No pirmajiem \(100\) naturālajiem skaitļiem izvēlēts \(51\) skaitlis. Pierādīt, ka no tiem var izvēlēties divus, no kuriem viens dalās ar otru.
Visus naturālos skaitļus no \(1\) līdz \(100\) sadalīsim \(50\) grupās: katru nepāra skaitli ievietosim citā grupā (pavisam ir \(50\) nepāra skaitļi), savukārt, tā kā katru pāra skaitli \(p\) var izteikt kā nepāra skaitļa \(n\) un divnieka pakāpes reizinājumu, t. i., \(p=n \cdot 2^{k}, k>0\), pāra skaitli \(p\) ievietosim vienā grupā ar nepāra skaitli \(n\).
Piemēram, pirmās grupas ir \(\{1;\ 2;\ 4;\ 8;\ 16;\ 32;\ 64\}\), \(\{3;\ 6;\ 12;\ 24;\ 48;\ 96\}\); \(\{5;\ 10;\ 20;\ 40;\ 80\}\) utt.
Izvēloties jebkurus divus skaitļus no vienas grupas, lielākais skaitlis dalās ar mazāko (dalījums ir divnieka pakāpe).
Tā kā tika izvēlēts \(51\) skaitlis, bet visi skaitļi ir sadalīti \(50\) grupās, tad vismaz divi skaitļi būs no vienas grupas; tie arī ir meklētie divi skaitļi.
Izrakstām ģeometriskas progresijas, kas sākas ar nepāru skaitļiem un \(q=2\):
\[(1,2,4,8,16,32,64),\;(3,6,12,24,48,96),\]
\[(5,10,20,40,80),\ldots,(97),\;(99).\]
* Būs tieši \(50\) progresijas (dažās būs tikai pa vienam loceklim), jo līdz \(100\) ir tieši \(50\) nepāru skaitļi. * Katrs skaitlis pieder tieši vienai progresijai, jo katram pāru skaitlim atbilst tieši viens nepāru skaitlis, kurš rodas, ja atkārtoti dala ar \(2\). * Izvēloties \(k+1\) skaitļus, vismaz divi būs no vienas progresijas (Dirihlē princips). *Piezīme:* Ja skaitļu ir tikai \(50\), tad līdzīgi secināt nevar. Var izvēlēties \(51,\ldots,100\) - no tiem neviens nedalās ar otru.