēšanai
1.5.6. Ekstrēma atrašana, lietojot zināmas funkcijas īpašības
1.5.7. Ekstrēma atrašana, izmantojot naturālu skaitļu specifiskas īpašības
1.5.8. Ekstrēma atrašana, izmantojot funkciju vērtības speciālā veidā izvēlētos punktos
1.6. Algebriski un analītiski tehniskie paņēmieni
Uzdevumi, kuros jaunu mainīgo ievietošana, identiski pārveidojumi un arī nevienādību pastiprināšana ir būtiska atrisinājuma sastāvdaļa. Arī citas situācijas, kurās ievietojot piemērotas izteiksmes, var izmantot kādu zināmu rezultātu.
Nesašķiroti: LV.AMO.2003.7.1, LV.AMO.2003.9.2, LV.AMO.2022B.5.5, LV.AMO.2022B.6.5,
1.6.1. Pilnā kvadrāta atdalīšana
1.6.2. Pazemināšanas metode
1.6.3. Risināšana no beigām
1.6.4. Saskaitīšana divos veidos
Metode, kas pierāda izteiksmju vienādību, pamatojot, ka to var saskaitīt divos veidos. :
LV.AMO.2003.9.2, LV.AMO.2022B.6.5,
1.6.5. Sadalījums pāros vai grupās, bijekcijas : LV.AMO.2022B.5.5,
1.6.6. Iterācijas
1.6.7. Algebriski procesi un operācijas
1.6.8. Gadījumu pārlase : LV.AMO.2003.7.1,
1.6.9. Mainīgo ieviešana
1.6.10. Simetrija un involūcijas pārveidojumi
1.6.1. Pilnā kvadrāta atdalīšana
1.6.2. Pazemināšanas metode
1.6.3. Risināšana no beigām
1.6.4. Saskaitīšana divos veidos
Metode, kas pierāda izteiksmju vienādību, pamatojot, ka to var saskaitīt divos veidos. :
LV.AMO.2003.9.2, LV.AMO.2022B.6.5,
1.6.5. Sadalījums pāros vai grupās, bijekcijas : LV.AMO.2022B.5.5,
1.6.6. Iterācijas
1.6.7. Algebriski procesi un operācijas
1.6.8. Gadījumu pārlase : LV.AMO.2003.7.1,
1.6.9. Mainīgo ieviešana
1.6.10. Simetrija un involūcijas pārveidojumi
1.7. Skaitļu virknes
Aritmētiskā progresija. Ģeometriskā progresija. Rekurentas skaitļu virknes. Galīgas un bezgalīgas summas
Nesašķiroti: LV.NOL.2011.7.1, LV.NOL.2014.10.2, LV.NOL.2015.10.3, LV.NOL.2016.10.1, LV.VOL.2012.10.3, LV.VOL.2013.10.4,
1.8. Reālā analīze
Nepārtrauktas funkcijas, reālās analīzes metodes, robežas, atvasinājumi, integrāļi
Nesašķiroti: LV.VOL.2016.11.3,
1.7. Skaitļu virknes
Aritmētiskā progresija. Ģeometriskā progresija. Rekurentas skaitļu virknes. Galīgas un bezgalīgas summas
Nesašķiroti: LV.NOL.2011.7.1, LV.NOL.2014.10.2, LV.NOL.2015.10.3, LV.NOL.2016.10.1, LV.VOL.2012.10.3, LV.VOL.2013.10.4,
1.8. Reālā analīze
Nepārtrauktas funkcijas, reālās analīzes metodes, robežas, atvasinājumi, integrāļi
Nesašķiroti: LV.VOL.2016.11.3,
1.7. Skaitļu virknes
Aritmētiskā progresija. Ģeometriskā progresija. Rekurentas skaitļu virknes. Galīgas un bezgalīgas summas
Nesašķiroti: LV.NOL.2011.7.1, LV.NOL.2014.10.2, LV.NOL.2015.10.3, LV.NOL.2016.10.1, LV.VOL.2012.10.3, LV.VOL.2013.10.4,
1.8. Reālā analīze
Nepārtrauktas funkcijas, reālās analīzes metodes, robežas, atvasinājumi, integrāļi
Nesašķiroti: LV.VOL.2016.11.3,
1.7.1. Aritmētiskās un ģeometriskās progresijas : LV.AMO.2006.7.1, LV.AMO.2007.7.3, LV.AMO.2009.7.3, LV.AMO.2010.10.4, LV.AMO.2013.10.4, LV.AMO.2013.7.3, LV.AMO.2016.10.3, LV.AMO.2022B.6.3, LV.NOL.2008.10.1, LV.NOL.2008.8.1, LV.NOL.2014.10.2, LV.NOL.2015.10.3, LV.NOL.2016.10.1, LV.VOL.2012.10.3,
1.7.1.1. Vispārīgā locekļa un summas formulas : LV.AMO.2006.7.1, LV.AMO.2009.7.3, LV.AMO.2010.10.4, LV.AMO.2013.7.3, LV.AMO.2016.10.3, LV.AMO.2022B.6.3, LV.NOL.2008.10.1, LV.NOL.2014.10.2, LV.NOL.2015.10.3, LV.VOL.2012.10.3,
1.7.1.1.1. Summa \(1+2+\ldots+n\)
Formula \(1+2+\ldots+n = \frac{n(n+1)}{2}\) un lietojumi :
LV.AMO.2022B.6.3,
1.7.1.1.2. Citu aritmētisku progresiju summas : LV.NOL.2008.10.1,
1.7.1.1.3. Galīgas ģeometriskas progresijas summa
1.7.1.1.4. Bezgalīgas ģeometriskas progresijas summa
1.7.1.2. Interpretācijas
1.7.1.3. Sadalīšana progresijās
1.7.1.4. Progresiju locekļu decimālie cipari
1.7.1.5. Progresiju locekļu aritmētiskās īpašības
1.7.1.6. Virknes locekļu starpības
Izmantot spriedumus par dažu virkņu kaimiņu locekļu starpībām :
LV.AMO.2006.7.1, LV.AMO.2007.7.3, LV.NOL.2008.8.1, LV.NOL.2016.10.1,
1.7.1.6.1. Pilnu pakāpju starpības
Pilnu kvadrātu atstarpes veido aritmētisku progresiju \(2k+1\)
1.7.1.6.2. Ģeometriskas progresijas locekļu starpības
Izmantot to, ka \(2^n\) locekļu starpības aug ģeometriskā progresijā.
1.7.2. Virkņu locekļu starpības : LV.AMO.2004.8.5, LV.NOL.2004.8.2, LV.NOL.2005.8.1, LV.VOL.2013.10.4,
1.7.2.1. Rekurento virkņu sastādīšana un lietojumi skaitliska rezultāta iegūšanai : LV.AMO.2004.8.5, LV.NOL.2004.8.2, LV.NOL.2005.8.1,
1.7.2.2. Fibonači skaitļi un to īpašības : LV.VOL.2013.10.4,
1.7.2.3. Rekurento virkņu augšanas novērtējumi
Raksturīgie vienādojumi, pāreja uz homogēno virkni, nevienādības virknēm
1.7.2.4. Rekurento virkņu vispārīgo locekļu formulas
Pāreja no rekurencēm uz slēgtām formulām
1.7.3. Periodiskums un neperiodiskums
Virkņu periodiskuma pamatošana, arī izmantojot rekurentas sakarības :
LV.NOL.2011.7.1,
1.7.4. Monotonitāte
1.7.5. Apakšvirkņu sistēmas
1.7.6. Fragmentu atkārtošanās virkņu sistēmās
1.7.7. Nevienādības patvaļīgām virknēm
1.7.8. Skaitļu virknes un vidējās vērtības
1.7.8.1. Uzdevumi, kuros jāpierāda, ka kāds process ir galīgs
1.7.8.2. Summas sadalīšana bezgalīgi daudzos saskaitāmajos
1.7.8.3. Dažādas bezgalības izpratnes un to salīdzināšana
1.8.1. Robežas aprēķināšana
1.8.1.1. Definīcija un pamatīpašības
1.8.1.2. Teorēmas par robežām
1.8.1.3. Robežpāreja nevienādībās
1.8.1.4. Iteratīvi procesi
1.8.2. Summu aprēķināšana : LV.AMO.2008.8.3, LV.NOL.2010.8.1, LV.VOL.2016.11.3,
1.8.2.1. Lineāru kombināciju veidošana
1.8.2.2. Teleskopiskā metode : LV.AMO.2008.8.3, LV.NOL.2010.8.1, LV.VOL.2016.11.3,
1.8.2.3. Skaitīšana "turp-atpakaļ"
1.8.2.4. Ābela formula
1.8.2.5. Veidotājfunkciju metode
1.8.2.6. Interpretācijas
1.8.2.6.1. Kombinatoriskie skaitļi
1.8.2.6.2. Ģeometriskās interpretācijas
1.8.2.6.3. Speciālas interpretācijas
1.8.3. Nepārtrauktu funkciju pētīšana
1.8.4. Integrāļa pielietojumi
1.8.5. Ekstrēmu uzdevumi
1.8.6. Dažādas skaitļu kopas
Naturāli, veseli, racionāli, reāli skaitļi; reālu skaitļu kopas pilnība
1.8.6.1. Iracionāli skaitļi
Rezultāti par skaitļu racionalitāti un iracionalitāti
1.8.6.2. Kvadrātiskie lauki
Skaitļu lauki \(\mathbb{Q}[\sqrt{d}]\), kas rodas pievienojot racionāliem skaitļiem \(\sqrt{d}\)
1.8.7. Matemātiskās analīzes metodes
Analītisku metožu lietošana citu veidu uzdevumos
1.8.7.1. Nepārtrauktības izmantošana
Funkciju nepārtrauktibas īpašību izmantošana, tsk. teorēma par starpvērtību.
1.8.7.2. Samērojamības izmantošana
Uzdevumi par skaitļu racionālām un iracionālām attiecībām, iespēju izteikt vienus skaitļus kā citu skaitļu lineāru kombināciju.
1.8.7.3. Monotonitātes un ierobežotības izmantošana
Funkciju monotonitātes un ierobežotības izmantošana. Teorēma par monotonas un ierobežotas funkcijas robežu.
1.8.7.4. Mazo izmaiņu metode
1.8.7.5. Citas analīzes metodes
1.7.1. Aritmētiskās un ģeometriskās progresijas : LV.AMO.2006.7.1, LV.AMO.2007.7.3, LV.AMO.2009.7.3, LV.AMO.2010.10.4, LV.AMO.2013.10.4, LV.AMO.2013.7.3, LV.AMO.2016.10.3, LV.AMO.2022B.6.3, LV.NOL.2008.10.1, LV.NOL.2008.8.1, LV.NOL.2014.10.2, LV.NOL.2015.10.3, LV.NOL.2016.10.1, LV.VOL.2012.10.3,
1.7.1.1. Vispārīgā locekļa un summas formulas : LV.AMO.2006.7.1, LV.AMO.2009.7.3, LV.AMO.2010.10.4, LV.AMO.2013.7.3, LV.AMO.2016.10.3, LV.AMO.2022B.6.3, LV.NOL.2008.10.1, LV.NOL.2014.10.2, LV.NOL.2015.10.3, LV.VOL.2012.10.3,
1.7.1.1.1. Summa \(1+2+\ldots+n\)
Formula \(1+2+\ldots+n = \frac{n(n+1)}{2}\) un lietojumi :
LV.AMO.2022B.6.3,
1.7.1.1.2. Citu aritmētisku progresiju summas : LV.NOL.2008.10.1,
1.7.1.1.3. Galīgas ģeometriskas progresijas summa
1.7.1.1.4. Bezgalīgas ģeometriskas progresijas summa
1.7.1.2. Interpretācijas
1.7.1.3. Sadalīšana progresijās
1.7.1.4. Progresiju locekļu decimālie cipari
1.7.1.5. Progresiju locekļu aritmētiskās īpašības
1.7.1.6. Virknes locekļu starpības
Izmantot spriedumus par dažu virkņu kaimiņu locekļu starpībām :
LV.AMO.2006.7.1, LV.AMO.2007.7.3, LV.NOL.2008.8.1, LV.NOL.2016.10.1,
1.7.1.6.1. Pilnu pakāpju starpības
Pilnu kvadrātu atstarpes veido aritmētisku progresiju \(2k+1\)
1.7.1.6.2. Ģeometriskas progresijas locekļu starpības
Izmantot to, ka \(2^n\) locekļu starpības aug ģeometriskā progresijā.
1.7.2. Virkņu locekļu starpības : LV.AMO.2004.8.5, LV.NOL.2004.8.2, LV.NOL.2005.8.1, LV.VOL.2013.10.4,
1.7.2.1. Rekurento virkņu sastādīšana un lietojumi skaitliska rezultāta iegūšanai : LV.AMO.2004.8.5, LV.NOL.2004.8.2, LV.NOL.2005.8.1,
1.7.2.2. Fibonači skaitļi un to īpašības : LV.VOL.2013.10.4,
1.7.2.3. Rekurento virkņu augšanas novērtējumi
Raksturīgie vienādojumi, pāreja uz homogēno virkni, nevienādības virknēm
1.7.2.4. Rekurento virkņu vispārīgo locekļu formulas
Pāreja no rekurencēm uz slēgtām formulām
1.7.3. Periodiskums un neperiodiskums
Virkņu periodiskuma pamatošana, arī izmantojot rekurentas sakarības :
LV.NOL.2011.7.1,
1.7.4. Monotonitāte
1.7.5. Apakšvirkņu sistēmas
1.7.6. Fragmentu atkārtošanās virkņu sistēmās
1.7.7. Nevienādības patvaļīgām virknēm
1.7.8. Skaitļu virknes un vidējās vērtības
1.7.8.1. Uzdevumi, kuros jāpierāda, ka kāds process ir galīgs
1.7.8.2. Summas sadalīšana bezgalīgi daudzos saskaitāmajos
1.7.8.3. Dažādas bezgalības izpratnes un to salīdzināšana
1.8.1. Robežas aprēķināšana
1.8.1.1. Definīcija un pamatīpašības
1.8.1.2. Teorēmas par robežām
1.8.1.3. Robežpāreja nevienādībās
1.8.1.4. Iteratīvi procesi
1.8.2. Summu aprēķināšana : LV.AMO.2008.8.3, LV.NOL.2010.8.1, LV.VOL.2016.11.3,
1.8.2.1. Lineāru kombināciju veidošana
1.8.2.2. Teleskopiskā metode : LV.AMO.2008.8.3, LV.NOL.2010.8.1, LV.VOL.2016.11.3,
1.8.2.3. Skaitīšana "turp-atpakaļ"
1.8.2.4. Ābela formula
1.8.2.5. Veidotājfunkciju metode
1.8.2.6. Interpretācijas
1.8.2.6.1. Kombinatoriskie skaitļi
1.8.2.6.2. Ģeometriskās interpretācijas
1.8.2.6.3. Speciālas interpretācijas
1.8.3. Nepārtrauktu funkciju pētīšana
1.8.4. Integrāļa pielietojumi
1.8.5. Ekstrēmu uzdevumi
1.8.6. Dažādas skaitļu kopas
Naturāli, veseli, racionāli, reāli skaitļi; reālu skaitļu kopas pilnība
1.8.6.1. Iracionāli skaitļi
Rezultāti par skaitļu racionalitāti un iracionalitāti
1.8.6.2. Kvadrātiskie lauki
Skaitļu lauki \(\mathbb{Q}[\sqrt{d}]\), kas rodas pievienojot racionāliem skaitļiem \(\sqrt{d}\)
1.8.7. Matemātiskās analīzes metodes
Analītisku metožu lietošana citu veidu uzdevumos
1.8.7.1. Nepārtrauktības izmantošana
Funkciju nepārtrauktibas īpašību izmantošana, tsk. teorēma par starpvērtību.
1.8.7.2. Samērojamības izmantošana
Uzdevumi par skaitļu racionālām un iracionālām attiecībām, iespēju izteikt vienus skaitļus kā citu skaitļu lineāru kombināciju.
1.8.7.3. Monotonitātes un ierobežotības izmantošana
Funkciju monotonitātes un ierobežotības izmantošana. Teorēma par monotonas un ierobežotas funkcijas robežu.
1.8.7.4. Mazo izmaiņu metode
1.8.7.5. Citas analīzes metodes
1.9. Funkcionālvienādojumi
Funkcionālvienādojumi, viena argumenta funkciju un vairākvietīgu operāciju aksiomas un interpretācijas
1.9.1. Funkcionālvienādojumi veseliem un racionāliem skaitļiem
1.9.1.1. Vienādojumu sistēmu veidošanas metode
1.9.1.2. Nevienādību lietošana
1.9.1.3. Reducēšanas metode
1.9.1.4. Modeļu veidošana
1.9.1.5. Lineāru rekurenču atrisināšana
Rekurentās sakarības ar konstantiem koeficientiem un to atrisināšana
1.9.2. Reālu funkciju funkcionālvienādojumi
Funkcionālvienādojumi reālo skaitļu kopā
1.9.2.1. Košī vienādojumi un vienādojumi, kas uz tiem reducējas
1.9.2.2. Elementāro funkciju funkcionālvienādojumi
Klasisko elementāro funkciju raksturīgākie funkcionālvienādojumi un to pielietojumi
1.9.2.3. Palīgfunkcijas metode
1.9.2.4. Nevienādību lietošana
1.9.2.5. Nepārtrauktības īpašības izmantošana
1.9.2.6. Aditīvas funkcijas
1.9.2.7. Modeļu veidošana
1.9.3. Vairākvietīgo operāciju aksiomātiskie apraksti
1.9.3.1. Vienu īpašību secināšana no citām
1.9.3.2. Operāciju viennozīmīga noteikšana
1.9.3.3. Modeļu veidošana
1.9.4. Aksiomu sistēmu interpretācijas.
1.9.1.1. Vienādojumu sistēmu veidošanas metode
1.9.1.2. Nevienādību lietošana
1.9.1.3. Reducēšanas metode
1.9.1.4. Modeļu veidošana
1.9.1.5. Lineāru rekurenču atrisināšana
Rekurentās sakarības ar konstantiem koeficientiem un to atrisināšana
1.9.2. Reālu funkciju funkcionālvienādojumi
Funkcionālvienādojumi reālo skaitļu kopā
1.9.2.1. Košī vienādojumi un vienādojumi, kas uz tiem reducējas
1.9.2.2. Elementāro funkciju funkcionālvienādojumi
Klasisko elementāro funkciju raksturīgākie funkcionālvienādojumi un to pielietojumi
1.9.2.3. Palīgfunkcijas metode
1.9.2.4. Nevienādību lietošana
1.9.2.5. Nepārtrauktības īpašības izmantošana
1.9.2.6. Aditīvas funkcijas
1.9.2.7. Modeļu veidošana
1.9.3. Vairākvietīgo operāciju aksiomātiskie apraksti
1.9.3.1. Vienu īpašību secināšana no citām
1.9.3.2. Operāciju viennozīmīga noteikšana
1.9.3.3. Modeļu veidošana
1.9.4. Aksiomu sistēmu interpretācijas.
2. Kombinatorika
2.1. Objektu skaitīšana
Noskaidrot, cik veidos var izvēlēties pārstāvjus, cik veidos var izdarīt kādas specifiskas darbības. Noteikt, cik veidos var sakārtot kādas kopas vai apakškopas elementus.
Nesašķiroti: LV.AMO.2003.10.4, LV.AMO.2003.6.2, LV.AMO.2004.8.5, LV.AMO.2011.5.5, LV.AMO.2019.12.4, LV.AMO.2022B.6.1, LV.NOL.2010.10.4, LV.NOL.2013.10.4, LV.NOL.2013.8.3, LV.NOL.2014.8.3, LV.NOL.2015.10.4, LV.NOL.2018.10.4, LV.VOL.2013.10.1,
2.1.1. Kopu elementu skaitīšana ar vienkāršu aritmētiku
Reizināšanas, saskaitīšanas, atņemšanas un dalīšanas likumi. :
LV.AMO.2019.12.4, LV.NOL.2013.8.3, LV.NOL.2014.8.3,
2.1.1.1. Reizināšanas likums kombinatorikā
Ja pirmajā solī ir \(a\) izvēles, bet otrajā solī (neatkarīgi no pirmā soļa) ir \(b\) izvēles, tad pavisam var veikt \(a \cdot b\) izvēles. (Kopu valodā - ja kopā \(A\) ir \(a\) elementi, bet kopā \(B\) ir \(b\) elementi, tad to Dekarta reizinājums \(A \times B\) satur visus pārīšus un šīs kopas elementu skaits ir \(a \cdot b\).) :
LV.AMO.2019.12.4, LV.NOL.2013.8.3, LV.NOL.2014.8.3,
2.1.1.2. Saskaitīšanas likums kombinatorikā
Ja var izdarīt vai nu kādu no \(a\) dažādām izvēlēm vai kādu no \(b\) dažādām izvēlēm (bet nevar tās kombinēt), tad pavisam ir \(a+b\) izvēles. (Kopu valodā - ja \(A\) un \(B\) ir kopas bez kopīgiem elementiem, tad to apvienojumā \(A \cup B\) ir \(a+b\) elementi.)
