LV.AMO.2013.10.4  

i

Tēmas: Algebra

No pirmajiem \(100\) naturālajiem skaitļiem izvēlēts \(51\) skaitlis. Pierādīt, ka no tiem var izvēlēties divus, no kuriem viens dalās ar otru.

Atrisinājums

40.AMO, 10.klases 4.uzdevums 00:15 Uzdevuma saprašana: Nosacījuma sekas - katrai 51 skaitļa izvēlei eksistē divi skaitļi, no kuriem viens dalās ar otru. 00:38 Risinājums: Kas notiktu, ja būtu jāizvēlas tikai 50 skaitļi (varētu atrast tādus skaitļus, no kuriem nekādi divi savstarpēji nedalās.) Metode: Aizstājam uzdevumu ar citu. 01:10 Risinājums: Vai skaitu 50 var palielināt tā, lai īpašība (nekādi divi skaitļi nedalās) saglabātos. Metode: Intuīcija. 02:05 Risinājums: Veidojam skaitļu virknītes, kur katri divi locekļi dalās viens ar otru. Metode: Kopas dalīšana klasēs. 03:34 Risinājums: Pamatojums, ka virkņu ir 50; un katrs skaitlis pieder tieši vienai virknei. Metode: Kopas dalīšana klasēs. 04:40 Risinājums: Ja izvēlamies 51 skaitļus no 50 virknītēm, tad vismaz vienā virknītē būs vismaz divi no izvēlētajiem skaitļiem. Metode: Dirihlē princips. 05:27 Pierādīts stiprāks apgalvojums - var atrast ne vien divus skaitļus, kuri viens ar otru dalās, bet arī tādus, kurus dalot iegūst divnieka pakāpi (2,4,8,16,32 vai 64).