2.1.1.3. Dalīšanas likums kombinatorikā.
Reizināšanas likuma variants, ja to pašu elementu ieskaita atkārtoti. Šajā gadījumā reizināšanas likuma rezultātu dala ar to skaitu, cik reizes katrs elements ieskaitīts. (Piemēram, aprēķinot permutācijas ar atkārtojumiem, rezultātu dala ar atkārtojamo elementu faktoriāliem.)
2.1.1.4. Atņemšanas likums kombinatorikā.
Kopu \(A\) un \(B\) starpībā \(A-B\) elementu skaits ir \(|A| - |A \cap B|\), t.i. tas samazinās par \(|A \cap B|\) jeb abu kopu šķēlumu.
2.1.2. Rekurento sakarību metode kombinatorikā
Variantu skaitīšana, izmantojot rekurentas sakarības. :
LV.AMO.2003.10.4, LV.AMO.2004.8.5,
2.1.2.1. Lineārās rekurentās sakarības ar konstantiem koeficientiem
Variantu skaitīšana, izmantojot homogēnas lineāras rekurences.
2.1.2.2. Lineārās rekurentās sakarības ar mainīgiem koeficientiem
Variantu skaitīšana, izmantojot rekurences ar homogēno un nehomogēno daļu. :
LV.AMO.2003.10.4,
2.1.2.3. Nelineāras rekurentas sakarības
Variantu skaitīšana, izmantojot nelineāras rekurences. :
LV.AMO.2004.8.5,
2.1.3. Pārlases organizācija
Kopas elementu pārlasīšana sistemātiskā veidā.
2.1.4. Elementu skaitīšana kopu operācijās
Elementu saskaitīšana kopu šķēlumos, apvienojumos, starpībās. :
LV.AMO.2022B.6.1,
2.1.4.1. Eilera un Venna diagrammu izmantošana kopas aprakstam
Eilera-Venna diagrammas, attēlojot dažādas kopu piederības kombinācijas.
2.1.4.2. Ieslēgšanas – izslēgšanas formula
Ieslēgšanas izslēgšanas princips. Piemēram, divu kopu gadījumā \(|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|\) un līdzīga kopu apvienojuma izteikšana ar dažādiem kopu šķēlumiem.
2.1.4.3. Cita kopu operāciju saskaitīšana
Dažādu kopu operāciju aprēķināšana, pieskaitot un atņemot to šķēlumus vai apvienojumus. :
LV.AMO.2022B.6.1,
2.1.5. Interpretāciju metode skaitīšanā
Objektu saskaitīšana, izmantojot interpretāciju metodi - iekodējot elementus noteiktā veidā. :
LV.AMO.2003.6.2,
2.1.5.1. Paritāte un citi atlikumi interpretācijās ar skaitīšanu
Atlikumu izmantošana kombinatoriskos interpretāciju uzdevumos. :
LV.AMO.2003.6.2,
2.1.5.2. Simetrija interpretācijās ar skaitīšanu
Simetrijas izmantošana interpretācijās. Piemēram, lai pamatotu Mazo Fermā teorēmu (\(a^p - a\) dalās ar \(p\)), iztēlojamies \(a^p\) kā dažāda veida kreļļu krāsojumu saskaitīšanu, kur \(a\) ir pērlīšu krāsu skaits, bet \(p\) ir pērlīšu skaits cikliskā krellē. Tad ir tieši \(a\) vienkrāsainās krelles, bet pārējām ir jādalās ar \(p\), jo tās veido simetriskas apakškopas ar izmēru \(p\).
2.1.6. Kombinatoriskie skaitļi un to īpašības
Permutācijas, kombinācijas, variācijas ar un bez atkārtojumiem
2.1.6.1. Interpretācijas kombinatoriskajiem skaitļiem
Teksta uzdevumi, kas noved pie kombināciju (permutāciju, variāciju) skaitīšanas
2.1.6.2. Binomiālie un polinomiālie koeficienti
Formulas, lai saskaitītu parastas kombinācijas \(C^k_n\) un arī kombinācijas ar atkārtojumiem. Lietojumi Ņūtona formulā \((a+b)^n\) un arī polinomiālajā formulā, atverot iekavas garāku izteiksmju pakāpēm.
2.1.7. Iekodētu virknīšu saskaitīšana
Saskaitīt vai konstruēt kaut ko, aizpildot alfabētiskā secībā :
LV.NOL.2018.10.4,
2.1.8. Variantu saskaitīšana, izmantojot simetriju
Variantu saskaitīšana izmantojot simetriju kopā ar dalīšanas likumu simetrijas dēļ atmetot daļu variantu :
LV.AMO.2011.5.5, LV.VOL.2013.10.1,
2.1.1. Kopu elementu skaitīšana ar vienkāršu aritmētiku
Reizināšanas, saskaitīšanas, atņemšanas un dalīšanas likumi. :
LV.AMO.2019.12.4, LV.NOL.2013.8.3, LV.NOL.2014.8.3,
2.1.1.1. Reizināšanas likums kombinatorikā
Ja pirmajā solī ir \(a\) izvēles, bet otrajā solī (neatkarīgi no pirmā soļa) ir \(b\) izvēles, tad pavisam var veikt \(a \cdot b\) izvēles. (Kopu valodā - ja kopā \(A\) ir \(a\) elementi, bet kopā \(B\) ir \(b\) elementi, tad to Dekarta reizinājums \(A \times B\) satur visus pārīšus un šīs kopas elementu skaits ir \(a \cdot b\).) :
LV.AMO.2019.12.4, LV.NOL.2013.8.3, LV.NOL.2014.8.3,
2.1.1.2. Saskaitīšanas likums kombinatorikā
Ja var izdarīt vai nu kādu no \(a\) dažādām izvēlēm vai kādu no \(b\) dažādām izvēlēm (bet nevar tās kombinēt), tad pavisam ir \(a+b\) izvēles. (Kopu valodā - ja \(A\) un \(B\) ir kopas bez kopīgiem elementiem, tad to apvienojumā \(A \cup B\) ir \(a+b\) elementi.)
2.1.1.3. Dalīšanas likums kombinatorikā.
Reizināšanas likuma variants, ja to pašu elementu ieskaita atkārtoti. Šajā gadījumā reizināšanas likuma rezultātu dala ar to skaitu, cik reizes katrs elements ieskaitīts. (Piemēram, aprēķinot permutācijas ar atkārtojumiem, rezultātu dala ar atkārtojamo elementu faktoriāliem.)
2.1.1.4. Atņemšanas likums kombinatorikā.
Kopu \(A\) un \(B\) starpībā \(A-B\) elementu skaits ir \(|A| - |A \cap B|\), t.i. tas samazinās par \(|A \cap B|\) jeb abu kopu šķēlumu.
2.1.2. Rekurento sakarību metode kombinatorikā
Variantu skaitīšana, izmantojot rekurentas sakarības. :
LV.AMO.2003.10.4, LV.AMO.2004.8.5,
2.1.2.1. Lineārās rekurentās sakarības ar konstantiem koeficientiem
Variantu skaitīšana, izmantojot homogēnas lineāras rekurences.
2.1.2.2. Lineārās rekurentās sakarības ar mainīgiem koeficientiem
Variantu skaitīšana, izmantojot rekurences ar homogēno un nehomogēno daļu. :
LV.AMO.2003.10.4,
2.1.2.3. Nelineāras rekurentas sakarības
Variantu skaitīšana, izmantojot nelineāras rekurences. :
LV.AMO.2004.8.5,
2.1.3. Pārlases organizācija
Kopas elementu pārlasīšana sistemātiskā veidā.
2.1.4. Elementu skaitīšana kopu operācijās
Elementu saskaitīšana kopu šķēlumos, apvienojumos, starpībās. :
LV.AMO.2022B.6.1,
2.1.4.1. Eilera un Venna diagrammu izmantošana kopas aprakstam
Eilera-Venna diagrammas, attēlojot dažādas kopu piederības kombinācijas.
2.1.4.2. Ieslēgšanas – izslēgšanas formula
Ieslēgšanas izslēgšanas princips. Piemēram, divu kopu gadījumā \(|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|\) un līdzīga kopu apvienojuma izteikšana ar dažādiem kopu šķēlumiem.
2.1.4.3. Cita kopu operāciju saskaitīšana
Dažādu kopu operāciju aprēķināšana, pieskaitot un atņemot to šķēlumus vai apvienojumus. :
LV.AMO.2022B.6.1,
2.1.5. Interpretāciju metode skaitīšanā
Objektu saskaitīšana, izmantojot interpretāciju metodi - iekodējot elementus noteiktā veidā. :
LV.AMO.2003.6.2,
2.1.5.1. Paritāte un citi atlikumi interpretācijās ar skaitīšanu
Atlikumu izmantošana kombinatoriskos interpretāciju uzdevumos. :
LV.AMO.2003.6.2,
2.1.5.2. Simetrija interpretācijās ar skaitīšanu
Simetrijas izmantošana interpretācijās. Piemēram, lai pamatotu Mazo Fermā teorēmu (\(a^p - a\) dalās ar \(p\)), iztēlojamies \(a^p\) kā dažāda veida kreļļu krāsojumu saskaitīšanu, kur \(a\) ir pērlīšu krāsu skaits, bet \(p\) ir pērlīšu skaits cikliskā krellē. Tad ir tieši \(a\) vienkrāsainās krelles, bet pārējām ir jādalās ar \(p\), jo tās veido simetriskas apakškopas ar izmēru \(p\).
2.1.6. Kombinatoriskie skaitļi un to īpašības
Permutācijas, kombinācijas, variācijas ar un bez atkārtojumiem
2.1.6.1. Interpretācijas kombinatoriskajiem skaitļiem
Teksta uzdevumi, kas noved pie kombināciju (permutāciju, variāciju) skaitīšanas
2.1.6.2. Binomiālie un polinomiālie koeficienti
Formulas, lai saskaitītu parastas kombinācijas \(C^k_n\) un arī kombinācijas ar atkārtojumiem. Lietojumi Ņūtona formulā \((a+b)^n\) un arī polinomiālajā formulā, atverot iekavas garāku izteiksmju pakāpēm.
2.1.7. Iekodētu virknīšu saskaitīšana
Saskaitīt vai konstruēt kaut ko, aizpildot alfabētiskā secībā :
LV.NOL.2018.10.4,
2.1.8. Variantu saskaitīšana, izmantojot simetriju
Variantu saskaitīšana izmantojot simetriju kopā ar dalīšanas likumu simetrijas dēļ atmetot daļu variantu :
LV.AMO.2011.5.5, LV.VOL.2013.10.1,
2.2. Grafu uzdevumi
Uzdevumi, kuros ir dots skaits objektu, starp katriem diviem no tiem var būt vai nebūt attiecība. Uzdevumi par draudzībām, pazīšanos, ceļiem starp pilsētām, saziņu ar vēstulēm vai pa telefonu.
Nesašķiroti: LV.AMO.2003.5.4, LV.AMO.2003.6.4, LV.AMO.2007.7.1, LV.AMO.2011.5.4, LV.AMO.2022B.8.4, LV.AMO.2022B.9.4, LV.AMO.2023.5.4, LV.NOL.2015.7.3,
2.2.1. Matemātisku objektu interpretācijas ar grafiem
Bināru attiecību, svēršanas uzdevumu vai turnīru attēlošana ar grafiem.
2.2.2. Uzdevumi par virsotnes pakāpi jeb kārtu.
Apgalvojums: Katrā grafā ir divas virsotnes ar vienādu kārtu. :
LV.AMO.2003.6.4,
2.2.2.1. Virsotne ar maksimālo kārtu
Apgalvojumi, kuros izvēlas virsotni ar lielāko kārtu, lai iegūtu novērtējumus.
2.2.2.2. Rokasspiedienu lemma
Visu grafa virsotņu kārtu summa ir \(2|E|\), kur \(E\) apzīmē visu šķautņu kopu.
2.2.2.3. Teorēma par to, ka eksistē apakšgrafs ar noteiktu minimālo virsotnes kārtu
Katrs grafs \(G\), kurā vidējā virsotnes kārta ir vismaz \(d\), satur apakšgrafu, kurā minimālā virsotnes kārta ir vismaz \(\lfloor d/2 \rfloor\).
2.2.3. Orientēti grafi
Orientēti grafi (grafa šķautnēm ir noteikts virziens, ko apzīmē, piemēram, ar bultiņu).
2.2.4. Ceļi un cikli grafos
Ceļš kā savstarpēji savienojamu šķautņu virkne. Vienkāršs ceļš - tāds, kurā nekādām divām šķautnēm nav kopīgu virsotņu (izņemot tās virsotnes, kur viena šķautne virknē savienota ar nākamo šķautni). :
LV.AMO.2007.7.1, LV.AMO.2022B.8.4, LV.AMO.2022B.9.4,
2.2.4.1. Eilera cikla eksistence
Eilera cikls grafā iespējams tad un tikai tad, ja grafs ir sakarīgs un tajā katras virsotnes kārta ir pāra skaitlis. (Eilera ceļš, kuram nav jābeidzas tajā pašā punktā, kur tas sācies, pietiek, lai visu, izņemot divu virsotņu kārtas ir pāra skaitļi.)
2.2.4.2. Hamiltona cikla eksistence
Daži Hamiltona cikla nepieciešamie nosacījumi. :
LV.AMO.2007.7.1, LV.AMO.2022B.8.4, LV.AMO.2022B.9.4,
2.2.4.3. Grafa šķautņu sadalīšana ciklos
Grafa šķautņu nokrāsošana vairākās krāsās tā, lai katra krāsa veidotu ciklu.
2.2.4.4. Divdaļīgi (bipartite) grafi
Divdaļīgo grafu nepieciešamais un pietiekamais nosacījums - grafā nav ciklu ar nepāra garumu.
2.2.4.5. Uzdevumi par pieaudzēšanu ar ierobežojumiem
Kāds ir mazākais skaits šķautņu, kas jāpievieno grafam, lai tas kļūtu sakarīgs (vai k-connected - katras divas virsotnes savienotas ar k ceļiem bez kopīgām virsotnēm) vai tajā rastos Eilera cikls. Arī otrādi - kāds mazākais skaits šķautņu, kas jāpārgriež, lai grafā nebūtu nepāra ciklu, lai tas kļūtu divdaļīgs.
2.2.5. Sakarīgi grafi un dalīšana sakarīgās komponentēs
Sakarīgs grafs (*connected graph*), kurā starp katrām divām virsotnēm ir ceļš.
2.2.6. Koki
Apgalvojumi par neorientētiem kokiem bez definētas saknes. Sakarīgs grafs bez cikliem satur tieši \(m=n-1\) šķautnes (par vienu šķautni mazāk nekā virsotņu). Kokā pārgriežot jebkuru šķautni, rodas divi komponenti (kas arī ir koki, ja vientuļu virsotni arī uzskatām par "koku").
2.2.7. Grafu apstaigāšana
DFS (*Depth first search* jeb apstaigāšana dziļumā), BFS (*Breadth first search* jeb apstaigāšana platumā), koku un patvaļīgu grafu apstaigāšana.
2.2.8. Planārie grafi
Grafi, kurus var attēlot plaknē bez šķautņu krustošanās.
2.2.8.1. Planaritātes nosacījumi
Grafa planaritātes nosacījumi. Planārs grafs nesatur \(K_5\) vai \(K_{3,3}\) kā apakšgrafus.
2.2.8.2. Eilera formula un tās secinājumi
Eilera formula planāriem grafiem: \(E = V+F-2\) un tās sekas
2.2.9. Grafa virsotņu vai šķautņu krāsošana vai apzīmēšana
Virsotņu vai šķautņu izkrāsošanas uzdevumi. Ramseja teorija. Simbolu virkņu vai svaru pierakstīšana grafa virsotnēm vai šķautnēm. :
LV.AMO.2003.5.4, LV.AMO.2023.5.4, LV.NOL.2015.7.3,
2.2.9.1. Grafi ar krāsainām šķautnēm
Uzdevumi par pazīstamiem/nepazīstamiem cilvēkiem vai citām situācijām, kur pilna grafa šķautnes izkrāsotas vairākās krāsās. Ramseja teorēma. Ramseja skaitļi pilniem grafiem. Piesātināti grafi. Vispārināti Ramseja skaitļi. Ramseja uzdevumi nepilniem grafiem.
2.2.9.2. Grafi ar krāsainām virsotnēm
Grafu virsotņu krāsošana. Četru krāsu teorēmai līdzīgi rezultāti. :
LV.AMO.2023.5.4, LV.NOL.2015.7.3,
2.2.9.3. Grafu numerācijas
Grafa virsotņu vai šķautņu numerēšana ar veseliem skaitļiem, ievērojot noteiktus ierobežojumus.
2.2.9.3.1. Graciozie grafi
Gracioza virsotņu numurēšana grafā: Grafā ar \(m\) šķautnēm piešķirt virsotnēm atšķirīgus numurus no \(0\) līdz \(m\) tā, lai katras šķautnes galapunktu numuru starpības būtu dažādas pēc absolūtās vērtības un pieņemtu visas vērtības no \([1;m]\).
2.2.9.3.2. Maģiskie grafi
Grafi, kuru šķautnes var sanumurēt ar naturāliem skaitļliem no \(1\) līdz \(m\) tā, lai katrai virsotnei pievienoto šķautņu numuru summa būtu viena un tā pati.
2.2.9.4. Minimaksa teorēmas
Vairākas teorēmas par optimālām konfigurācijām grafos.
2.2.9.4.1. Holla teorēma
Holla teorēma par nepieciešamo un pietiekamo nosacījumu, lai divdaļīgā grafā eksistētu maksimālais sapārojums.
2.2.9.4.2. Dilvorsa lemma un Dilvorsa teorēma
Ja daļēji sakārtota kopa satur \(m \cdot n + 1\) elementus, tad tajā var atrast
vai nu ķēdi, kuras garums ir \(m + 1\), vai antiķēdi, kuras garums ir \(n + 1\) (un citi radniecīgi rezultāti).
2.2.9.4.3. Kēniga teorēma
Kőnig-a teorēma par grafu maksimāliem sapārojumiem: Katrā divdaļu grafā šķautņu skaits maksimālā sapārojumā ir vienāds ar virsotņu skaitu minimālajā virsotņu pārklājumā.
2.2.9.4.4. Erdeša-Šekereša teorēma
Naturāliem skaitļiem \(r\), \(s\) un katrai virknei ar vismaz \((r − 1)(s − 1) + 1\) reāliem skaitļiem ir vai nu monotoni augoša apakšvirkne garumā \(r\), vai arī monotoni dilstoša apakšvirkne garumā \(s\).
2.2.9.5. Vidējā vērtība bezgalīgiem grafiem
Vidējā vērtība un citu novērtējumu izmantošana, apskatot bezgalīgus grafus.
2.2.1. Matemātisku objektu interpretācijas ar grafiem
Bināru attiecību, svēršanas uzdevumu vai turnīru attēlošana ar grafiem.
2.2.2. Uzdevumi par virsotnes pakāpi jeb kārtu.
Apgalvojums: Katrā grafā ir divas virsotnes ar vienādu kārtu. :
LV.AMO.2003.6.4,
2.2.2.1. Virsotne ar maksimālo kārtu
Apgalvojumi, kuros izvēlas virsotni ar lielāko kārtu, lai iegūtu novērtējumus.
2.2.2.2. Rokasspiedienu lemma
Visu grafa virsotņu kārtu summa ir \(2|E|\), kur \(E\) apzīmē visu šķautņu kopu.
2.2.2.3. Teorēma par to, ka eksistē apakšgrafs ar noteiktu minimālo virsotnes kārtu
Katrs grafs \(G\), kurā vidējā virsotnes kārta ir vismaz \(d\), satur apakšgrafu, kurā minimālā virsotnes kārta ir vismaz \(\lfloor d/2 \rfloor\).
2.2.3. Orientēti grafi
Orientēti grafi (grafa šķautnēm ir noteikts virziens, ko apzīmē, piemēram, ar bultiņu).
2.2.4. Ceļi un cikli grafos
Ceļš kā savstarpēji savienojamu šķautņu virkne. Vienkāršs ceļš - tāds, kurā nekādām divām šķautnēm nav kopīgu virsotņu (izņemot tās virsotnes, kur viena šķautne virknē savienota ar nākamo šķautni). :
LV.AMO.2007.7.1, LV.AMO.2022B.8.4, LV.AMO.2022B.9.4,
2.2.4.1. Eilera cikla eksistence
Eilera cikls grafā iespējams tad un tikai tad, ja grafs ir sakarīgs un tajā katras virsotnes kārta ir pāra skaitlis. (Eilera ceļš, kuram nav jābeidzas tajā pašā punktā, kur tas sācies, pietiek, lai visu, izņemot divu virsotņu kārtas ir pāra skaitļi.)
2.2.4.2. Hamiltona cikla eksistence
Daži Hamiltona cikla nepieciešamie nosacījumi. :
LV.AMO.2007.7.1, LV.AMO.2022B.8.4, LV.AMO.2022B.9.4,
2.2.4.3. Grafa šķautņu sadalīšana ciklos
Grafa šķautņu nokrāsošana vairākās krāsās tā, lai katra krāsa veidotu ciklu.
2.2.4.4. Divdaļīgi (bipartite) grafi
Divdaļīgo grafu nepieciešamais un pietiekamais nosacījums - grafā nav ciklu ar nepāra garumu.
2.2.4.5. Uzdevumi par pieaudzēšanu ar ierobežojumiem
Kāds ir mazākais skaits šķautņu, kas jāpievieno grafam, lai tas kļūtu sakarīgs (vai k-connected - katras divas virsotnes savienotas ar k ceļiem bez kopīgām virsotnēm) vai tajā rastos Eilera cikls. Arī otrādi - kāds mazākais skaits šķautņu, kas jāpārgriež, lai grafā nebūtu nepāra ciklu, lai tas kļūtu divdaļīgs.
2.2.5. Sakarīgi grafi un dalīšana sakarīgās komponentēs
Sakarīgs grafs (*connected graph*), kurā starp katrām divām virsotnēm ir ceļš.
2.2.6. Koki
Apgalvojumi par neorientētiem kokiem bez definētas saknes. Sakarīgs grafs bez cikliem satur tieši \(m=n-1\) šķautnes (par vienu šķautni mazāk nekā virsotņu). Kokā pārgriežot jebkuru šķautni, rodas divi komponenti (kas arī ir koki, ja vientuļu virsotni arī uzskatām par "koku").
2.2.7. Grafu apstaigāšana
DFS (*Depth first search* jeb apstaigāšana dziļumā), BFS (*Breadth first search* jeb apstaigāšana platumā), koku un patvaļīgu grafu apstaigāšana.
2.2.8. Planārie grafi
Grafi, kurus var attēlot plaknē bez šķautņu krustošanās.
2.2.8.1. Planaritātes nosacījumi
Grafa planaritātes nosacījumi. Planārs grafs nesatur \(K_5\) vai \(K_{3,3}\) kā apakšgrafus.
2.2.8.2. Eilera formula un tās secinājumi
Eilera formula planāriem grafiem: \(E = V+F-2\) un tās sekas
2.2.9. Grafa virsotņu vai šķautņu krāsošana vai apzīmēšana
Virsotņu vai šķautņu izkrāsošanas uzdevumi. Ramseja teorija. Simbolu virkņu vai svaru pierakstīšana grafa virsotnēm vai šķautnēm. :
LV.AMO.2003.5.4, LV.AMO.2023.5.4, LV.NOL.2015.7.3,
2.2.9.1. Grafi ar krāsainām šķautnēm
Uzdevumi par pazīstamiem/nepazīstamiem cilvēkiem vai citām situācijām, kur pilna grafa šķautnes izkrāsotas vairākās krāsās. Ramseja teorēma. Ramseja skaitļi pilniem grafiem. Piesātināti grafi. Vispārināti Ramseja skaitļi. Ramseja uzdevumi nepilniem grafiem.
2.2.9.2. Grafi ar krāsainām virsotnēm
Grafu virsotņu krāsošana. Četru krāsu teorēmai līdzīgi rezultāti. :
LV.AMO.2023.5.4, LV.NOL.2015.7.3,
2.2.9.3. Grafu numerācijas
Grafa virsotņu vai šķautņu numerēšana ar veseliem skaitļiem, ievērojot noteiktus ierobežojumus.
2.2.9.3.1. Graciozie grafi
Gracioza virsotņu numurēšana grafā: Grafā ar \(m\) šķautnēm piešķirt virsotnēm atšķirīgus numurus no \(0\) līdz \(m\) tā, lai katras šķautnes galapunktu numuru starpības būtu dažādas pēc absolūtās vērtības un pieņemtu visas vērtības no \([1;m]\).
2.2.9.3.2. Maģiskie grafi
Grafi, kuru šķautnes var sanumurēt ar naturāliem skaitļliem no \(1\) līdz \(m\) tā, lai katrai virsotnei pievienoto šķautņu numuru summa būtu viena un tā pati.
2.2.9.4. Minimaksa teorēmas
Vairākas teorēmas par optimālām konfigurācijām grafos.
2.2.9.4.1. Holla teorēma
Holla teorēma par nepieciešamo un pietiekamo nosacījumu, lai divdaļīgā grafā eksistētu maksimālais sapārojums.
2.2.9.4.2. Dilvorsa lemma un Dilvorsa teorēma
Ja daļēji sakārtota kopa satur \(m \cdot n + 1\) elementus, tad tajā var atrast
vai nu ķēdi, kuras garums ir \(m + 1\), vai antiķēdi, kuras garums ir \(n + 1\) (un citi radniecīgi rezultāti).
2.2.9.4.3. Kēniga teorēma
Kőnig-a teorēma par grafu maksimāliem sapārojumiem: Katrā divdaļu grafā šķautņu skaits maksimālā sapārojumā ir vienāds ar virsotņu skaitu minimālajā virsotņu pārklājumā.
2.2.9.4.4. Erdeša-Šekereša teorēma
Naturāliem skaitļiem \(r\), \(s\) un katrai virknei ar vismaz \((r − 1)(s − 1) + 1\) reāliem skaitļiem ir vai nu monotoni augoša apakšvirkne garumā \(r\), vai arī monotoni dilstoša apakšvirkne garumā \(s\).
2.2.9.5. Vidējā vērtība bezgalīgiem grafiem
Vidējā vērtība un citu novērtējumu izmantošana, apskatot bezgalīgus grafus.
2.3. Spēles
Dots, ka divi spēlētāji spēlē spēli, pārmaiņus izdarot. Jāizstrādā uzvarošā stratēģija kādam no spēlētājiem vai jānoskaidro, kurš no spēlētājiem uzvar, pareizi spēlējot. Šajā kategorijā neietilpst skaitļu teorijas spēles, kur gājieni ir veselu skaitļu vai to ciparu manipulācijas.
Nesašķiroti: LV.AMO.2003.7.3, LV.AMO.2003.9.5, LV.AMO.2011.8.5, LV.AMO.2019.11.2,
2.3.1. Spēles ar simetriju
Simetrijas izmantošana spēļu analīzē. Spēles ar tiešu simetriju. Spēles ar vispārinātu simetriju. :
LV.AMO.2003.7.3,
2.3.2. Spēles modeļa veidošana
Spēles, kurās no apraksta jāizveido spēles modelis, kuru vieglāk analizēt nekā sākotnējo spēli.
2.3.2.1. Spēles modelis rūtiņu režģī
Spēles ar skaitļu pāru pārveidošanu (NIM varianti ar divām kaudzītēm u.c.); to vizualizācija ar pārvietojumiem Dekarta plaknē.
2.3.2.2. Spēles modelis grafā
Spēles pozīciju attēlošana ar grafu, tsk. lēmumu pieņemšanas grafu (*decision graph*)
2.3.3. Spēles ar priekšvēsturi. Eppa-Fērgusona teorēma
Spēles, kurās nedrīkst atkārtoties neviena no agrāk bijušām pozīcijām vai līdzīgas spēles, kurām jāuzkrāj agrāk bijušie stāvokļi. Susan Epp un Thomas S. Ferguson rezultāti. Markova procesi.
2.3.4. Tīrie uzvarošās stratēģijas eksistences pierādījumi
Nosacījumi, pie kuriem kombinatoriskai spēlei eksistē uzvarošā stratēģija.
2.3.5. Spēles invariants
Spēles, kurās uzvarošo stratēģiju var pamatot, izmantojot invariantu (kādu īpašību, kuru spēlētājs ar uzvarošo stratēģiju vienmēr var atjaunot). :
LV.AMO.2003.9.5, LV.AMO.2011.8.5, LV.AMO.2019.11.2,
2.3.6. Varbūtiskās spēles
Varbūtiskas spēles un spēles, kuru rezultātu noteiktai divu spēlētāju gājienu kombinācijai nosaka tabulveida matrica.
2.3.7. Nepārtrauktās spēles
Spēles, kuru pozīcija nav viegli aprakstāma ar kombinatoriskām struktūrām.
2.3.7.1. Taisnīgas dalīšanas spēles
Kā "taisnīgi" sadalīt torti (vai laupījumu utml.), ja drīkst veikt noteikta veida dalīšanu - ar šķirošanu daļās, taisniem griezieniem utml.
2.3.7.2. Ķeršanas spēles
Spēles, kur viens spēlētājs ķer otru, pārvietojoties ģeometriskā figūrā.
2.3.7.3. Topoloģiskas spēles
Spēles, kurās spēlētāji pēc kārtas izvēlas intervālus vai punktus, cenšoties konverģēt uz noteiktu robežu.
2.3.1. Spēles ar simetriju
Simetrijas izmantošana spēļu analīzē. Spēles ar tiešu simetriju. Spēles ar vispārinātu simetriju. :
LV.AMO.2003.7.3,
2.3.2. Spēles modeļa veidošana
Spēles, kurās no apraksta jāizveido spēles modelis, kuru vieglāk analizēt nekā sākotnējo spēli.
2.3.2.1. Spēles modelis rūtiņu režģī
Spēles ar skaitļu pāru pārveidošanu (NIM varianti ar divām kaudzītēm u.c.); to vizualizācija ar pārvietojumiem Dekarta plaknē.
2.3.2.2. Spēles modelis grafā
Spēles pozīciju attēlošana ar grafu, tsk. lēmumu pieņemšanas grafu (*decision graph*)
2.3.3. Spēles ar priekšvēsturi. Eppa-Fērgusona teorēma
Spēles, kurās nedrīkst atkārtoties neviena no agrāk bijušām pozīcijām vai līdzīgas spēles, kurām jāuzkrāj agrāk bijušie stāvokļi. Susan Epp un Thomas S. Ferguson rezultāti. Markova procesi.
2.3.4. Tīrie uzvarošās stratēģijas eksistences pierādījumi
Nosacījumi, pie kuriem kombinatoriskai spēlei eksistē uzvarošā stratēģija.
2.3.5. Spēles invariants
Spēles, kurās uzvarošo stratēģiju var pamatot, izmantojot invariantu (kādu īpašību, kuru spēlētājs ar uzvarošo stratēģiju vienmēr var atjaunot). :
LV.AMO.2003.9.5, LV.AMO.2011.8.5, LV.AMO.2019.11.2,
2.3.6. Varbūtiskās spēles
Varbūtiskas spēles un spēles, kuru rezultātu noteiktai divu spēlētāju gājienu kombinācijai nosaka tabulveida matrica.
2.3.7. Nepārtrauktās spēles
Spēles, kuru pozīcija nav viegli aprakstāma ar kombinatoriskām struktūrām.
2.3.7.1. Taisnīgas dalīšanas spēles
Kā "taisnīgi" sadalīt torti (vai laupījumu utml.), ja drīkst veikt noteikta veida dalīšanu - ar šķirošanu daļās, taisniem griezieniem utml.
2.3.7.2. Ķeršanas spēles
Spēles, kur viens spēlētājs ķer otru, pārvietojoties ģeometriskā figūrā.
2.3.7.3. Topoloģiskas spēles
Spēles, kurās spēlētāji pēc kārtas izvēlas intervālus vai punktus, cenšoties konverģēt uz noteiktu robežu.
2.5. Kombinatoriski algoritmi
Kombinatoriski algoritmi un to lietojumi procedūru veidošanai kā arī kombinatoriskiem uzdevumiem vispār.
2.4. Kombinatoriskas struktūras
Izvietojumi uz šaha galdiņa. Apakškopu sistēmas. Apakšvirkņu sistēmas. Paskāla trijstūris. Turnīri. Regulāri režģi. Latīņu kvadrāti
2.4.1. Izvietojumi uz šaha galdiņa
Spēles pozīcijas šahā; torņu, laidņu, dāmu, zirdziņu utt. izvietojumi.
2.4.2. Apakškopu sistēmas
Kā saskaitīt visas kādas kopas apakškopas ar noteiktām īpašībām.
2.4.3. Apakšvirkņu sistēmas
Kā saskaitīt virknes ar noteiktām īpašībām.
2.4.4. Paskāla trijstūris
Paskāla trijstūra īpašības un to interpretācijas binomiālajiem koeficientiem \(C_n^k\).
2.4.5. Īpaši režģi
Hiperkubi un līdzīgas struktūras ar "regulārām" (globāli aprakstāmām) īpašībām un elementu savstarpējām sakarībām.
2.4.6. Latīņu kvadrāti
Kvadrāti \(n \times n\), kas aizpildīti ar \(n\) dažādu veidu simboliem tā, lai katrs simbols katrā rindiņā un katrā kolonnā parādītos tieši vienreiz.
2.5.1. Kārtošanas turnīri
Adaptīvi salīdzināšanas algoritmi, kuros nākamās salīdzināšanas izvēlas atkarībā no iepriekšējo salīdzināšanu rezultāta
2.5.1.1. Uzvarētāja noskaidrošana
\(n-1\) salīdzināšanas, lai no \(n\) elementiem atrastu lielāko
2.5.1.2. Čempiona un vicečempiona noskaidrošana
\(n + \lceil \log_2(n) \rceil - 1\), lai no \(n\) elementiem atrastu divus lielākos
2.5.1.3. Čempiona, vicečempiona un bronzas medaļas īpašnieka noskaidrošana
Trīs lielāko elementu atrašana nesakārtotā masīvā
2.5.1.4. Monotonu turnīru pilnīga sakārtošana
Vajadzīgas vismaz \(\lceil \log_2(n!) \rceil\) salīdzināšanas jeb aptuveni \(n \cdot \log_2 n\)
2.5.2. Informācijas izplatīšanās uzdevumi
Vienkārši paralēlie algoritmi un to sarežģītības apakšējie un augšējie novērtējumi
2.5.3. Kodēšana,
Kodēšana kā injektīva funkcija no objektiem uz burtu virknītēm
2.5.4. Dažādi meklēšanas uzdevumi
Algoritmiski meklēšanas uzdevumi
2.5.5. Ieciklošanās
Spriedumi par algoritmu ieciklošanos
Spēles pozīcijas šahā; torņu, laidņu, dāmu, zirdziņu utt. izvietojumi.
2.4.2. Apakškopu sistēmas
Kā saskaitīt visas kādas kopas apakškopas ar noteiktām īpašībām.
2.4.3. Apakšvirkņu sistēmas
Kā saskaitīt virknes ar noteiktām īpašībām.
2.4.4. Paskāla trijstūris
Paskāla trijstūra īpašības un to interpretācijas binomiālajiem koeficientiem \(C_n^k\).
2.4.5. Īpaši režģi
Hiperkubi un līdzīgas struktūras ar "regulārām" (globāli aprakstāmām) īpašībām un elementu savstarpējām sakarībām.
2.4.6. Latīņu kvadrāti
Kvadrāti \(n \times n\), kas aizpildīti ar \(n\) dažādu veidu simboliem tā, lai katrs simbols katrā rindiņā un katrā kolonnā parādītos tieši vienreiz.
2.5.1. Kārtošanas turnīri
Adaptīvi salīdzināšanas algoritmi, kuros nākamās salīdzināšanas izvēlas atkarībā no iepriekšējo salīdzināšanu rezultāta
2.5.1.1. Uzvarētāja noskaidrošana
\(n-1\) salīdzināšanas, lai no \(n\) elementiem atrastu lielāko
2.5.1.2. Čempiona un vicečempiona noskaidrošana
\(n + \lceil \log_2(n) \rceil - 1\), lai no \(n\) elementiem atrastu divus lielākos
2.5.1.3. Čempiona, vicečempiona un bronzas medaļas īpašnieka noskaidrošana
Trīs lielāko elementu atrašana nesakārtotā masīvā
2.5.1.4. Monotonu turnīru pilnīga sakārtošana
Vajadzīgas vismaz \(\lceil \log_2(n!) \rceil\) salīdzināšanas jeb aptuveni \(n \cdot \log_2 n\)
2.5.2. Informācijas izplatīšanās uzdevumi
Vienkārši paralēlie algoritmi un to sarežģītības apakšējie un augšējie novērtējumi
2.5.3. Kodēšana,
Kodēšana kā injektīva funkcija no objektiem uz burtu virknītēm
2.5.4. Dažādi meklēšanas uzdevumi
Algoritmiski meklēšanas uzdevumi
2.5.5. Ieciklošanās
Spriedumi par algoritmu ieciklošanos
2.6. Loģikas uzdevumi
Uzdevumi par patiesiem un aplamiem izteikumiem, patiesības teikšanu un melošanu. Uzdevumi ar apslēptu informāciju. Paradoksi.
Nesašķiroti: LV.AMO.2022B.6.5,
2.6.1. Uzdevumi par izteikumu patiesumu
Uzdevumi, kur izteikti vairāki apgalvojumi un jāanalizē, kuri (vai cik) no tiem var būt patiesi. :
LV.AMO.2022B.6.5,
2.6.2. Uzdevumi ar apslēptu informāciju
Uzdevumi, kur jānoskaidro apslēptā informācija, uzdodot jautājumus noteiktā formā.
2.6.3. Paradoksi
Loģikas uzdevumi, kur jāpamato neparasti apgalvojumi vai jāatrod secinājumos kļūdas.
2.6.1. Uzdevumi par izteikumu patiesumu
Uzdevumi, kur izteikti vairāki apgalvojumi un jāanalizē, kuri (vai cik) no tiem var būt patiesi. :
LV.AMO.2022B.6.5,
2.6.2. Uzdevumi ar apslēptu informāciju
Uzdevumi, kur jānoskaidro apslēptā informācija, uzdodot jautājumus noteiktā formā.
2.6.3. Paradoksi
Loģikas uzdevumi, kur jāpamato neparasti apgalvojumi vai jāatrod secinājumos kļūdas.
2.7. Diskrētās varbūtības
Atrast varbūtības izmantojot klasisko varbūtības definīciju. Aprēķināt notikumu varbūtības, izmantojot reizināšanas likumu un citus kombinatorikas paņēmienus. Nosacītas varbūtības un spriedumi par operācijām ar diskrētiem gadījumlielumiem (kuri var pieņemt sanumurējami daudz vērtību).
2.7.1. Notikumu un to kombināciju varbūtības
Notikumu varbūtību noteikšana ar Laplasa varbūtības definīciju
2.7.2. Nosacītā varbūtība
Nosacītā varbūtība un Beiesa formula
2.7.3. Diskrētie gadījumlielumi
Gadījumlielumi, to sadalījuma un blīvuma funkcijas, darbības ar tiem
2.7.3.1. Gadījumlieluma vidējās vērtība un dispersija
Gadījumlieluma aprakstīšana ar vidējo vērtību n
2.7.3.1.1. Neatkarīgu gadījumlielumu īpašības
\(E(X+Y)\) un \(V(X+Y)\) formulas
2.7.3.1.2. Markova un Čebiševa nevienādības
Apgalvojumi par gadījumlieluma novirzi no savas vidējās vērtības
2.7.3.2. Pazīstami varbūtiskie sadalījumi
Bernulli, binomiālais, Puasona, logaritmiskais, ģeometriskais, hiperģeometriskais, Zipfa, Benforda sadalījumi
Notikumu varbūtību noteikšana ar Laplasa varbūtības definīciju
2.7.2. Nosacītā varbūtība
Nosacītā varbūtība un Beiesa formula
2.7.3. Diskrētie gadījumlielumi
Gadījumlielumi, to sadalījuma un blīvuma funkcijas, darbības ar tiem
2.7.3.1. Gadījumlieluma vidējās vērtība un dispersija
Gadījumlieluma aprakstīšana ar vidējo vērtību n
2.7.3.1.1. Neatkarīgu gadījumlielumu īpašības
\(E(X+Y)\) un \(V(X+Y)\) formulas
2.7.3.1.2. Markova un Čebiševa nevienādības
Apgalvojumi par gadījumlieluma novirzi no savas vidējās vērtības
2.7.3.2. Pazīstami varbūtiskie sadalījumi
Bernulli, binomiālais, Puasona, logaritmiskais, ģeometriskais, hiperģeometriskais, Zipfa, Benforda sadalījumi
3. Ģeometrija
3.1. Leņķi un līdzīgi trijstūri
Uzdevumi, kuros jāpierāda, ka kādas taisnes vai nogriežņi ir paralēli vai perpendikulāri. Uzdevumi, kuros dota vai jāpierāda nogriežņu garumu attiecība vai leņķu vienādība. Uzdevumi par līdzīgiem trijstūriem vai līdzīgiem daudzstūriem un to malu garumu vai laukumu attiecībām.
3.1.1. Nogriežņi, kurus krusto paralēlas taisnes
Leņķi un paralēlas taisnes: blakusleņķi (linear pairs), krustleņķi (vertical angles), kāpšļu leņķi (corresponding angles), iekšējie un ārējie leņķi (interior and exterior angles)
3.1.2. Līdzīgu trijstūru malu attiecība
3.1.3. Līdzīgu trijstūru laukumu attiecība
3.1.4. Trijstūru vienādības pierādījuma lietojums
3.1.5. Trijstūris, ko nosaka augstumu pamati
3.1.6. Līdzīgas figūras
Leņķi un paralēlas taisnes: blakusleņķi (linear pairs), krustleņķi (vertical angles), kāpšļu leņķi (corresponding angles), iekšējie un ārējie leņķi (interior and exterior angles)
3.1.2. Līdzīgu trijstūru malu attiecība
3.1.3. Līdzīgu trijstūru laukumu attiecība
3.1.4. Trijstūru vienādības pierādījuma lietojums
3.1.5. Trijstūris, ko nosaka augstumu pamati
3.1.6. Līdzīgas figūras
3.2. Riņķa līnijas
Uzdevumi par riņķa līnijām un to hordām, pieskarēm, ievilktiem leņķiem.Punkti uz riņķa līnijas. Riņķa līnijā ievilkts trijstūris, četrstūris, daudzstūris. Leņķis riņķa līnijā. Ievilkta riņķa līnija. Apvilkta riņķa līnija.
Nesašķiroti: LV.AMO.2003.10.2, LV.AMO.2003.11.2, LV.AMO.2003.9.4, LV.AMO.2011.5.3, LV.AMO.2012.5.2,
3.2.1. Riņķa līniju pieskares
3.2.2. Hordu garumu reizinājums.
3.2.3. Leņķi, kas balstās uz vienādiem lokiem
Izmantot riņķī ievilkta leņķa īpašības :
LV.AMO.2003.10.2, LV.AMO.2003.11.2, LV.AMO.2011.5.3, LV.AMO.2012.5.2,
3.2.4. Leņķis starp divām hordām
3.2.5. Leņķis starp pieskari un hordu
3.2.6. Loka un hordas izteikšana ar leņķi
Attiecības starp leņķa lielumu un loka un hordas garumiem, kas saistīti ar leņķi
3.2.7. Četri punkti uz vienas riņķa līnijas
3.2.8. Ievilkts leņķis un līdzīgi trijstūri
3.9.9. Koordinātu metode
3.2.9. Bisektrise sadala loku uz pusēm : LV.AMO.2003.9.4,
3.2.10. Ievilkts četrstūris ar perpendikulārām diagonālēm
3.2.11. Divas pieskares, kas novilktas no viena punkta
3.2.12. Riņķa līnijas, kas pieskaras
3.2.13. Trīs riņķa līnijas ar vienādu rādiusu
3.2.14. Trīs apvilktas riņķa līnijas krustojas vienā punktā
3.2.15. Segmentā ievilktas riņķa līnijas
3.2.16. Radikālā ass
3.2.1. Riņķa līniju pieskares
3.2.2. Hordu garumu reizinājums.
3.2.3. Leņķi, kas balstās uz vienādiem lokiem
Izmantot riņķī ievilkta leņķa īpašības :
LV.AMO.2003.10.2, LV.AMO.2003.11.2, LV.AMO.2011.5.3, LV.AMO.2012.5.2,
3.2.4. Leņķis starp divām hordām
3.2.5. Leņķis starp pieskari un hordu
3.2.6. Loka un hordas izteikšana ar leņķi
Attiecības starp leņķa lielumu un loka un hordas garumiem, kas saistīti ar leņķi
3.2.7. Četri punkti uz vienas riņķa līnijas
3.2.8. Ievilkts leņķis un līdzīgi trijstūri
3.9.9. Koordinātu metode
3.2.9. Bisektrise sadala loku uz pusēm : LV.AMO.2003.9.4,
3.2.10. Ievilkts četrstūris ar perpendikulārām diagonālēm
3.2.11. Divas pieskares, kas novilktas no viena punkta
3.2.12. Riņķa līnijas, kas pieskaras
3.2.13. Trīs riņķa līnijas ar vienādu rādiusu
3.2.14. Trīs apvilktas riņķa līnijas krustojas vienā punktā
3.2.15. Segmentā ievilktas riņķa līnijas
3.2.16. Radikālā ass
3.3. Trijstūris
Uzdevumos dots trijstūris un ar to saistīti punkti vai taisnes, vai riņķa līnijas. Trijstūris un tā ievilktā un apvilktā riņķa līnija. Taisnleņķa trijstūri. Vienādmalu trijstūris. Vienādsānu trijstūri. Trijstūri ar leņķiem \(60^{\circ}\) vai \(120^{\circ}\).Trijstūri, kuru malu garumi ir veseli skaitļi. Ar trijstūri saistītas līnijas un ģeometriskas sakarības. Menelaja teorēma. Čevas teorēma. Simsona taisne. Pēdas punktu trijstūris. Eilera taisne un deviņu punktu riņķa līnija. Brokāra punkti . Lemuāna punkts.
Nesašķiroti: LV.AMO.2003.7.4, LV.AMO.2003.9.4, LV.AMO.2012.9.2,
3.3.1. Metriskas sakarības trijstūrī
3.3.1.1. Trijstūra leņķu sakarības
Izmantot trijstūra iekšējo un ārējo leņķu sakarības
3.3.1.2. Laukuma formulas
Izmantot trijstūru laukuma formulas
3.3.1.2.1. Trijstūra laukums ar pamatu un augstumu
Izmantot trijstūra laukuma formulu \(S=\frac{ah}{2}\)
3.3.1.2.2. Trijstūra laukums ar malām un leņķi
Izmantot trijstūra laukuma formulu \(S=\frac{1}{2}ab \sin \gamma\)
3.3.2. Trijstūris un tā ievilktā un apvilktā riņķa līnija
3.3.3. Speciālu veidu trijstūri
Izmantot noteiktu trijstūru apakškopu īpašības :
LV.AMO.2003.7.4,
3.3.3.1. Taisnleņķa trijstūri
3.3.3.2. Vienādmalu trijstūris
Izmantot vienādmalu trijstūru īpašības
3.3.3.3. Vienādsānu trijstūri
Izmantot vienādsānu trijstūru īpašības :
LV.AMO.2003.7.4,
3.3.3.4. Trijstūri ar leņķiem \(60^{\circ}\) vai \(120^{\circ}\)
3.3.3.5. Trijstūri, kuru malu garumi ir veseli skaitļi
3.3.4. Vienādības pazīmes
Izmantot trijstūru vienādības pazīmes :
LV.AMO.2003.9.4, LV.AMO.2012.9.2,
3.3.5. Jaunu konstrukciju pievienošana trijstūrim
Ar trijstūri saistītas ģeometriskas sakarības un konstrukcijas un to lietojumi
3.3.5.1. Menelaja teorēma
3.3.5.2. Čevas teorēma
3.3.5.3. Simsona taisne
3.3.5.4. Pēdas punktu trijstūris
3.3.5.5. Eilera taisne un deviņu punktu riņķa līnija
3.3.5.6. Brokāra punkti
3.3.5.7. Lemuāna punkts
3.3.1. Metriskas sakarības trijstūrī
3.3.1.1. Trijstūra leņķu sakarības
Izmantot trijstūra iekšējo un ārējo leņķu sakarības
3.3.1.2. Laukuma formulas
Izmantot trijstūru laukuma formulas
3.3.1.2.1. Trijstūra laukums ar pamatu un augstumu
Izmantot trijstūra laukuma formulu \(S=\frac{ah}{2}\)
3.3.1.2.2. Trijstūra laukums ar malām un leņķi
Izmantot trijstūra laukuma formulu \(S=\frac{1}{2}ab \sin \gamma\)
3.3.2. Trijstūris un tā ievilktā un apvilktā riņķa līnija
3.3.3. Speciālu veidu trijstūri
Izmantot noteiktu trijstūru apakškopu īpašības :
LV.AMO.2003.7.4,
3.3.3.1. Taisnleņķa trijstūri
3.3.3.2. Vienādmalu trijstūris
Izmantot vienādmalu trijstūru īpašības
3.3.3.3. Vienādsānu trijstūri
Izmantot vienādsānu trijstūru īpašības :
LV.AMO.2003.7.4,
3.3.3.4. Trijstūri ar leņķiem \(60^{\circ}\) vai \(120^{\circ}\)
3.3.3.5. Trijstūri, kuru malu garumi ir veseli skaitļi
3.3.4. Vienādības pazīmes
Izmantot trijstūru vienādības pazīmes :
LV.AMO.2003.9.4, LV.AMO.2012.9.2,
3.3.5. Jaunu konstrukciju pievienošana trijstūrim
Ar trijstūri saistītas ģeometriskas sakarības un konstrukcijas un to lietojumi
3.3.5.1. Menelaja teorēma
3.3.5.2. Čevas teorēma
3.3.5.3. Simsona taisne
3.3.5.4. Pēdas punktu trijstūris
3.3.5.5. Eilera taisne un deviņu punktu riņķa līnija
3.3.5.6. Brokāra punkti
3.3.5.7. Lemuāna punkts
3.4. Četrstūris
Kvadrāts. Taisnstūris. Rombs. Trapece. Ievilkti četrstūri. Apvilkti četrstūri. Ptolemaja teorēma.
Nesašķiroti: LV.AMO.2012.9.5, LV.AMO.2014.5.3,
3.4.1. Speciāli četrstūru veidi : LV.AMO.2012.9.5, LV.AMO.2014.5.3,
3.4.1.1. Kvadrāts
Izmantot kvadrātu ģeometriskās īpašības
3.4.1.2. Taisnstūris
Izmantot taisnstūru ģeometriskās īpašības :
LV.AMO.2014.5.3,
3.4.1.3. Rombs
Izmantot rombu ģeometriskās īpašības
3.4.1.4. Paralelograms
Izmantot paralelogramu ģeometriskās īpašības
3.4.1.5. Trapece
Izmantot trapeču ģeometriskās īpašības un laukuma formulu :
LV.AMO.2012.9.5,
3.4.1.6. Ievilkti un apvilkti četrstūri
3.4.1.7. Ptolemaja teorēma
3.4.1.8. Pārējie uzdevumi par četrstūriem
3.4.1. Speciāli četrstūru veidi : LV.AMO.2012.9.5, LV.AMO.2014.5.3,
3.4.1.1. Kvadrāts
Izmantot kvadrātu ģeometriskās īpašības
3.4.1.2. Taisnstūris
Izmantot taisnstūru ģeometriskās īpašības :
LV.AMO.2014.5.3,
3.4.1.3. Rombs
Izmantot rombu ģeometriskās īpašības
3.4.1.4. Paralelograms
Izmantot paralelogramu ģeometriskās īpašības
3.4.1.5. Trapece
Izmantot trapeču ģeometriskās īpašības un laukuma formulu :
LV.AMO.2012.9.5,
3.4.1.6. Ievilkti un apvilkti četrstūri
3.4.1.7. Ptolemaja teorēma
3.4.1.8. Pārējie uzdevumi par četrstūriem
3.5. Daudzstūris
Piecstūri. Sešstūri. Regulāri daudzstūri. Ievilkti un apvilkti daudzstūri. Patvaļīgi izliekti daudzstūri. Paskāla teorēma. Helli teorēma. Ieliekti daudzstūri. Izoperimetriskā nevienādība.
Nesašķiroti: LV.AMO.2003.8.4, LV.AMO.2022B.5.2,
3.5.1. Daudzstūra perimetrs
Daudzstūra perimetra atrašana un novērtējumi :
LV.AMO.2003.8.4, LV.AMO.2022B.5.2,
3.5.2. Daudzstūra iekšējo leņķu summa
Izmantot daudzstūru leņķu summas sakarību \(180^{\circ}(n-2)\) un citas leņķu sakarības
3.5.3. Piecstūri
3.5.4. Sešstūri
3.5.5. Regulāri daudzstūri
Regulāru daudzstūru īpašības un elementi
3.5.6. Ievilkti un apvilkti daudzstūri
3.5.7. Patvaļīgi izliekti daudzstūri
3.5.8. Paskāla teorēma
3.5.9. Helli teorēma
3.5.10. Ieliekti daudzstūri
3.5.11. Izoperimetriskā nevienādība
3.5.1. Daudzstūra perimetrs
Daudzstūra perimetra atrašana un novērtējumi :
LV.AMO.2003.8.4, LV.AMO.2022B.5.2,
3.5.2. Daudzstūra iekšējo leņķu summa
Izmantot daudzstūru leņķu summas sakarību \(180^{\circ}(n-2)\) un citas leņķu sakarības
3.5.3. Piecstūri
3.5.4. Sešstūri
3.5.5. Regulāri daudzstūri
Regulāru daudzstūru īpašības un elementi
3.5.6. Ievilkti un apvilkti daudzstūri
3.5.7. Patvaļīgi izliekti daudzstūri
3.5.8. Paskāla teorēma
3.5.9. Helli teorēma
3.5.10. Ieliekti daudzstūri
3.5.11. Izoperimetriskā nevienādība
3.6. Laukums
Laukumu aprēķināšana. Četrstūra laukuma formulas. Laukumi trijstūriem vai citām figūrām, kurās ir sadalīts daudzstūris. Vienlielas figūras. Mediāna sadala trijstūri vienādu laukumu trijstūros. Taisnes un līknes, kas sadala figūras vienlielās daļās. Laukumu pārgrupēšana.
Nesašķiroti: LV.AMO.2022B.5.2,
3.6.1. Laukumu aprēķināšana
3.6.2. Četrstūri un laukumi
3.6.2.1. Četrstūra laukuma formulas
3.6.2.2. Laukumi trijstūriem, kuros ir sadalīts četrstūris
3.6.2.3. Laukumi figūrām, kuras iegūst, sadalot četrstūri
3.6.3. Vienlielas figūras
3.6.3.1. Mediāna sadala trijstūri vienādu laukumu trijstūros
3.6.3.2. Taisnes un līknes, kas sadala figūras vienlielās daļās
3.6.4. Laukuma izmantošana uzdevumu risinājumos
3.6.5. Laukumu pārgrupēšana
3.6.1. Laukumu aprēķināšana
3.6.2. Četrstūri un laukumi
3.6.2.1. Četrstūra laukuma formulas
3.6.2.2. Laukumi trijstūriem, kuros ir sadalīts četrstūris
3.6.2.3. Laukumi figūrām, kuras iegūst, sadalot četrstūri
3.6.3. Vienlielas figūras
3.6.3.1. Mediāna sadala trijstūri vienādu laukumu trijstūros
3.6.3.2. Taisnes un līknes, kas sadala figūras vienlielās daļās
3.6.4. Laukuma izmantošana uzdevumu risinājumos
3.6.5. Laukumu pārgrupēšana
3.7. Konstrukcijas uzdevumi
Uzdevumi, kuros doti specifiski trijstūra elementi un, izmantojot cirkuli un lineālu, jākonstruē trijstūri. Uzdevumi, kuros doti konkrēti punkti un/ vai nogriežņi, taisnes, leņķi vai riņķa līnijas un nepieciešams konstruēt trijstūri, četrstūri, leņķi, taisni, staru vai riņķa līniju, izmantojot cirkuli un lineālu. Iespējami arī uzdevumi, kuros ļauts izmantot tikai lineālu, divpusēju lineālu vai uzstūri (taisnleņķa lineālu). Citi konstrukcijas uzdevumi.
Nesašķiroti: LV.AMO.2011.5.3, LV.AMO.2012.5.2,
3.7.1. Ievilkta leņķa konstruēšana
3.7.2. Trijstūru konstruēšana
3.7.2.1. Līdzīgu trijstūru un homotētijas attēlu konstruēšana
3.7.2.2. Trijstūru konstruēšana no to elementiem
3.7.2.3. Trijstūru konstruēšana no to īpašajiem punktiem
3.7.3. Četrstūru konstruēšana
3.7.4. Riņķa līniju konstruēšana
3.7.5. Apolonija riņķa līniju konstruēšana
3.7.6. Konstrukcijas plaknē ar neparastiem līdzekļiem
3.7.6.1. Konstrukcijas, kas izmanto tikai lineālu
3.7.6.2. Konstrukcijas ar divpusēju lineālu
3.7.6.3. Konstrukcijas ar taisnleņķa lineālu
3.7.6.4. Konstrukcijas, kas izmanto tikai cirkuli
3.7.6.5. Konstrukcijas plaknē ar citiem līdzekļiem
3.7.7. Triangulācija
Veikt daudzstūru triangulāciju :
LV.AMO.2011.5.3, LV.AMO.2012.5.2,
3.7.1. Ievilkta leņķa konstruēšana
3.7.2. Trijstūru konstruēšana
3.7.2.1. Līdzīgu trijstūru un homotētijas attēlu konstruēšana
3.7.2.2. Trijstūru konstruēšana no to elementiem
3.7.2.3. Trijstūru konstruēšana no to īpašajiem punktiem
3.7.3. Četrstūru konstruēšana
3.7.4. Riņķa līniju konstruēšana
3.7.5. Apolonija riņķa līniju konstruēšana
3.7.6. Konstrukcijas plaknē ar neparastiem līdzekļiem
3.7.6.1. Konstrukcijas, kas izmanto tikai lineālu
3.7.6.2. Konstrukcijas ar divpusēju lineālu
3.7.6.3. Konstrukcijas ar taisnleņķa lineālu
3.7.6.4. Konstrukcijas, kas izmanto tikai cirkuli
3.7.6.5. Konstrukcijas plaknē ar citiem līdzekļiem
3.7.7. Triangulācija
Veikt daudzstūru triangulāciju :
LV.AMO.2011.5.3, LV.AMO.2012.5.2,
3.8. Punktu ģeometriskā vieta
Uzdevumi, kuros jāatrod punktu ģeometrskā vieta vai trajektorija. Atrast punktu kopu plaknē ar noteiktām īpašībām. Pierādīt, ka dotajā veidā iegūtie punkti ir uz vienas taisnes vai vienas riņķa līnijas. Pierādīt, ka dotās līnijas krustojas vienā punktā. Karno teorēma.
3.8.1. Punktu ģeometriskā vieta – taisne vai nogrieznis
3.8.2. Punktu ģeometriskā vieta – riņķa līnija vai loks
3.8.3. Ievilkts leņķis
3.8.4. Vienādi vai līdzīgi palīgtrijstūri
3.8.5. Homotētija
3.8.6. Punktu ģeometriskās vietas metode
3.8.7. Punktu ģeometriskā vieta ar nenulles laukumu
3.8.8. Karno teorēma
\(P_a, P_b, P_c\) ir trīs perpendikulu pamati pret trijstūra malām \(a, b, c\). Šie trīs perpendikuli krustojas vienā punktā tad un tikai tad, ja izpildās vienādība \(|AP_c|^2+|BP_a|^2+|CP_b|^2=|BP_c|^2+|CP_a|^2+|AP_b|^2\)
3.8.9. Fermā-Apolonija riņķa līnija
3.8.2. Punktu ģeometriskā vieta – riņķa līnija vai loks
3.8.3. Ievilkts leņķis
3.8.4. Vienādi vai līdzīgi palīgtrijstūri
3.8.5. Homotētija
3.8.6. Punktu ģeometriskās vietas metode
3.8.7. Punktu ģeometriskā vieta ar nenulles laukumu
3.8.8. Karno teorēma
\(P_a, P_b, P_c\) ir trīs perpendikulu pamati pret trijstūra malām \(a, b, c\). Šie trīs perpendikuli krustojas vienā punktā tad un tikai tad, ja izpildās vienādība \(|AP_c|^2+|BP_a|^2+|CP_b|^2=|BP_c|^2+|CP_a|^2+|AP_b|^2\)
3.8.9. Fermā-Apolonija riņķa līnija
3.9. Metriskās sakarības
Uzdevumi, kuros ģeometrisku apgalvojumu pamato ar algebrisku vai trigonometrisku izteiksmi. Uzdevumi, kuros dota sakarība starp ģeometriskiem lielumiem un jāpierāda, ka tā nav atkarīga no punkta vai taisnes izvēles. Uzdevumi, kuros jāpierāda nogriežņu vienādība vai jāaprēķina to attiecība. Uzdevumi, kuros jāaprēķina leņķi vai attālumi. Sinusu teorēma, kosinusu teorēma. Koordinātu izmantošana. Ievilkto, apvilkto un pievilkto riņķa līniju rādiusi. Malu, augstumu, bisektrišu garumi. Trijstūra leņķu sinusi un kosinusi. Trijstūra leņķu tangensi un kotangensi.
3.9.1. Sinusu teorēma
Teorēma \(\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2R\), kur \(a,b,c\) ir trijstūra malas; \(\alpha, \beta, \gamma\) ir trijstūra leņķi un \(R\) ir trijstūrim apvilktā riņķa rādiuss.
3.9.2. Kosinusu teorēma
3.9.3. Ievilktās, apvilktās, pievilktās riņķa līnijas
Ievilktās, apvilktās un pievilktās riņķa līnijas, to rādiusi
3.9.4. Malu, augstumu, bisektrišu garumi
3.9.5. Trijstūra leņķu sinusi un kosinusi
3.9.6. Trijstūra leņķu tangensi un kotangensi
3.9.7. Leņķu aprēķināšana
3.9.8. Riņķa līnijas
3.9.10. Trigonometriskās interpretācijas
Teorēma \(\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2R\), kur \(a,b,c\) ir trijstūra malas; \(\alpha, \beta, \gamma\) ir trijstūra leņķi un \(R\) ir trijstūrim apvilktā riņķa rādiuss.
3.9.2. Kosinusu teorēma
3.9.3. Ievilktās, apvilktās, pievilktās riņķa līnijas
Ievilktās, apvilktās un pievilktās riņķa līnijas, to rādiusi
3.9.4. Malu, augstumu, bisektrišu garumi
3.9.5. Trijstūra leņķu sinusi un kosinusi
3.9.6. Trijstūra leņķu tangensi un kotangensi
3.9.7. Leņķu aprēķināšana
3.9.8. Riņķa līnijas
3.9.10. Trigonometriskās interpretācijas
3.10. Ģeometriskas nevienādības
Pierādīt, ka kāds attālums nepārsniedz citu attālumu vai citu ģeometrisku nevienādību.
Nesašķiroti: LV.NOL.2010.8.2,
3.10.1. Trijstūra nevienādība : LV.NOL.2010.8.2,
3.10.2. Nevienādības trijstūra elementiem
3.10.2.1. Nevienādības trijstūra mediānām
3.10.2.2. Nevienādības trijstūra augstumiem
3.10.2.3. Nevienādības trijstūra bisektrisēm
3.10.2.4. Nevienādības malu garumiem
3.10.2.5. Ievilkto, apvilkto, pievilkto riņķa līniju nevienādības
3.10.2.6. Nevienādības starp trijstūra leņķiem
3.10.2.7. Nevienādības trijstūra laukumam
3.10.2.8. Pret garāko malu ir lielākais leņķis
3.10.2.9. Nogrieznis trijstūra iekšpusē
Jebkurš nogrieznis trijstūra iekšpusē ir īsāks par garāko malu
3.10.2.10. Nevienādības taisnleņķa trijstūrī
3.10.2.11. Nevienādības šaurleņķa trijstūrī
3.10.2.12. Trijstūra laukums un \(\frac{1}{2}ab\)
Trijstūra laukums nepārsniedz divu malu reizinājuma pusi
3.10.3. Četrstūra diagonāļu garumu summa
3.10.4. Laukumu nevienādības
3.10.5. Laukums, ja viena figūra atrodas citā
3.10.6. Kvadrātā ievilktas lauztas līnijas
3.10.1. Trijstūra nevienādība : LV.NOL.2010.8.2,
3.10.2. Nevienādības trijstūra elementiem
3.10.2.1. Nevienādības trijstūra mediānām
3.10.2.2. Nevienādības trijstūra augstumiem
3.10.2.3. Nevienādības trijstūra bisektrisēm
3.10.2.4. Nevienādības malu garumiem
3.10.2.5. Ievilkto, apvilkto, pievilkto riņķa līniju nevienādības
3.10.2.6. Nevienādības starp trijstūra leņķiem
3.10.2.7. Nevienādības trijstūra laukumam
3.10.2.8. Pret garāko malu ir lielākais leņķis
3.10.2.9. Nogrieznis trijstūra iekšpusē
Jebkurš nogrieznis trijstūra iekšpusē ir īsāks par garāko malu
3.10.2.10. Nevienādības taisnleņķa trijstūrī
3.10.2.11. Nevienādības šaurleņķa trijstūrī
3.10.2.12. Trijstūra laukums un \(\frac{1}{2}ab\)
Trijstūra laukums nepārsniedz divu malu reizinājuma pusi
3.10.3. Četrstūra diagonāļu garumu summa
3.10.4. Laukumu nevienādības
3.10.5. Laukums, ja viena figūra atrodas citā
3.10.6. Kvadrātā ievilktas lauztas līnijas
3.11. Ekstrēmi ģeometrijā
Uzdevumi, kuros jāatrod punkti, no kuriem attālumi vai attālumu summas veido maksimālo jeb lielāko vai minimālo jeb mazāko kādas izteiksmes vērtību. Uzdevumi, kuros jāatrod lielākais iespējamais leņķis. Uzdevumi, kuros jāatrod minimālais vai maksimālais laukums.Uzdevumi, kuros jāatrod punkta vai taisnes stāvoklis, pie kura tiek iegūts minimālais vai maksimālais laukums.
Nesašķiroti: LV.AMO.2012.8.3, LV.NOL.2008.7.3,
3.11.1. Trijstūris
3.11.2. Trijstūra ekstremālie punkti
3.11.3. Leņķis
3.11.4. Četrstūri
3.11.5. Daudzstūri
3.11.6. Regulāro daudzstūru ekstremālās īpašības
3.11.7. Ģeometriski novērtējumi ar vidējo vērtību : LV.AMO.2012.8.3, LV.NOL.2008.7.3,
3.11.7.1. Maksimālais attālums starp daudzstūra punktiem
3.11.7.2. Lauztas līnijas virsotņu un posmu īpašības
3.11.7.3. Summu novērtēšanas metodes
3.11.7.3.1. Tieši summu novērtējumi
3.11.7.3.2. Summu novērtējumi un pārklāšanās; apkārtnes jēdziens.
3.11.7.3.3. Summu novērtējumi un trijstūra nevienādība
3.11.7.4. R.Greiama teorēma : LV.AMO.2012.8.3, LV.NOL.2008.7.3,
3.11.7.4.1. Smaguma centra koordinātas : LV.AMO.2012.8.3, LV.NOL.2008.7.3,
3.11.7.6. Smaguma centrs kā vidējās vērtības jēdziena variants
3.11.7.7. Dirihlē princips laukumam un tilpumam
3.11.8. Metodes pielietojumi bezgalīgām kopām
3.11.8.1. Bezgalīgas kopas aizstāšana ar lielu galīgu kopu
3.11.8.2. Bezgalīgu kopu sadalīšana galīgā skaitā daļu
3.11.8.3. Nogriežņa projekcijas integrālā vidējā vērtība
3.11.1. Trijstūris
3.11.2. Trijstūra ekstremālie punkti
3.11.3. Leņķis
3.11.4. Četrstūri
3.11.5. Daudzstūri
3.11.6. Regulāro daudzstūru ekstremālās īpašības
3.11.7. Ģeometriski novērtējumi ar vidējo vērtību : LV.AMO.2012.8.3, LV.NOL.2008.7.3,
3.11.7.1. Maksimālais attālums starp daudzstūra punktiem
3.11.7.2. Lauztas līnijas virsotņu un posmu īpašības
3.11.7.3. Summu novērtēšanas metodes
3.11.7.3.1. Tieši summu novērtējumi
3.11.7.3.2. Summu novērtējumi un pārklāšanās; apkārtnes jēdziens.
3.11.7.3.3. Summu novērtējumi un trijstūra nevienādība
3.11.7.4. R.Greiama teorēma : LV.AMO.2012.8.3, LV.NOL.2008.7.3,
3.11.7.4.1. Smaguma centra koordinātas : LV.AMO.2012.8.3, LV.NOL.2008.7.3,
3.11.7.6. Smaguma centrs kā vidējās vērtības jēdziena variants
3.11.7.7. Dirihlē princips laukumam un tilpumam
3.11.8. Metodes pielietojumi bezgalīgām kopām
3.11.8.1. Bezgalīgas kopas aizstāšana ar lielu galīgu kopu
3.11.8.2. Bezgalīgu kopu sadalīšana galīgā skaitā daļu
3.11.8.3. Nogriežņa projekcijas integrālā vidējā vērtība
3.12. Vektori
Visi uzdevumi par vektoriem.
3.12.1. Vektori, ko veido daudzstūru malas
Daudzstūra malas var uzskatīt par vektoriem; tad slēgtā lauztā līnija, ko apraksta daudzstūris, rodas tikai tad, ja visu malu vektoru summa ir nulles vektors.
3.12.2. Skalārais reizinājums. Attiecības
Skalārais reizinājums definēts kā \(|a| \cdot |b| \cdot \cos \gamma\), kur \(\gamma\) ir leņķis starp vektoriem \(a\) un \(b\).
3.12.3. Nevienādības vektoru garumiem, laukumiem u.c.
Vektori ļauj ieviest dažus skalārus lielumus (vektoru garumus, skalāro reizinājumu, laukumu, ko veido divu vektoru noteikts paralelograms). Tie apmierina vairākas nevienādības, no kurām pazīstamākā ir trijstūra nevienādība. Vektoru izteiksmē tā ir \(|a+b| \leq |a| + |b|\).
3.12.4. Vektoru summas
Vektoru summēšana. Ģeometrisku elementu izteikšana ar vektoru summām (varbūt arī par noteiktu leņķi pagrieztu vai projicētu vektoru summām).
3.12.5. Palīgprojekcijas
Vektoru projicēšana, piemēram, uz divām perpendikulārām taisnēm. Vektora izteikšana ar abu tā projekciju summu.
3.12.6. Vidējās vērtības metode vektoriem
3.12.7. Pseidoskalārais reizinājums.
Pseidoskalārais reizinājums definēts kā \(|a| \cdot |b| \cdot \sin \gamma\), kur \(\gamma\) ir leņķis starp vektoriem \(\mathbb{a}\) un \(\mathbb{b}\). Tas apraksta paralelograma laukumu, ko veido abi vektori (var būt arī ar mīnusa zīmi - atkarībā no leņķa griešanās virziena).
Daudzstūra malas var uzskatīt par vektoriem; tad slēgtā lauztā līnija, ko apraksta daudzstūris, rodas tikai tad, ja visu malu vektoru summa ir nulles vektors.
3.12.2. Skalārais reizinājums. Attiecības
Skalārais reizinājums definēts kā \(|a| \cdot |b| \cdot \cos \gamma\), kur \(\gamma\) ir leņķis starp vektoriem \(a\) un \(b\).
3.12.3. Nevienādības vektoru garumiem, laukumiem u.c.
Vektori ļauj ieviest dažus skalārus lielumus (vektoru garumus, skalāro reizinājumu, laukumu, ko veido divu vektoru noteikts paralelograms). Tie apmierina vairākas nevienādības, no kurām pazīstamākā ir trijstūra nevienādība. Vektoru izteiksmē tā ir \(|a+b| \leq |a| + |b|\).
3.12.4. Vektoru summas
Vektoru summēšana. Ģeometrisku elementu izteikšana ar vektoru summām (varbūt arī par noteiktu leņķi pagrieztu vai projicētu vektoru summām).
3.12.5. Palīgprojekcijas
Vektoru projicēšana, piemēram, uz divām perpendikulārām taisnēm. Vektora izteikšana ar abu tā projekciju summu.
3.12.6. Vidējās vērtības metode vektoriem
3.12.7. Pseidoskalārais reizinājums.
Pseidoskalārais reizinājums definēts kā \(|a| \cdot |b| \cdot \sin \gamma\), kur \(\gamma\) ir leņķis starp vektoriem \(\mathbb{a}\) un \(\mathbb{b}\). Tas apraksta paralelograma laukumu, ko veido abi vektori (var būt arī ar mīnusa zīmi - atkarībā no leņķa griešanās virziena).
3.13. Ģeometriskie pārveidojumi
Paralēlā pārnese, centrālā simetrija, aksiālā simetrija. Simetrijas kompozīcijas. Simetrijas un simetrijas asu īpašības. Pagriezieni un pagriezienu kompozīcijas. Homotētija, homotētiju kompozīcijas un pagrieziena homotētija. Inversija. Afīnie pārveidojumi, projektīvās transformācijas.
Nesašķiroti: LV.AMO.2011.5.3, LV.AMO.2022B.6.2,
3.13.1. Paralēlā pārnese
3.13.2. Centrālā simetrija
3.13.3. Aksiālā simetrija
3.13.3.1. Uzdevumu risināšana ar simetrijas palīdzību
3.13.3.2. Konstrukcijas ar asu simetriju
3.13.3.3. Nevienādības un ekstrēmi
3.13.3.4. Simetrijas kompozīcijas
3.13.3.5. Simetrijas un simetrijas asu īpašības
3.13.4. Pagrieziens : LV.AMO.2022B.6.2,
3.13.4.1. Pagrieziens par \(90^{\circ}\)
Pagriezieni par \(90^{\circ}\), tsk. koordinātu ģeometrijā vai uzdevumos par rūtiņu papīru. :
LV.AMO.2022B.6.2,
3.13.4.2. Pagrieziens par \(60^{\circ}\)
3.13.4.3. Pagriezieni par patvaļīgiem leņķiem
3.13.4.4. Pagriezienu kompozīcijas
3.13.5. Homotētija un pagrieziena homotētija
3.13.5.1. Homotētiski daudzstūri
3.13.5.2. Homotētiskas riņķa līnijas
3.13.5.3. Homotētiju kompozīcijas
3.13.5.4. Pagrieziena homotētija
3.13.5.5. Pagrieziena homotētijas centrs
3.13.5.6. Pagrieziena homotētiju kompozīcija
3.13.6. Inversija
3.13.6.1. Inversijas īpašības
3.13.6.2. Konstrukcijas tikai ar cirkuļa palīdzību
3.13.6.3. Punktu un riņķa līniju incidence
Punkti, kas atrodas uz vienas riņķa līnijas, un riņķa līnijas, kas iet caur vienu punktu
3.13.6.4. Riņķa līniju ķēdes
3.13.6.5. Citi inversijas lietojumi
3.13.7. Afīnie pārveidojumi
Afīnie pārveidojumi, ieskaitot plaknes paralēlās projekcijas
3.13.8. Projektīvās transformācijas
Centrālās projekcijas
3.13.8.1. Taisnes projektīvās transformācijas
3.13.8.2. Plaknes projektīvās transformācijas
3.13.8.3. Pārveidosim doto taisni uz bezgalību
3.13.8.4. Projekcijas, kas saglabā riņķa līniju
Projektīvo pārveidojumu pielietošana, kas saglabā riņķa līniju
3.13.8.5. Taisnes projektīvie pārveidojumi konstrukcijās
Taisnes projektīvie pārveidojumi konstrukcijas uzdevumos.
3.13.8.6. Konstrukcijas neiespējamība tikai ar lineāla palīdzību
3.13.9. Mazi ģeometriski pārvietojumi
Izdarīt spriedumus, kuros ir "ļoti mazi" ģeometriski pārvietojumi :
LV.AMO.2011.5.3,
3.13.1. Paralēlā pārnese
3.13.2. Centrālā simetrija
3.13.3. Aksiālā simetrija
3.13.3.1. Uzdevumu risināšana ar simetrijas palīdzību
3.13.3.2. Konstrukcijas ar asu simetriju
3.13.3.3. Nevienādības un ekstrēmi
3.13.3.4. Simetrijas kompozīcijas
3.13.3.5. Simetrijas un simetrijas asu īpašības
3.13.4. Pagrieziens : LV.AMO.2022B.6.2,
3.13.4.1. Pagrieziens par \(90^{\circ}\)
Pagriezieni par \(90^{\circ}\), tsk. koordinātu ģeometrijā vai uzdevumos par rūtiņu papīru. :
LV.AMO.2022B.6.2,
3.13.4.2. Pagrieziens par \(60^{\circ}\)
3.13.4.3. Pagriezieni par patvaļīgiem leņķiem
3.13.4.4. Pagriezienu kompozīcijas
3.13.5. Homotētija un pagrieziena homotētija
3.13.5.1. Homotētiski daudzstūri
3.13.5.2. Homotētiskas riņķa līnijas
3.13.5.3. Homotētiju kompozīcijas
3.13.5.4. Pagrieziena homotētija
3.13.5.5. Pagrieziena homotētijas centrs
3.13.5.6. Pagrieziena homotētiju kompozīcija
3.13.6. Inversija
3.13.6.1. Inversijas īpašības
3.13.6.2. Konstrukcijas tikai ar cirkuļa palīdzību
3.13.6.3. Punktu un riņķa līniju incidence
Punkti, kas atrodas uz vienas riņķa līnijas, un riņķa līnijas, kas iet caur vienu punktu
3.13.6.4. Riņķa līniju ķēdes
3.13.6.5. Citi inversijas lietojumi
3.13.7. Afīnie pārveidojumi
Afīnie pārveidojumi, ieskaitot plaknes paralēlās projekcijas
3.13.8. Projektīvās transformācijas
Centrālās projekcijas
3.13.8.1. Taisnes projektīvās transformācijas
3.13.8.2. Plaknes projektīvās transformācijas
3.13.8.3. Pārveidosim doto taisni uz bezgalību
3.13.8.4. Projekcijas, kas saglabā riņķa līniju
Projektīvo pārveidojumu pielietošana, kas saglabā riņķa līniju
3.13.8.5. Taisnes projektīvie pārveidojumi konstrukcijās
Taisnes projektīvie pārveidojumi konstrukcijas uzdevumos.
3.13.8.6. Konstrukcijas neiespējamība tikai ar lineāla palīdzību
3.13.9. Mazi ģeometriski pārvietojumi
Izdarīt spriedumus, kuros ir "ļoti mazi" ģeometriski pārvietojumi :
LV.AMO.2011.5.3,
3.14. Ģeometrisku objektu sistēmas
Punktu, nogriežņu un citu ģeometrisku objektu sistēmas. Doti n punkti, jāpierāda kādas to īpašības. Jānoskaidro, vai kaut kas ir iespējams.
3.14.1. Punktu sistēmu ģeometriskais novietojums
3.14.2. Nogriežņu, taišņu un riņķa līniju izvietojums
3.14.3. Punktu, nogriežņu un citu ģeometrisku objektu skaits
3.14.2. Nogriežņu, taišņu un riņķa līniju izvietojums
3.14.3. Punktu, nogriežņu un citu ģeometrisku objektu skaits
3.15. Griezumi, pārklājumi, krāsojumi
Uzdevumi, kuros jāsagriež daudzstūri speciāla veida daļās un tad no tām jāsaliek prasītā figūra. Uzdevumi, kuros jāpierāda, ka nevar sagriezt daudzstūri prasītā veida daļās. Uzdevumi, kuros jāpēta sagriežot iegūto daļu īpašības. Uzdevumi, kuros jānoskaidro, vai ir iespējams sagriezt daudzstūri prasītā veida daļās. Daļas var būt trijstūri, paralelogrami, rombi, trapeces. Jāsaliek var būt taisnstūris, cits daudzstūris. Uzdevumi, kuros jāpārklāj ģeometriska figūra ar citām. Te var būt nogriežņi, trijstūri, daudzstūri, riņķi. Uzdevumi par daudzstūru novietojumu plaknē tā lai tie nepārklājas. Uzdevumi par daudzstūru sagiešans rezultātā iegūto daļu krāsošanu un par plaknes krāsojumu īpašībām.
Nesašķiroti: LV.AMO.2003.7.2,
3.15.1. Kā taisnes sadala plakni
Uzdevumi par taišņu izvietojumiem plaknē, apgabaliem, kuri rodas pēc taišņu novilkšanas.
3.15.2. Sadalīšana paralelogramos.
Figūru pārklāšana ar paralelogramiem vai rombiem.
3.15.3. Sadalīšana daļās ar speciālām īpašībām. : LV.AMO.2003.7.2,
3.15.4. Figūru pārklāšanas uzdevumi
3.15.5. Uzdevumi par krāsojumiem
3.15.6. Ramseja teorija ģeometrijā
3.15.6.1. Attālumu realizācija plaknē
3.15.6.2. Attālumu realizācija veselo skaitļu kopā
3.15.6.3. Sarežģītāku konfigurāciju piemēri
3.15.1. Kā taisnes sadala plakni
Uzdevumi par taišņu izvietojumiem plaknē, apgabaliem, kuri rodas pēc taišņu novilkšanas.
3.15.2. Sadalīšana paralelogramos.
Figūru pārklāšana ar paralelogramiem vai rombiem.
3.15.3. Sadalīšana daļās ar speciālām īpašībām. : LV.AMO.2003.7.2,
3.15.4. Figūru pārklāšanas uzdevumi
3.15.5. Uzdevumi par krāsojumiem
3.15.6. Ramseja teorija ģeometrijā
3.15.6.1. Attālumu realizācija plaknē
3.15.6.2. Attālumu realizācija veselo skaitļu kopā
3.15.6.3. Sarežģītāku konfigurāciju piemēri
3.16. Veselie režģi
Uzdevumi, kuros tiek lietotas rūtiņu režģa virsotnes vai pieminētas veselas koordinātas. Citi uzdevumi plaknē, kas sadalīta bezgalīgi daudzos regulāros trijstūrīšos, kvadrātiņos vai sešstūrīšos.
Nesašķiroti: LV.AMO.2012.5.5, LV.AMO.2014.5.4, LV.AMO.2022B.5.2, LV.AMO.2022B.6.2, LV.AMO.2023.5.3,
3.16.1. Daudzstūri ar virsotnēm režģa mezglos
Daudzstūri ar veselu skaitļu koordinātēm. To piemēri, izliektības īpašības, laukums ar Pīka formulu.
3.16.2. Dažādi uzdevumi rūtiņu lapā
Izmantot rūtiņu laukuma īpašības :
LV.AMO.2012.5.5, LV.AMO.2014.5.4, LV.AMO.2022B.5.2, LV.AMO.2022B.6.2, LV.AMO.2023.5.3,
3.16.2.1. Figūras rūtiņu plaknē
Veidot figūriņas pa rūtiņu līnijām :
LV.AMO.2022B.5.2, LV.AMO.2023.5.3,
3.16.2.2. Sagriešana un pārklāšana rūtiņu laukumā
Risināt rūtiņu laukumu sagriešanas uzdevumus :
LV.AMO.2012.5.5, LV.AMO.2014.5.4, LV.AMO.2022B.6.2,
3.16.1. Daudzstūri ar virsotnēm režģa mezglos
Daudzstūri ar veselu skaitļu koordinātēm. To piemēri, izliektības īpašības, laukums ar Pīka formulu.
3.16.2. Dažādi uzdevumi rūtiņu lapā
Izmantot rūtiņu laukuma īpašības :
LV.AMO.2012.5.5, LV.AMO.2014.5.4, LV.AMO.2022B.5.2, LV.AMO.2022B.6.2, LV.AMO.2023.5.3,
3.16.2.1. Figūras rūtiņu plaknē
Veidot figūriņas pa rūtiņu līnijām :
LV.AMO.2022B.5.2, LV.AMO.2023.5.3,
3.16.2.2. Sagriešana un pārklāšana rūtiņu laukumā
Risināt rūtiņu laukumu sagriešanas uzdevumus :
LV.AMO.2012.5.5, LV.AMO.2014.5.4, LV.AMO.2022B.6.2,
4. Skaitļu teorija
4.1. Skaitļu dalāmība
Uzdevumi par dalāmības attiecību, saliktu skaitļu un pirmskaitļu pazīšana. Uzdevumi par LKD un MKD; fiksēta skaitļa visu dalītāju režģis. Skaitļa visu dalītāju skaita un summas formulas.
Nesašķiroti: LV.AMO.2003.6.1, LV.AMO.2003.8.3, LV.AMO.2003.9.3, LV.AMO.2004.7.3, LV.AMO.2004.8.5, LV.AMO.2005.7.4, LV.AMO.2006.8.3, LV.AMO.2008.7.2, LV.AMO.2011.7.3, LV.AMO.2013.7.3, LV.AMO.2015.7.3, LV.AMO.2016.10.2, LV.AMO.2016.8.3, LV.AMO.2017.10.5, LV.AMO.2018.10.4, LV.AMO.2022B.10.2, LV.AMO.2022B.5.1, LV.AMO.2022B.5.3, LV.AMO.2022B.6.1, LV.AMO.2022B.7.1, LV.NOL.2005.8.3, LV.NOL.2007.7.1, LV.NOL.2007.8.4, LV.NOL.2008.10.1, LV.NOL.2008.7.1, LV.NOL.2009.7.1, LV.NOL.2010.10.2, LV.NOL.2010.7.3, LV.NOL.2010.8.3, LV.NOL.2011.7.2, LV.NOL.2011.8.1, LV.NOL.2012.10.3, LV.NOL.2012.7.4, LV.NOL.2012.8.3, LV.NOL.2013.7.2, LV.NOL.2014.10.2, LV.NOL.2014.7.3, LV.NOL.2015.10.2, LV.NOL.2016.7.2, LV.NOL.2016.8.2, LV.NOL.2017.10.5, LV.NOL.2018.10.4, LV.NOL.2019.10.5, LV.VOL.2014.10.3, LV.VOL.2015.10.2, LV.VOL.2017.10.2, LV.VOL.2018.10.3, LV.VOL.2019.10.3,
4.1.1. Dalāmības pazīmes
Dalāmības pazīmes, kas pārbauda dalāmību vai kongruences, izmantojot skaitļa decimālpierakstu :
LV.AMO.2005.7.4, LV.AMO.2006.8.3, LV.AMO.2008.7.2, LV.AMO.2013.7.3, LV.AMO.2015.7.3, LV.AMO.2016.10.2, LV.AMO.2016.8.3, LV.AMO.2018.10.4, LV.AMO.2022B.5.1, LV.AMO.2022B.7.1, LV.NOL.2010.8.3, LV.NOL.2011.8.1, LV.NOL.2012.7.4, LV.NOL.2012.8.3, LV.NOL.2013.7.2, LV.NOL.2014.7.3, LV.NOL.2015.10.2, LV.NOL.2016.7.2, LV.NOL.2016.8.2, LV.NOL.2017.10.5, LV.NOL.2018.10.4, LV.NOL.2019.10.5, LV.VOL.2017.10.2, LV.VOL.2018.10.3, LV.VOL.2019.10.3,
4.1.1.1. Dalāmības pazīmes ar 2, 4, 8
Skaitlis dalās ar \(2**k\) tad un tikai tad, ja pēdējie \(k\) cipari dalās ar \(2**k\) :
LV.AMO.2006.8.3, LV.NOL.2016.8.2, LV.NOL.2017.10.5, LV.NOL.2019.10.5, LV.VOL.2017.10.2, LV.VOL.2018.10.3,
4.1.1.2. Dalāmības pazīmes ar 2 un 5 reizinājumiem
Dalāmības pazīmes, kurās pietiek aplūkot dažus pēdējos ciparus :
LV.AMO.2005.7.4, LV.AMO.2008.7.2, LV.AMO.2013.7.3, LV.AMO.2016.8.3, LV.AMO.2022B.5.1, LV.AMO.2022B.7.1, LV.NOL.2017.10.5,
4.1.1.3. Dalāmības pazīmes ar 3 un 9
Dalāmības pazīmes ar \(3\) un \(9\) :
LV.AMO.2015.7.3, LV.AMO.2016.8.3, LV.AMO.2018.10.4, LV.AMO.2022B.5.1, LV.AMO.2022B.7.1, LV.NOL.2010.8.3, LV.NOL.2011.8.1, LV.NOL.2015.10.2, LV.NOL.2016.7.2, LV.NOL.2017.10.5, LV.NOL.2018.10.4, LV.VOL.2018.10.3,
4.1.1.4. Dalāmības pazīme ar 11
Skaitlis dalās ar \(11\) tad un tikai tad, ja ciparu summa pāru pozīcijās mīnus ciparu summa nepāru pozīcijās dalās ar 11 :
LV.AMO.2015.7.3, LV.NOL.2012.8.3, LV.NOL.2016.7.2,
4.1.1.5. Citas dalāmības pazīmes
Dalāmības pazīmes ar dažādiem citiem skaitļiem :
LV.AMO.2016.8.3, LV.NOL.2012.7.4, LV.NOL.2013.7.2, LV.NOL.2014.7.3, LV.NOL.2016.7.2, LV.NOL.2017.10.5, LV.VOL.2019.10.3,
4.1.1.6. Vispārinātas dalāmības pazīmes skaitļu atlikumiem
Dalāmības pazīmju vispārinājumi, kas ļauj noskaidrot atlikumus. Piemēram, katrs naturāls \(n\) ir kongruents ar savu ciparu summu \(S(n)\) pēc 9 moduļa :
LV.AMO.2013.7.3, LV.AMO.2016.10.2, LV.NOL.2010.8.3, LV.NOL.2011.8.1,
4.1.2. Dalāmības īpašības
Veselu skaitļu dalāmības attiecības īpašības :
LV.AMO.2003.9.3, LV.AMO.2017.10.5, LV.AMO.2018.10.4, LV.NOL.2010.10.2, LV.VOL.2015.10.2,
4.1.3. LKD un MKD
Lielākais kopīgais dalītājs un mazākais kopīgais dalāmais :
LV.AMO.2003.6.1, LV.AMO.2003.8.3, LV.AMO.2011.7.3, LV.AMO.2017.10.5, LV.AMO.2022B.5.3, LV.AMO.2022B.6.1, LV.NOL.2005.8.3, LV.NOL.2007.7.1, LV.NOL.2007.8.4, LV.NOL.2008.10.1, LV.NOL.2008.7.1, LV.NOL.2009.7.1, LV.NOL.2012.10.3, LV.VOL.2014.10.3,
4.1.3.1. Savstarpēji pirmskaitļi
Vienkārši secinājumi par savstarpējiem pirmskaitļiem; sakarība \(\gcd(n,n+1)=1\). Skaitlis dalās ar savstarpējiem pirmskaitļiem t.t.t. ja tas dalās ar šo skaitļu reizinājumu. :
LV.AMO.2022B.5.3, LV.AMO.2022B.6.1,
4.1.3.2. LKD un MKD īpašības
Formulas un sakarības ar LKD un MKD :
LV.NOL.2008.10.1,
4.1.3.3. Bezū identitāte
Vienādojuma \(ax+by=d\) atrisināmība veselos skaitļos. Norēķini ar 2 veidu monētām. :
LV.AMO.2011.7.3, LV.AMO.2017.10.5, LV.AMO.2022B.5.3, LV.NOL.2007.7.1, LV.NOL.2008.7.1, LV.NOL.2009.7.1, LV.NOL.2012.10.3, LV.VOL.2014.10.3,
4.1.3.3.1. Aritmētiskas progresijas dalāmība
Aritmētiskas progresijas locekļu dalāmība. Visi skaitļa daudzkārtņi veido aritmētisku progresiju. :
LV.AMO.2011.7.3, LV.AMO.2022B.5.3,
4.1.3.3.2. Daudzkārtņu atstarpes aritmētiskā progresijā
Secināt, ka katrs \(p\)-tais aritmētiskas progresijas loceklis dalās ar \(p\), ja \(\mbox{LKD}(d,p)=1\) :
LV.NOL.2012.10.3,
4.1.3.3.3. Aritmētiskas progresijas atlikumi
Secināt, ka aritmētiska progresija pieņem visus atlikumus, dalot ar \(p\), ja \(\mbox{LKD}(d,p)=1\) :
LV.AMO.2017.10.5, LV.VOL.2014.10.3,
4.1.3.4. Pitagora trijnieki
Vienādojuma \(a^2+b^2=c^2\) bezgalīgi daudzie veselie atrisinājumi
4.1.4. Eiklīda algoritms
Eiklīda algoritms \(\gcd(a,b)=d\) atrašanai kā atrisinājuma sastāvdaļa; tsk. paplašinātais algoritms Bezū identitātei \(ax+by=d\) :
LV.AMO.2004.7.3,
4.1.5. Daudzkārtņu skaits intervālā
Skaitļa \(n\) daudzkārtņu skaits intervālā; arī aritmētiskas progresijas locekļu skaits kādā intervālā :
LV.AMO.2004.8.5, LV.NOL.2007.8.4, LV.NOL.2010.7.3, LV.NOL.2011.7.2, LV.NOL.2013.7.2, LV.NOL.2014.10.2, LV.NOL.2014.7.3,
4.1.1. Dalāmības pazīmes
Dalāmības pazīmes, kas pārbauda dalāmību vai kongruences, izmantojot skaitļa decimālpierakstu :
LV.AMO.2005.7.4, LV.AMO.2006.8.3, LV.AMO.2008.7.2, LV.AMO.2013.7.3, LV.AMO.2015.7.3, LV.AMO.2016.10.2, LV.AMO.2016.8.3, LV.AMO.2018.10.4, LV.AMO.2022B.5.1, LV.AMO.2022B.7.1, LV.NOL.2010.8.3, LV.NOL.2011.8.1, LV.NOL.2012.7.4, LV.NOL.2012.8.3, LV.NOL.2013.7.2, LV.NOL.2014.7.3, LV.NOL.2015.10.2, LV.NOL.2016.7.2, LV.NOL.2016.8.2, LV.NOL.2017.10.5, LV.NOL.2018.10.4, LV.NOL.2019.10.5, LV.VOL.2017.10.2, LV.VOL.2018.10.3, LV.VOL.2019.10.3,
4.1.1.1. Dalāmības pazīmes ar 2, 4, 8
Skaitlis dalās ar \(2**k\) tad un tikai tad, ja pēdējie \(k\) cipari dalās ar \(2**k\) :
LV.AMO.2006.8.3, LV.NOL.2016.8.2, LV.NOL.2017.10.5, LV.NOL.2019.10.5, LV.VOL.2017.10.2, LV.VOL.2018.10.3,
4.1.1.2. Dalāmības pazīmes ar 2 un 5 reizinājumiem
Dalāmības pazīmes, kurās pietiek aplūkot dažus pēdējos ciparus :
LV.AMO.2005.7.4, LV.AMO.2008.7.2, LV.AMO.2013.7.3, LV.AMO.2016.8.3, LV.AMO.2022B.5.1, LV.AMO.2022B.7.1, LV.NOL.2017.10.5,
4.1.1.3. Dalāmības pazīmes ar 3 un 9
Dalāmības pazīmes ar \(3\) un \(9\) :
LV.AMO.2015.7.3, LV.AMO.2016.8.3, LV.AMO.2018.10.4, LV.AMO.2022B.5.1, LV.AMO.2022B.7.1, LV.NOL.2010.8.3, LV.NOL.2011.8.1, LV.NOL.2015.10.2, LV.NOL.2016.7.2, LV.NOL.2017.10.5, LV.NOL.2018.10.4, LV.VOL.2018.10.3,
4.1.1.4. Dalāmības pazīme ar 11
Skaitlis dalās ar \(11\) tad un tikai tad, ja ciparu summa pāru pozīcijās mīnus ciparu summa nepāru pozīcijās dalās ar 11 :
LV.AMO.2015.7.3, LV.NOL.2012.8.3, LV.NOL.2016.7.2,
4.1.1.5. Citas dalāmības pazīmes
Dalāmības pazīmes ar dažādiem citiem skaitļiem :
LV.AMO.2016.8.3, LV.NOL.2012.7.4, LV.NOL.2013.7.2, LV.NOL.2014.7.3, LV.NOL.2016.7.2, LV.NOL.2017.10.5, LV.VOL.2019.10.3,
4.1.1.6. Vispārinātas dalāmības pazīmes skaitļu atlikumiem
Dalāmības pazīmju vispārinājumi, kas ļauj noskaidrot atlikumus. Piemēram, katrs naturāls \(n\) ir kongruents ar savu ciparu summu \(S(n)\) pēc 9 moduļa :
LV.AMO.2013.7.3, LV.AMO.2016.10.2, LV.NOL.2010.8.3, LV.NOL.2011.8.1,
4.1.2. Dalāmības īpašības
Veselu skaitļu dalāmības attiecības īpašības :
LV.AMO.2003.9.3, LV.AMO.2017.10.5, LV.AMO.2018.10.4, LV.NOL.2010.10.2, LV.VOL.2015.10.2,
4.1.3. LKD un MKD
Lielākais kopīgais dalītājs un mazākais kopīgais dalāmais :
LV.AMO.2003.6.1, LV.AMO.2003.8.3, LV.AMO.2011.7.3, LV.AMO.2017.10.5, LV.AMO.2022B.5.3, LV.AMO.2022B.6.1, LV.NOL.2005.8.3, LV.NOL.2007.7.1, LV.NOL.2007.8.4, LV.NOL.2008.10.1, LV.NOL.2008.7.1, LV.NOL.2009.7.1, LV.NOL.2012.10.3, LV.VOL.2014.10.3,
4.1.3.1. Savstarpēji pirmskaitļi
Vienkārši secinājumi par savstarpējiem pirmskaitļiem; sakarība \(\gcd(n,n+1)=1\). Skaitlis dalās ar savstarpējiem pirmskaitļiem t.t.t. ja tas dalās ar šo skaitļu reizinājumu. :
LV.AMO.2022B.5.3, LV.AMO.2022B.6.1,
4.1.3.2. LKD un MKD īpašības
Formulas un sakarības ar LKD un MKD :
LV.NOL.2008.10.1,
4.1.3.3. Bezū identitāte
Vienādojuma \(ax+by=d\) atrisināmība veselos skaitļos. Norēķini ar 2 veidu monētām. :
LV.AMO.2011.7.3, LV.AMO.2017.10.5, LV.AMO.2022B.5.3, LV.NOL.2007.7.1, LV.NOL.2008.7.1, LV.NOL.2009.7.1, LV.NOL.2012.10.3, LV.VOL.2014.10.3,
4.1.3.3.1. Aritmētiskas progresijas dalāmība
Aritmētiskas progresijas locekļu dalāmība. Visi skaitļa daudzkārtņi veido aritmētisku progresiju. :
LV.AMO.2011.7.3, LV.AMO.2022B.5.3,
4.1.3.3.2. Daudzkārtņu atstarpes aritmētiskā progresijā
Secināt, ka katrs \(p\)-tais aritmētiskas progresijas loceklis dalās ar \(p\), ja \(\mbox{LKD}(d,p)=1\) :
LV.NOL.2012.10.3,
4.1.3.3.3. Aritmētiskas progresijas atlikumi
Secināt, ka aritmētiska progresija pieņem visus atlikumus, dalot ar \(p\), ja \(\mbox{LKD}(d,p)=1\) :
LV.AMO.2017.10.5, LV.VOL.2014.10.3,
4.1.3.4. Pitagora trijnieki
Vienādojuma \(a^2+b^2=c^2\) bezgalīgi daudzie veselie atrisinājumi
4.1.4. Eiklīda algoritms
Eiklīda algoritms \(\gcd(a,b)=d\) atrašanai kā atrisinājuma sastāvdaļa; tsk. paplašinātais algoritms Bezū identitātei \(ax+by=d\) :
LV.AMO.2004.7.3,
4.1.5. Daudzkārtņu skaits intervālā
Skaitļa \(n\) daudzkārtņu skaits intervālā; arī aritmētiskas progresijas locekļu skaits kādā intervālā :
LV.AMO.2004.8.5, LV.NOL.2007.8.4, LV.NOL.2010.7.3, LV.NOL.2011.7.2, LV.NOL.2013.7.2, LV.NOL.2014.10.2, LV.NOL.2014.7.3,
4.2. Skaitļa pirmreizinātāji
Aritmētikas pamatteorēma par dalījumu pirmreizinātājos. Uzdevumi, kas pārbauda dalāmību, tās vietā pārbaudot dalāmību ar visu pirmreizinātāju pakāpēm. Valuācija kā augstākā pirmskaitļa pakāpe, ar ko var izdalīt doto skaitli.
Nesašķiroti: LV.AMO.2004.7.3, LV.AMO.2004.8.3, LV.AMO.2007.7.1, LV.AMO.2007.8.3, LV.AMO.2008.8.3, LV.AMO.2009.7.3, LV.AMO.2009.8.4, LV.AMO.2010.10.4, LV.AMO.2010.7.1, LV.AMO.2011.5.1, LV.AMO.2011.6.1, LV.AMO.2011.7.1, LV.AMO.2011.8.4, LV.AMO.2013.7.3, LV.AMO.2015.8.3, LV.AMO.2019.11.2, LV.NOL.2004.7.1, LV.NOL.2004.8.1, LV.NOL.2005.7.4, LV.NOL.2005.8.3, LV.NOL.2006.7.4, LV.NOL.2007.7.1, LV.NOL.2007.7.4, LV.NOL.2008.7.1, LV.NOL.2008.7.3, LV.NOL.2009.7.1, LV.NOL.2009.7.3, LV.NOL.2010.7.3, LV.NOL.2010.8.1, LV.NOL.2011.7.2, LV.NOL.2012.8.3, LV.NOL.2015.10.3, LV.NOL.2015.10.4, LV.NOL.2015.7.3, LV.NOL.2019.10.5, LV.VOL.2014.10.2, LV.VOL.2016.11.1,
4.2.1. Naturāla skaitļa kanoniskais sadalījums pirmreizinātājos
Aritmētikas pamatteorēma: Skaitļa \(n\) sadalījums pirmreizinātājos \(n=p_1^{k_1}p_2^{k_2}\ldots p_n^{k_n}\) ir viens vienīgs, katram pirmskaitlim \(p_i\) šajā sadalījumā ir noteikta pakāpe \(k_i\). :
LV.AMO.2007.8.3, LV.AMO.2009.8.4, LV.AMO.2010.10.4, LV.AMO.2010.7.1, LV.AMO.2011.8.4, LV.NOL.2004.8.1, LV.NOL.2005.8.3, LV.NOL.2007.7.1, LV.NOL.2008.7.1, LV.NOL.2009.7.1, LV.NOL.2015.10.3, LV.NOL.2019.10.5,
4.2.2. Naturālas pakāpes sadalījums savstarpēju pirmskaitļu reizinājumā
Aritmētikas pamatteorēmas izmantojums strukturālas indukcijas pierādījumos vai citās situācijās, kur skaitli \(n\) izsaka kā dažādu pirmskaitļu pakāpju reizina'jumu.
4.2.3. Naturāla skaitļa dalītāju skaita un summas formulas
Formulas naturāla skaitļa pozitīvo dalītāju skaita, summas vai citu pakāpju summas atrašanai. :
LV.AMO.2008.8.3, LV.NOL.2009.7.3, LV.VOL.2014.10.2,
4.2.4. Dalāmība no sadalījuma pirmreizinātājos
Pārbaudīt dalāmību un izveidot visu pozitīvo dalītāju režģi, zinot skaitļa sadalījumu pirmreizinātājos :
LV.AMO.2019.11.2, LV.NOL.2010.7.3, LV.NOL.2011.7.2,
4.2.5. Pirmskaitļi
Dažādu ar pirmskaitļiem saistītu apgalvojumu izmantošana skaitļu teorijas uzdevumos. :
LV.AMO.2004.7.3, LV.AMO.2007.7.1, LV.AMO.2009.7.3, LV.AMO.2010.7.1, LV.AMO.2011.7.1, LV.AMO.2015.8.3, LV.NOL.2004.7.1, LV.NOL.2004.8.1, LV.NOL.2005.8.3, LV.NOL.2010.8.1, LV.NOL.2012.8.3, LV.NOL.2015.7.3,
4.2.5.1. Pirmskaitļu kopas bezgalība
Uzdevumi par pirmskaitļu kopas bezgalību, iteratīvu pirmskaitļu iegūšanu :
LV.NOL.2005.8.3,
4.2.5.2. Pirmskaitļu sadalījums
Eratostēna režģis un apgalvojumi par pirmskaitļu izvietojumu un atstarpēm :
LV.AMO.2004.7.3, LV.AMO.2007.7.1, LV.AMO.2009.7.3, LV.AMO.2010.7.1, LV.AMO.2011.7.1, LV.AMO.2015.8.3, LV.NOL.2004.7.1, LV.NOL.2010.8.1, LV.NOL.2015.7.3,
4.2.5.3. Pirmskaitļu pārbaudes
Algoritmi un sakarības, kas parāda, ka skaitlis ir vai nav pirmskaitlis
4.2.5.4. Eiklīda lemma
Ja \(p\) dala \(ab\), tad \(p\) dala \(a\) vai arī \(p\) dala \(b\) :
LV.NOL.2004.8.1, LV.NOL.2012.8.3,
4.2.6. Faktorizācija un skaitļu īpašības
Skaitļa īpašības atkarībā no tā sadalījuma pirmreizinātājos :
LV.AMO.2013.7.3, LV.NOL.2015.10.4, LV.VOL.2016.11.1,
4.2.6.1. Pilnu pakāpju noteikšana
Pazīt pilnas pakāpes pēc tā, ka pirmreizinātāju kāpinātāji dalās ar to pašu skaitli :
LV.AMO.2013.7.3, LV.NOL.2015.10.4,
4.2.6.2. Pakāpju pielīdzināšana
Pārveidot veselu skaitļu vienādojumu par sistēmu, pielīdzinot pirmskaitļu kāpinātājus.
4.2.1. Naturāla skaitļa kanoniskais sadalījums pirmreizinātājos
Aritmētikas pamatteorēma: Skaitļa \(n\) sadalījums pirmreizinātājos \(n=p_1^{k_1}p_2^{k_2}\ldots p_n^{k_n}\) ir viens vienīgs, katram pirmskaitlim \(p_i\) šajā sadalījumā ir noteikta pakāpe \(k_i\). :
LV.AMO.2007.8.3, LV.AMO.2009.8.4, LV.AMO.2010.10.4, LV.AMO.2010.7.1, LV.AMO.2011.8.4, LV.NOL.2004.8.1, LV.NOL.2005.8.3, LV.NOL.2007.7.1, LV.NOL.2008.7.1, LV.NOL.2009.7.1, LV.NOL.2015.10.3, LV.NOL.2019.10.5,
4.2.2. Naturālas pakāpes sadalījums savstarpēju pirmskaitļu reizinājumā
Aritmētikas pamatteorēmas izmantojums strukturālas indukcijas pierādījumos vai citās situācijās, kur skaitli \(n\) izsaka kā dažādu pirmskaitļu pakāpju reizina'jumu.
4.2.3. Naturāla skaitļa dalītāju skaita un summas formulas
Formulas naturāla skaitļa pozitīvo dalītāju skaita, summas vai citu pakāpju summas atrašanai. :
LV.AMO.2008.8.3, LV.NOL.2009.7.3, LV.VOL.2014.10.2,
4.2.4. Dalāmība no sadalījuma pirmreizinātājos
Pārbaudīt dalāmību un izveidot visu pozitīvo dalītāju režģi, zinot skaitļa sadalījumu pirmreizinātājos :
LV.AMO.2019.11.2, LV.NOL.2010.7.3, LV.NOL.2011.7.2,
4.2.5. Pirmskaitļi
Dažādu ar pirmskaitļiem saistītu apgalvojumu izmantošana skaitļu teorijas uzdevumos. :
LV.AMO.2004.7.3, LV.AMO.2007.7.1, LV.AMO.2009.7.3, LV.AMO.2010.7.1, LV.AMO.2011.7.1, LV.AMO.2015.8.3, LV.NOL.2004.7.1, LV.NOL.2004.8.1, LV.NOL.2005.8.3, LV.NOL.2010.8.1, LV.NOL.2012.8.3, LV.NOL.2015.7.3,
4.2.5.1. Pirmskaitļu kopas bezgalība
Uzdevumi par pirmskaitļu kopas bezgalību, iteratīvu pirmskaitļu iegūšanu :
LV.NOL.2005.8.3,
4.2.5.2. Pirmskaitļu sadalījums
Eratostēna režģis un apgalvojumi par pirmskaitļu izvietojumu un atstarpēm :
LV.AMO.2004.7.3, LV.AMO.2007.7.1, LV.AMO.2009.7.3, LV.AMO.2010.7.1, LV.AMO.2011.7.1, LV.AMO.2015.8.3, LV.NOL.2004.7.1, LV.NOL.2010.8.1, LV.NOL.2015.7.3,
4.2.5.3. Pirmskaitļu pārbaudes
Algoritmi un sakarības, kas parāda, ka skaitlis ir vai nav pirmskaitlis
4.2.5.4. Eiklīda lemma
Ja \(p\) dala \(ab\), tad \(p\) dala \(a\) vai arī \(p\) dala \(b\) :
LV.NOL.2004.8.1, LV.NOL.2012.8.3,
4.2.6. Faktorizācija un skaitļu īpašības
Skaitļa īpašības atkarībā no tā sadalījuma pirmreizinātājos :
LV.AMO.2013.7.3, LV.NOL.2015.10.4, LV.VOL.2016.11.1,
4.2.6.1. Pilnu pakāpju noteikšana
Pazīt pilnas pakāpes pēc tā, ka pirmreizinātāju kāpinātāji dalās ar to pašu skaitli :
LV.AMO.2013.7.3, LV.NOL.2015.10.4,
4.2.6.2. Pakāpju pielīdzināšana
Pārveidot veselu skaitļu vienādojumu par sistēmu, pielīdzinot pirmskaitļu kāpinātājus.
4.3. Skaitīšanas sistēmas
Veselu skaitļu decimālpieraksts un ciparu manipulācijas tajā; ieskaitot spēles ar skaitļa cipariem. Dalāmības pazīmes. Skaitļa pieraksts binārajā un dažās citās pozicionālajās sistēmās. Neparasti skaitļu kodējumi (ar Fibonači skaitļiem, ar "negatīviem cipariem" utt.). Decimāldaļas, periodisku daļskaitļu izteikšana ar bezgalīgas ģeometriskas progresijas summu. Neperiodiskas decimāldaļas un iracionāli skaitļi.
Nesašķiroti: LV.AMO.2003.5.1, LV.AMO.2003.8.2, LV.AMO.2004.8.3, LV.AMO.2006.8.3, LV.AMO.2011.8.4, LV.AMO.2013.7.1, LV.AMO.2013.8.1, LV.AMO.2014.8.1, LV.AMO.2014.8.2, LV.AMO.2022B.5.1, LV.NOL.2004.8.2, LV.NOL.2005.8.1, LV.NOL.2010.8.3, LV.NOL.2011.8.1, LV.NOL.2012.10.4, LV.NOL.2013.10.4, LV.NOL.2018.10.4, LV.VOL.2012.10.3, LV.VOL.2017.10.2, LV.VOL.2018.10.3,
4.3.1. Decimālā skaitīšanas sistēma
Decimālpieraksta izmantošana skaitļu teorijas uzdevumos :
LV.AMO.2003.5.1, LV.AMO.2022B.5.1, LV.NOL.2004.8.2, LV.NOL.2005.8.1, LV.NOL.2012.10.4, LV.NOL.2013.10.4, LV.NOL.2018.10.4, LV.VOL.2012.10.3,
4.3.1.1. Ciparu skaits
Skaitļu salīdzinājums pēc garuma, ciparu skaits darbību rezultātos :
LV.AMO.2003.5.1, LV.AMO.2022B.5.1, LV.NOL.2004.8.2, LV.NOL.2005.8.1,
4.3.1.2. Ciparu skaita novērtējums divu skaitļu summā vai reizinājumā
Novērtēt ciparu skaitu divu vai vairāku skaitļu summā :
LV.NOL.2012.10.4, LV.NOL.2013.10.4, LV.NOL.2018.10.4,
4.3.1.3. Periodiskas ciparu grupas
Periodisku ciparu grupu izteikšana ar ģeometriskas progresijas summu :
LV.VOL.2012.10.3,
4.3.1.4. Decimāldaļskaitļi
Skaitļa pieraksts ar galīgu vai bezgalīgu decimāldaļu
4.3.1.4.1. Racionālu skaitļu decimālpieraksts
Nosacījumi, kad racionāla daļa ir galīga, bezgalīga periodiska un bezgalīgi periodiska ar priekšperiodu
4.3.1.4.2. Periodisku daļu aprēķināšana
Periodisku daļskaitļu perioda garums, skaitlisks novērtējums ar bezgalīgu ģeometrisku progresiju
4.3.1.4.3. Neperiodiskas decimāldaļas
Spriedumi par iracionāliem skaitļiem decimālpierakstā
4.3.2. Binārā skaitīšanas sistēma
Skaitļu teorijas uzdevumi, kuros izmanto bināro jeb divnieku skaitīšanas sistēmu (pozicionālo sistēmu ar bāzi 2).
4.3.3. Citas skaitīšanas sistēmas
Pozicionālās skaitīšanas sistēmas, kuru bāze nav 10 vai 2.
4.3.4. Skaitļa pārveidojumi
Saprast, kā mainās skaitlis, ja tajā pārvieto vai iesprauž ciparus :
LV.AMO.2003.8.2, LV.AMO.2004.8.3, LV.AMO.2006.8.3, LV.AMO.2011.8.4, LV.AMO.2013.7.1, LV.AMO.2013.8.1, LV.AMO.2014.8.2, LV.NOL.2010.8.3, LV.NOL.2011.8.1, LV.VOL.2017.10.2, LV.VOL.2018.10.3,
4.3.4.1. Decimāla izteiksme
Izteikt skaitli ar decimālpieraksta cipariem, reizinot ar \(10^k\) :
LV.AMO.2013.7.1,
4.3.4.2. Izteikšana ar cipariem
Izteikt skaitli gan ar cipariem, gan garākiem gabaliem :
LV.AMO.2013.8.1, LV.AMO.2014.8.2,
4.3.4.3. Izteikšana divos gabalos
Izteikt garu skaitli divos gabalos, piereizinot vienu no tiem ar \(10^k\) :
LV.AMO.2003.8.2, LV.AMO.2004.8.3, LV.AMO.2011.8.4, LV.VOL.2017.10.2,
4.3.4.4. Jaunu ciparu iespraušana
Veidot jaunus piemērus, iespraužot skaitļa decimālpierakstā jaunus ciparus. :
LV.AMO.2006.8.3, LV.VOL.2018.10.3,
4.3.5. Algoritmi veselu skaitļu darbībām
Saskaitīšana, atņemšana, reizināšana, dalīšana stabiņā; ātrākas speciālas metodes, piemēram, skaitļu, kas beidzas ar 5, kāpināšanai kvadrātā :
LV.AMO.2014.8.1,
4.3.1. Decimālā skaitīšanas sistēma
Decimālpieraksta izmantošana skaitļu teorijas uzdevumos :
LV.AMO.2003.5.1, LV.AMO.2022B.5.1, LV.NOL.2004.8.2, LV.NOL.2005.8.1, LV.NOL.2012.10.4, LV.NOL.2013.10.4, LV.NOL.2018.10.4, LV.VOL.2012.10.3,
4.3.1.1. Ciparu skaits
Skaitļu salīdzinājums pēc garuma, ciparu skaits darbību rezultātos :
LV.AMO.2003.5.1, LV.AMO.2022B.5.1, LV.NOL.2004.8.2, LV.NOL.2005.8.1,
4.3.1.2. Ciparu skaita novērtējums divu skaitļu summā vai reizinājumā
Novērtēt ciparu skaitu divu vai vairāku skaitļu summā :
LV.NOL.2012.10.4, LV.NOL.2013.10.4, LV.NOL.2018.10.4,
4.3.1.3. Periodiskas ciparu grupas
Periodisku ciparu grupu izteikšana ar ģeometriskas progresijas summu :
LV.VOL.2012.10.3,
4.3.1.4. Decimāldaļskaitļi
Skaitļa pieraksts ar galīgu vai bezgalīgu decimāldaļu
4.3.1.4.1. Racionālu skaitļu decimālpieraksts
Nosacījumi, kad racionāla daļa ir galīga, bezgalīga periodiska un bezgalīgi periodiska ar priekšperiodu
4.3.1.4.2. Periodisku daļu aprēķināšana
Periodisku daļskaitļu perioda garums, skaitlisks novērtējums ar bezgalīgu ģeometrisku progresiju
4.3.1.4.3. Neperiodiskas decimāldaļas
Spriedumi par iracionāliem skaitļiem decimālpierakstā
4.3.2. Binārā skaitīšanas sistēma
Skaitļu teorijas uzdevumi, kuros izmanto bināro jeb divnieku skaitīšanas sistēmu (pozicionālo sistēmu ar bāzi 2).
4.3.3. Citas skaitīšanas sistēmas
Pozicionālās skaitīšanas sistēmas, kuru bāze nav 10 vai 2.
4.3.4. Skaitļa pārveidojumi
Saprast, kā mainās skaitlis, ja tajā pārvieto vai iesprauž ciparus :
LV.AMO.2003.8.2, LV.AMO.2004.8.3, LV.AMO.2006.8.3, LV.AMO.2011.8.4, LV.AMO.2013.7.1, LV.AMO.2013.8.1, LV.AMO.2014.8.2, LV.NOL.2010.8.3, LV.NOL.2011.8.1, LV.VOL.2017.10.2, LV.VOL.2018.10.3,
4.3.4.1. Decimāla izteiksme
Izteikt skaitli ar decimālpieraksta cipariem, reizinot ar \(10^k\) :
LV.AMO.2013.7.1,
4.3.4.2. Izteikšana ar cipariem
Izteikt skaitli gan ar cipariem, gan garākiem gabaliem :
LV.AMO.2013.8.1, LV.AMO.2014.8.2,
4.3.4.3. Izteikšana divos gabalos
Izteikt garu skaitli divos gabalos, piereizinot vienu no tiem ar \(10^k\) :
LV.AMO.2003.8.2, LV.AMO.2004.8.3, LV.AMO.2011.8.4, LV.VOL.2017.10.2,
4.3.4.4. Jaunu ciparu iespraušana
Veidot jaunus piemērus, iespraužot skaitļa decimālpierakstā jaunus ciparus. :
LV.AMO.2006.8.3, LV.VOL.2018.10.3,
4.3.5. Algoritmi veselu skaitļu darbībām
Saskaitīšana, atņemšana, reizināšana, dalīšana stabiņā; ātrākas speciālas metodes, piemēram, skaitļu, kas beidzas ar 5, kāpināšanai kvadrātā :
LV.AMO.2014.8.1,
4.4. Kongruence pēc moduļa
Modulārā aritmētika - saskaitīšana, atņemšana, reizināšana un kāpināšana pēc moduļa. Skaitļa multiplikatīvi inversais pēc dotā moduļa. Pazīstamas teorēmas par kongruencēm - M.Fermā teorēma, Eilera teorēma, Vilsona teorēma.
Nesašķiroti: LV.AMO.2005.7.4, LV.AMO.2009.7.3, LV.AMO.2011.7.3, LV.AMO.2012.10.1, LV.AMO.2012.7.1, LV.AMO.2012.8.4, LV.AMO.2012.9.1, LV.AMO.2012.9.3, LV.AMO.2012.9.4, LV.AMO.2014.10.4, LV.AMO.2014.5.2, LV.AMO.2014.7.2, LV.AMO.2014.8.1, LV.AMO.2016.10.2, LV.AMO.2016.8.2, LV.AMO.2018.10.4, LV.AMO.2022B.6.3, LV.AMO.2023.5.2, LV.NOL.2005.7.4, LV.NOL.2006.8.3, LV.NOL.2009.8.1, LV.NOL.2009.8.3, LV.NOL.2010.10.4, LV.NOL.2011.7.1, LV.NOL.2015.10.4, LV.NOL.2015.7.3, LV.NOL.2015.8.1, LV.NOL.2016.10.2, LV.VOL.2013.10.4, LV.VOL.2015.10.2, LV.VOL.2017.10.2, LV.VOL.2019.10.1, LV.VOL.2019.10.3,
4.4.1. Kongruences klases pēc fiksēta moduļa
Kongruenču klases, ieviešot fiksēta skaitļa moduli. :
LV.NOL.2006.8.3, LV.NOL.2009.8.1, LV.NOL.2009.8.3, LV.NOL.2011.7.1, LV.NOL.2015.8.1,
4.4.2. Aprēķini pēc moduļa
Aritmētiskas darbības (saskaitīšana, atņemšana, kāpināšana) ar kongruenču klasēm jeb atlikumiem pēc moduļa. :
LV.AMO.2005.7.4, LV.AMO.2009.7.3, LV.AMO.2012.10.1, LV.AMO.2012.7.1, LV.AMO.2012.9.1, LV.AMO.2012.9.3, LV.AMO.2012.9.4, LV.AMO.2014.10.4, LV.AMO.2014.7.2, LV.AMO.2016.10.2, LV.AMO.2016.8.2, LV.AMO.2018.10.4, LV.AMO.2023.5.2, LV.NOL.2005.7.4, LV.NOL.2015.10.4, LV.NOL.2015.7.3, LV.NOL.2016.10.2, LV.VOL.2013.10.4, LV.VOL.2015.10.2, LV.VOL.2017.10.2, LV.VOL.2019.10.1,
4.4.2.1. Aprēķini pēc moduļa 2
Paritātes izmantošana skaitļu teorijas piemēros :
LV.AMO.2009.7.3, LV.AMO.2012.7.1, LV.AMO.2014.10.4, LV.AMO.2014.7.2, LV.AMO.2016.8.2, LV.NOL.2005.7.4, LV.NOL.2015.10.4, LV.NOL.2015.7.3, LV.VOL.2015.10.2, LV.VOL.2019.10.1,
4.4.2.2. Aprēķini pēc pēdējā cipara
Modulārā aritmētika pēc 10 vai 100 moduļa, izmantojot decimālpieraksta pēdējos ciparus. :
LV.AMO.2023.5.2,
4.4.2.3. Aprēķini pēc citiem moduļiem
Cita modulārā aritmētika tsk. pēc mainīga moduļa.
4.4.3. Periodiskas atlikumu virknes
Atlikumu virņu periodiskums :
LV.AMO.2012.8.4, LV.AMO.2014.8.1, LV.AMO.2022B.6.3, LV.NOL.2006.8.3, LV.NOL.2009.8.3, LV.VOL.2013.10.4, LV.VOL.2019.10.3,
4.4.4. Mazā Fermā un Eilera teorēmas
Mazā Fermā un Eilera teorēmas
4.4.5. Moduļa izvēle
Piemērota moduļa izvēle uzdevumos. :
LV.AMO.2016.10.2, LV.NOL.2010.10.4,
4.4.5.1. Pretrunas modulis
Pretrunas modulis - veselu skaitļu vienādojuma aplūkošana pēc konkrēta skaitļa moduļa tā, lai iegūtu pretrunu. :
LV.AMO.2016.10.2, LV.NOL.2010.10.4,
4.4.5.2. Pirmskaitļi
Pirmskaitļu moduļa izvēlēšanās atrisinājumā.
4.4.5.3. Dažādu moduļu izmantošana
Dažādu nepirmskaitļu moduļu izvēlēšanās atrisinājumā.
4.4.6. Lineāri kongruenču vienādojumi
Lineāri kongruenču vienādojumi, risināšana, piemēram, ar inversajiem elementiem
4.4.7. Ķīniešu atlikumu teorēma
Lineāru kongruenču risināšana, atrodot atlikumus pēc vairākiem savstarpējiem pirmskaitļiem. :
LV.AMO.2011.7.3,
4.4.1. Kongruences klases pēc fiksēta moduļa
Kongruenču klases, ieviešot fiksēta skaitļa moduli. :
LV.NOL.2006.8.3, LV.NOL.2009.8.1, LV.NOL.2009.8.3, LV.NOL.2011.7.1, LV.NOL.2015.8.1,
4.4.2. Aprēķini pēc moduļa
Aritmētiskas darbības (saskaitīšana, atņemšana, kāpināšana) ar kongruenču klasēm jeb atlikumiem pēc moduļa. :
LV.AMO.2005.7.4, LV.AMO.2009.7.3, LV.AMO.2012.10.1, LV.AMO.2012.7.1, LV.AMO.2012.9.1, LV.AMO.2012.9.3, LV.AMO.2012.9.4, LV.AMO.2014.10.4, LV.AMO.2014.7.2, LV.AMO.2016.10.2, LV.AMO.2016.8.2, LV.AMO.2018.10.4, LV.AMO.2023.5.2, LV.NOL.2005.7.4, LV.NOL.2015.10.4, LV.NOL.2015.7.3, LV.NOL.2016.10.2, LV.VOL.2013.10.4, LV.VOL.2015.10.2, LV.VOL.2017.10.2, LV.VOL.2019.10.1,
4.4.2.1. Aprēķini pēc moduļa 2
Paritātes izmantošana skaitļu teorijas piemēros :
LV.AMO.2009.7.3, LV.AMO.2012.7.1, LV.AMO.2014.10.4, LV.AMO.2014.7.2, LV.AMO.2016.8.2, LV.NOL.2005.7.4, LV.NOL.2015.10.4, LV.NOL.2015.7.3, LV.VOL.2015.10.2, LV.VOL.2019.10.1,
4.4.2.2. Aprēķini pēc pēdējā cipara
Modulārā aritmētika pēc 10 vai 100 moduļa, izmantojot decimālpieraksta pēdējos ciparus. :
LV.AMO.2023.5.2,
4.4.2.3. Aprēķini pēc citiem moduļiem
Cita modulārā aritmētika tsk. pēc mainīga moduļa.
4.4.3. Periodiskas atlikumu virknes
Atlikumu virņu periodiskums :
LV.AMO.2012.8.4, LV.AMO.2014.8.1, LV.AMO.2022B.6.3, LV.NOL.2006.8.3, LV.NOL.2009.8.3, LV.VOL.2013.10.4, LV.VOL.2019.10.3,
4.4.4. Mazā Fermā un Eilera teorēmas
Mazā Fermā un Eilera teorēmas
4.4.5. Moduļa izvēle
Piemērota moduļa izvēle uzdevumos. :
LV.AMO.2016.10.2, LV.NOL.2010.10.4,
4.4.5.1. Pretrunas modulis
Pretrunas modulis - veselu skaitļu vienādojuma aplūkošana pēc konkrēta skaitļa moduļa tā, lai iegūtu pretrunu. :
LV.AMO.2016.10.2, LV.NOL.2010.10.4,
4.4.5.2. Pirmskaitļi
Pirmskaitļu moduļa izvēlēšanās atrisinājumā.
4.4.5.3. Dažādu moduļu izmantošana
Dažādu nepirmskaitļu moduļu izvēlēšanās atrisinājumā.
4.4.6. Lineāri kongruenču vienādojumi
Lineāri kongruenču vienādojumi, risināšana, piemēram, ar inversajiem elementiem
4.4.7. Ķīniešu atlikumu teorēma
Lineāru kongruenču risināšana, atrodot atlikumus pēc vairākiem savstarpējiem pirmskaitļiem. :
LV.AMO.2011.7.3,
4.5. Pārveidojumi skaitļu teorijā
Veselo skaitļu aritmētikas uzdevumi, kuru risinājumā būtiski izmantoti algebriski pārveidojumi, sadalīšana reizinātājos un citas algebriskas identitātes, mainīgo aizvietošana. Algebrisku pārveidojumu aplūkošana kopsakarā ar dalāmības apsvērumiem.
4.5.1. Sadalīšana reizinātājos
Dalīšana reizinātājos kā veselu skaitļu vienādojumu (un skaitļu teorijas uzdevumu) risināšanas metode.
4.5.2. Vienādojuma pārveidošana formā \(fg = c\)
Vienādojumu risināšana, to pārveidojot par reizinājumu \(fg=c\).
4.5.3. Vienādojuma pārveidošana formā \(fg = u^m\)
Vienādojumu risināšana, to pārveidot par reizinājumu \(fg = u^m\) - piemēram par pirmskaitļa pakāpi.
4.5.4. Identitāšu izmantošana
Algebrisku identitāšu izmantošana skaitļu teorijas uzdevumu risināšanā
4.5.5. Analītiskās ģeometrijas izmantošana Diofanta vienādojumu risināšanā
Veselu skaitļu uzdevumu risināšana, izmantojot analītisko ģeometriju un figūru vienādojumus veselās koordinātēs.
Dalīšana reizinātājos kā veselu skaitļu vienādojumu (un skaitļu teorijas uzdevumu) risināšanas metode.
4.5.2. Vienādojuma pārveidošana formā \(fg = c\)
Vienādojumu risināšana, to pārveidojot par reizinājumu \(fg=c\).
4.5.3. Vienādojuma pārveidošana formā \(fg = u^m\)
Vienādojumu risināšana, to pārveidot par reizinājumu \(fg = u^m\) - piemēram par pirmskaitļa pakāpi.
4.5.4. Identitāšu izmantošana
Algebrisku identitāšu izmantošana skaitļu teorijas uzdevumu risināšanā
4.5.5. Analītiskās ģeometrijas izmantošana Diofanta vienādojumu risināšanā
Veselu skaitļu uzdevumu risināšana, izmantojot analītisko ģeometriju un figūru vienādojumus veselās koordinātēs.
4.6. Nevienādības skaitļu teorijā
Novērtējumi un nevienādības skaitļu teorijā, piemēram, lai samazinātu aplūkojamo gadījumu skaitu. Skaitļa kvalitatīvu īpašību izteikšana ar nevienādībām. Spriedumi par īsiem intervāliem un gariem intervāliem novērtējumos. Nevienādības no decimālpieraksta. Citi uzdevumi par novērtējumiem.
Nesašķiroti: LV.AMO.2007.8.3, LV.AMO.2012.8.3, LV.AMO.2013.7.1, LV.AMO.2014.5.5, LV.AMO.2016.7.2, LV.NOL.2006.7.4, LV.NOL.2007.7.4, LV.NOL.2008.7.3, LV.NOL.2013.7.1, LV.VOL.2013.10.1, LV.VOL.2014.10.3,
4.6.1. Vienādojuma abu pušu salīdzināšana pēc lieluma
Skaitļu teorijas vienādojumu un nevienādību analīze, salīdzinot abas puses
4.6.2. Mazie intervāli
Salīdzinājumi, kuri izmanto veselo skaitļu skaita ierobežotību īsos intervālos.
4.6.3. Lielie intervāli
Salīdzinājumi, kuri saskaita veselos punktus garos intervālos. :
LV.AMO.2013.7.1, LV.AMO.2014.5.5, LV.NOL.2006.7.4, LV.NOL.2007.7.4, LV.VOL.2013.10.1, LV.VOL.2014.10.3,
4.6.1. Vienādojuma abu pušu salīdzināšana pēc lieluma
Skaitļu teorijas vienādojumu un nevienādību analīze, salīdzinot abas puses
4.6.2. Mazie intervāli
Salīdzinājumi, kuri izmanto veselo skaitļu skaita ierobežotību īsos intervālos.
4.6.3. Lielie intervāli
Salīdzinājumi, kuri saskaita veselos punktus garos intervālos. :
LV.AMO.2013.7.1, LV.AMO.2014.5.5, LV.NOL.2006.7.4, LV.NOL.2007.7.4, LV.VOL.2013.10.1, LV.VOL.2014.10.3,
4.7. Pirmskaitļa kārta jeb valuācija
Valuācijas jēdziens \(\nu_p(n) = k\) fiksētam pirmskaitlim \(p\): Atrod lielāko \(k\), kuram \(n\) dalās ar \(p^k\)
Nesašķiroti: LV.AMO.2019.12.4, LV.NOL.2010.10.4,
4.7.1. Pirmskaitļa kārtas īpašības
\(\nu_p(a+b) = \min(\nu_p(a), \nu_p(b))\), ja valuācijas atšķiras un \(\nu_p(a+b) \geq \nu_p(a)\), ja \(\nu_p(a) = \nu_p(b)\). :
LV.AMO.2019.12.4, LV.NOL.2010.10.4,
4.7.2. Skaitļa pieraksts formā \(p^k \cdot u\)
Maksimālās kāda pirmskaitļa pakāpes atdalīšana no naturāla skaitļa tā, ka \(p^k \cdot u\) izteiksmē \(u\) nedalās ar \(p\).
4.7.3. Pirmskaitļa kārtas izmaiņas
Izmantot p-valuācijas funkcijas vērtību izmaiņas
4.7.4. Kāpinātāja pacelšanas lemmas
Valuācijas pakāpju starpībai \(a^n - b^n\), ja \(a - b\) dalās ar \(p\)
4.7.4.1. Kāpinātāja pacelšana nepāra pirmskaitlim
Kāpinātāja pacelšanas lemma (Lifting the Exponent) nepāra pirmskaitlim.
4.7.4.2. Kāpinātāja pacelšana pie \(p=2\)
Kāpinātāja pacelšanas lemma (Lifting the Exponent) pirmskaitlim \(p=2\).
4.7.5. Pirmskaitļa kārta garos reizinājumos
Pirmskaitļa kārta jeb valuācija garos reizinājumos - algebriski vai kombinatoriski iegūtās izteiksmēs.
4.7.5.1. Ležandra formula
Ležandra formula: \(\nu_p(n!) = \lfloor p/n \rfloor + \lfloor p/n^2 \rfloor + \ldots\)
4.7.5.2. Kummera teorēma par binomiālajiem koeficientiem
Lielākā pirmskaitļa pakāpe, ar kuru dalās binomiālais koeficients izteikta ar ciparu summām
4.7.5.3. Lūkas teorēma par binomiālajiem koeficientiem
Teorēma par binomiālo koeficientu dalāmības atlikumiem (Lūkas teorēma), kas paredz \(C_n^k\) ietilpstošos parametrus \(k\) un \(n-k\) pārveidot skaitīšanas sistēmā ar bāzi \(p\).
4.7.1. Pirmskaitļa kārtas īpašības
\(\nu_p(a+b) = \min(\nu_p(a), \nu_p(b))\), ja valuācijas atšķiras un \(\nu_p(a+b) \geq \nu_p(a)\), ja \(\nu_p(a) = \nu_p(b)\). :
LV.AMO.2019.12.4, LV.NOL.2010.10.4,
4.7.2. Skaitļa pieraksts formā \(p^k \cdot u\)
Maksimālās kāda pirmskaitļa pakāpes atdalīšana no naturāla skaitļa tā, ka \(p^k \cdot u\) izteiksmē \(u\) nedalās ar \(p\).
4.7.3. Pirmskaitļa kārtas izmaiņas
Izmantot p-valuācijas funkcijas vērtību izmaiņas
4.7.4. Kāpinātāja pacelšanas lemmas
Valuācijas pakāpju starpībai \(a^n - b^n\), ja \(a - b\) dalās ar \(p\)
4.7.4.1. Kāpinātāja pacelšana nepāra pirmskaitlim
Kāpinātāja pacelšanas lemma (Lifting the Exponent) nepāra pirmskaitlim.
4.7.4.2. Kāpinātāja pacelšana pie \(p=2\)
Kāpinātāja pacelšanas lemma (Lifting the Exponent) pirmskaitlim \(p=2\).
4.7.5. Pirmskaitļa kārta garos reizinājumos
Pirmskaitļa kārta jeb valuācija garos reizinājumos - algebriski vai kombinatoriski iegūtās izteiksmēs.
4.7.5.1. Ležandra formula
Ležandra formula: \(\nu_p(n!) = \lfloor p/n \rfloor + \lfloor p/n^2 \rfloor + \ldots\)
4.7.5.2. Kummera teorēma par binomiālajiem koeficientiem
Lielākā pirmskaitļa pakāpe, ar kuru dalās binomiālais koeficients izteikta ar ciparu summām
4.7.5.3. Lūkas teorēma par binomiālajiem koeficientiem
Teorēma par binomiālo koeficientu dalāmības atlikumiem (Lūkas teorēma), kas paredz \(C_n^k\) ietilpstošos parametrus \(k\) un \(n-k\) pārveidot skaitīšanas sistēmā ar bāzi \(p\).
4.8. Pārlase un piemēri skaitļu teorijā
Skaitļi ar neparastām īpašībām, Ķīniešu atlikumu teorēma eksistences pierādījumos. Rekurentas virknes. Veselu skaitļu un līdzīgu objektu konstruēšana ar parastu un ar strukturālu indukciju. Ātrās kāpināšanas un paplašinātais Eiklīda algoritms. Funkcionāli vienādojumi veselu skaitļu funkcijām. Gadījumu šķirošana. Skaitļa kvalitatīvu īpašību pārtulkošana par algebrisku vienādību vai kongruenci.
4.9. Polinomi ar veseliem koeficientiem
Polinomu algebras uzdevumi, kas izmanto to, ka koeficienti ir veseli skaitļi (vai arī polinoma vērtības veseliem argumentiem ir veseli skaitļi). Polinomu dalīšana ar atlikumu; Eiklīda algoritms polinomiem. Bezū identitāte polinomiem. Eizenšteina kritērijs par nereducējamību. Teorēma par racionālu sakni. Polinoma vērtību starpības dalāmība ar argumentu starpību.
Nesašķiroti: LV.AMO.2018.10.4, LV.VOL.2011.10.4, LV.VOL.2014.10.2,
4.8.1. Gadījumu pārlase pēc moduļa
Pilnā pārlase visiem atlikumiem pēc moduļa.
4.8.2. Pārlases ierobežošana, izmantojot dalāmību
Pilnā pārlase visiem skaitļiem, kas ir dalītāji vai izpilda citu dalāmības prasību.
4.8.3. Pārlases ierobežošana, izmantojot nevienādības
Pilnā pārlase veseliem skaitļiem, izmantojot nevienādības.
4.8.4. Ciparu pārlase skaitļa decimālajā pierakstā
Pilnā pārlase visiem decimālpieraksta cipariem vai ciparu pozīcijām.
4.8.5. Piemēru konstrukcija
Skaitļu teorijas piemēru konstruēšana :
LV.AMO.2010.8.2, LV.AMO.2011.5.2, LV.AMO.2013.8.1, LV.AMO.2014.7.4, LV.AMO.2014.8.2, LV.AMO.2014.8.5, LV.AMO.2016.7.2,
4.8.5.1. Skaitliskie piemēri
Skaitļu teorijas piemēri konkrētiem veseliem skaitļiem.
4.8.5.2. Algebrisko izteiksmju izmantošana
Skaitļu teorijas piemēri, izmantojot algebriskas izteiksmes. :
LV.AMO.2010.8.2, LV.AMO.2011.5.2, LV.AMO.2013.8.1, LV.AMO.2014.7.4, LV.AMO.2014.8.2, LV.AMO.2014.8.5, LV.AMO.2016.7.2,
4.8.5.2.1. Skaitļu īpašību izteikšana kvantitatīvi
Izteikt kvalitatīvas skaitļu īpašības (dalāmi ar kko, pēc kārtas sekojoši, nepāru, pilni kvadrāti u.c.) ar mainīgo izteiksmēm :
LV.AMO.2010.8.2, LV.AMO.2016.7.2,
4.8.5.2.2. Mainīgo ieviešana
Izvēlēties nedaudzus nezināmos lielumus, ar ko piemērā izteikt citus :
LV.AMO.2011.5.2, LV.AMO.2014.7.4, LV.AMO.2014.8.5,
4.8.5.3. Dalāmības īpašību izmantošana
Uzdevumi, kuros izmantotas dažādas veselu skaitļu dalāmības īpašības.
4.8.6. Grupēšana
Pierādīšanas paņēmieni, kas paredz skaitļu grupēšanu un reizinājuma (vai citas izteiksmes) novērtējumu katrā grupā atsevišķi.
4.8.6.1. Grupēšana pa pāriem; Vilsona teorēma
Gara reizinājuma novērtēšana, sadalot reizinājumus pāros līdzīgi kā Vilsona teorēmas pierādījumā.
4.8.6.3. Vairāku locekļu grupēšana
Vairāk nekā divu locekļu grupēšana.
4.8.7. Režģi
Veselu skaitļu režģi
4.8.7.1. Viendimensionālie režģi
Viendimensionāli režģi skaitļu intervālos
4.8.7.2. Divdimensionāla režģa apjoms
Divdimensionāli režģi taisnstūrveida apgabalos
4.8.7.3. Režģa punktu skaits ierobežotā apgabalā
Veselu skaitļu režģa punktu skaita novērtējumi plaknes vai telpas apgabalā.
4.8.8. Saistītie skaitļi
Kvadrātiskie lauki un saistītie skaitļi
4.8.8.1. Saistīto skaitļu īpašības
Saistīto skaitļu īpašību izmantošana
4.8.8.2. Saistīto skaitļu summa
Saistīto skaitļu summa ir vesels skaitlis
4.8.8.3. Skaitļa norma
Skaitļa norma kvadrātiskā laukā
4.8.8.4. Pella vienādojums
Teorēma par Pella vienādojuma atrisinājumiem
4.9.1. Polinoma vērtības dažādos punktos
Veselu koeficientu polinomu vērtības
4.9.2. Īpašība \((x -y) \mid P(x) - P(y)\)
Teorēma: Ja \(P(x)\) koeficienti ir veseli skaitļi, tad visiem veseliem \(x\) un \(y\): \(P(x)-P(y)\) dalās ar \(x-y\). :
LV.AMO.2018.10.4, LV.VOL.2011.10.4,
4.9.3. Polinoma dalīšana ar atlikumu
Divu polinomu dalīšana "stabiņā" :
LV.VOL.2014.10.2,
4.9.4. Vjeta formulu izmantošana
Vjeta formulu izmantošana: Ja saknes ir veselas un reālas, tad ar tām var izteikt visus polinoma \(P(x)\) koeficientus.
4.9.5. Polinoma racionālās saknes
Racionālo sakņu teorēma: Ja \(x=p/q\) ir \(P(x)\) racionāla sakne, tad \(P(x)\) vecākajam koeficientam jādalās ar \(q\), bet brīvajam loceklim jādalās ar \(p\).
4.8.1. Gadījumu pārlase pēc moduļa
Pilnā pārlase visiem atlikumiem pēc moduļa.
4.8.2. Pārlases ierobežošana, izmantojot dalāmību
Pilnā pārlase visiem skaitļiem, kas ir dalītāji vai izpilda citu dalāmības prasību.
4.8.3. Pārlases ierobežošana, izmantojot nevienādības
Pilnā pārlase veseliem skaitļiem, izmantojot nevienādības.
4.8.4. Ciparu pārlase skaitļa decimālajā pierakstā
Pilnā pārlase visiem decimālpieraksta cipariem vai ciparu pozīcijām.
4.8.5. Piemēru konstrukcija
Skaitļu teorijas piemēru konstruēšana :
LV.AMO.2010.8.2, LV.AMO.2011.5.2, LV.AMO.2013.8.1, LV.AMO.2014.7.4, LV.AMO.2014.8.2, LV.AMO.2014.8.5, LV.AMO.2016.7.2,
4.8.5.1. Skaitliskie piemēri
Skaitļu teorijas piemēri konkrētiem veseliem skaitļiem.
4.8.5.2. Algebrisko izteiksmju izmantošana
Skaitļu teorijas piemēri, izmantojot algebriskas izteiksmes. :
LV.AMO.2010.8.2, LV.AMO.2011.5.2, LV.AMO.2013.8.1, LV.AMO.2014.7.4, LV.AMO.2014.8.2, LV.AMO.2014.8.5, LV.AMO.2016.7.2,
4.8.5.2.1. Skaitļu īpašību izteikšana kvantitatīvi
Izteikt kvalitatīvas skaitļu īpašības (dalāmi ar kko, pēc kārtas sekojoši, nepāru, pilni kvadrāti u.c.) ar mainīgo izteiksmēm :
LV.AMO.2010.8.2, LV.AMO.2016.7.2,
4.8.5.2.2. Mainīgo ieviešana
Izvēlēties nedaudzus nezināmos lielumus, ar ko piemērā izteikt citus :
LV.AMO.2011.5.2, LV.AMO.2014.7.4, LV.AMO.2014.8.5,
4.8.5.3. Dalāmības īpašību izmantošana
Uzdevumi, kuros izmantotas dažādas veselu skaitļu dalāmības īpašības.
4.8.6. Grupēšana
Pierādīšanas paņēmieni, kas paredz skaitļu grupēšanu un reizinājuma (vai citas izteiksmes) novērtējumu katrā grupā atsevišķi.
4.8.6.1. Grupēšana pa pāriem; Vilsona teorēma
Gara reizinājuma novērtēšana, sadalot reizinājumus pāros līdzīgi kā Vilsona teorēmas pierādījumā.
4.8.6.3. Vairāku locekļu grupēšana
Vairāk nekā divu locekļu grupēšana.
4.8.7. Režģi
Veselu skaitļu režģi
4.8.7.1. Viendimensionālie režģi
Viendimensionāli režģi skaitļu intervālos
4.8.7.2. Divdimensionāla režģa apjoms
Divdimensionāli režģi taisnstūrveida apgabalos
4.8.7.3. Režģa punktu skaits ierobežotā apgabalā
Veselu skaitļu režģa punktu skaita novērtējumi plaknes vai telpas apgabalā.
4.8.8. Saistītie skaitļi
Kvadrātiskie lauki un saistītie skaitļi
4.8.8.1. Saistīto skaitļu īpašības
Saistīto skaitļu īpašību izmantošana
4.8.8.2. Saistīto skaitļu summa
Saistīto skaitļu summa ir vesels skaitlis
4.8.8.3. Skaitļa norma
Skaitļa norma kvadrātiskā laukā
4.8.8.4. Pella vienādojums
Teorēma par Pella vienādojuma atrisinājumiem
4.9.1. Polinoma vērtības dažādos punktos
Veselu koeficientu polinomu vērtības
4.9.2. Īpašība \((x -y) \mid P(x) - P(y)\)
Teorēma: Ja \(P(x)\) koeficienti ir veseli skaitļi, tad visiem veseliem \(x\) un \(y\): \(P(x)-P(y)\) dalās ar \(x-y\). :
LV.AMO.2018.10.4, LV.VOL.2011.10.4,
4.9.3. Polinoma dalīšana ar atlikumu
Divu polinomu dalīšana "stabiņā" :
LV.VOL.2014.10.2,
4.9.4. Vjeta formulu izmantošana
Vjeta formulu izmantošana: Ja saknes ir veselas un reālas, tad ar tām var izteikt visus polinoma \(P(x)\) koeficientus.
4.9.5. Polinoma racionālās saknes
Racionālo sakņu teorēma: Ja \(x=p/q\) ir \(P(x)\) racionāla sakne, tad \(P(x)\) vecākajam koeficientam jādalās ar \(q\), bet brīvajam loceklim jādalās ar \(p\).