3.0.0.0.0. Ģeometrija
Ģeometrijas tēmas; Apgalvojumi un sakarības par vienkāršām figūrām, kas iegūstamas ar cirkuli un lineālu Eiklīda plaknē un to kongruences vai līdzības pārveidojumiem
- Leņķu īpašības
- Ģeometriskas nevienādības
- Ekstrēmi ģeometrijā
- Vektori
- Ģeometriskie pārveidojumi
- Ģeometrisku objektu sistēmas
- Griezumi, pārklājumi, krāsojumi
- Veselie režģi
- Riņķa līnijas
- Trijstūris
- Četrstūris
- Daudzstūris
- Laukums
- Konstrukcijas uzdevumi
- Punktu ģeometriskā vieta
- Metriskās sakarības
LV.AMO.2011.5.3
Parādi, kā kvadrātu var sadalīt vairākos platleņķa trijstūros!
LV.AMO.2011.5.3
Parādi, kā kvadrātu var sadalīt vairākos platleņķa trijstūros!
LV.AMO.2011.5.3
Parādi, kā kvadrātu var sadalīt vairākos platleņķa trijstūros!
LV.AMO.2012.5.2
Parādi, kā kvadrātu var sadalīt vairākos platleņķa trijstūros. (Trijstūri sauc par platleņķa trijstūri, ja tam ir viens plats leņķis un divi šauri leņķi.)
LV.AMO.2012.5.2
Parādi, kā kvadrātu var sadalīt vairākos platleņķa trijstūros. (Trijstūri sauc par platleņķa trijstūri, ja tam ir viens plats leņķis un divi šauri leņķi.)
LV.AMO.2012.5.5
Sadali 1.zīmējumā attēloto figūru trīs vienādās figūrās. (Figūru un tās spoguļattēlu saucam par vienādām figūrām.)
LV.AMO.2014.5.3
Taisnstūra \(ABCD\) malu garumi izsakāmi veselos centimetros. Iekrāsotās daļas laukums ir \(6~ \mathrm{cm}^{2}\) (skat. 1.zīm.). Nogrieznis \(AE\) ir \(\frac{1}{3}\) no taisnstūra malas \(AD\). Aprēķini taisnstūra laukumu un perimetru, ja zināms, ka viena taisnstūra mala ir par \(5~ \mathrm{cm}\) garāka nekā otra mala.
LV.AMO.2014.5.4
Kvadrāts sastāv no \(8 \times 8\) vienādām kvadrātiskām rūtiņām. Tas sagriezts daļās tā, ka griezumi iet pa rūtiņu robežām.
Kāds lielākais skaits daļu var būt tādas kā 2.zīm. attēlotā figūra (figūras var būt pagrieztas jebkurā stāvoklī)?
LV.AMO.2022B.5.2
Draw a hexagon with its sides on a square grid having perimeter equal to its area!
Note: The area is the number of little squares that make up the hexagon and the
perimeter is the number of sides of the little squares on its border.
LV.AMO.2022B.5.2
Pa rūtiņu līnijām uzzīmē tādu sešstūri, kuram perimetra un laukuma vērtības sakrīt!
Piezīme. Laukums ir sešstūri veidojošo rūtiņu skaits un perimetrs ir
rūtiņu malu, kas pilnībā atrodas uz robežas, skaits.
LV.AMO.2022B.5.2
Draw a hexagon with its sides on a square grid having perimeter equal to its area!
Note: The area is the number of little squares that make up the hexagon and the
perimeter is the number of sides of the little squares on its border.
LV.AMO.2022B.5.2
Pa rūtiņu līnijām uzzīmē tādu sešstūri, kuram perimetra un laukuma vērtības sakrīt!
Piezīme. Laukums ir sešstūri veidojošo rūtiņu skaits un perimetrs ir
rūtiņu malu, kas pilnībā atrodas uz robežas, skaits.
LV.AMO.2022B.5.2
Draw a hexagon with its sides on a square grid having perimeter equal to its area!
Note: The area is the number of little squares that make up the hexagon and the
perimeter is the number of sides of the little squares on its border.
LV.AMO.2022B.5.2
Pa rūtiņu līnijām uzzīmē tādu sešstūri, kuram perimetra un laukuma vērtības sakrīt!
Piezīme. Laukums ir sešstūri veidojošo rūtiņu skaits un perimetrs ir
rūtiņu malu, kas pilnībā atrodas uz robežas, skaits.
LV.AMO.2023.5.3
Rūtiņu lapā, kurā katras rūtiņas malas garums ir \(1\), uzzīmē daudzstūri, kuram gan perimetra, gan laukuma vērtība ir tāda pati kā malu skaits!
LV.AMO.2022B.6.2
Show how to cut ten shapes (as in Fig.2) from the given piece of grid paper (see Fig. 1). (Mark the lines where cuts should be made!) The figures can also be rotated.
LV.AMO.2022B.6.2
Parādi, kā no 1. att. dotās rūtiņu lapas var izgriezt desmit figūras,
kādas dotas 2. att. (iezīmē, kur jāiet griezuma līnijām)!
Figūras var būt arī pagrieztas.
LV.AMO.2022B.6.2
Show how to cut ten shapes (as in Fig.2) from the given piece of grid paper (see Fig. 1). (Mark the lines where cuts should be made!) The figures can also be rotated.
LV.AMO.2022B.6.2
Parādi, kā no 1. att. dotās rūtiņu lapas var izgriezt desmit figūras,
kādas dotas 2. att. (iezīmē, kur jāiet griezuma līnijām)!
Figūras var būt arī pagrieztas.
LV.AMO.2003.7.2
Trijstūri krusto \(4\) taisnes. Vai var gadīties, ka trijstūris sadalās \(5\) trijstūros, \(3\) četrstūros, \(2\) piecstūros un \(1\) sešstūrī?
Vai var gadīties, ka sadalījumā iegūto trijstūru ir par vienu mazāk, četrstūru - par vienu vairāk, bet piecstūru un sešstūru daudzumi ir tādi paši, kā minēts iepriekš?
LV.AMO.2003.7.4
Izliektā piecstūrī \(ABCDE\) punkti \(A_{1},\ B_{1},\ C_{1},\ D_{1},\ E_{1}\) ir attiecīgi malu \(CD,\ DE,\ EA,\ AB,\ BC\) viduspunkti. Dots, ka \(AA_{1} \perp CD,\ BB_{1} \perp DE,\ CC_{1} \perp EA\) un \(DD_{1} \perp AB\). Pierādiet, ka \(EE_{1} \perp BC\).
LV.AMO.2014.7.1
Trijstūrī \(ABC\) novilkts augstums \(BD\) un mediāna \(BE\). Kāds var būt \(AC\) garums, ja \(ED=4~\mathrm{cm}\) un \(DC=5~\mathrm{cm}\) ?
LV.AMO.2014.7.5
Kādu mazāko skaitu rūtiņu jāizgriež no kvadrāta \(6 \times 6\), lai no atlikušās daļas nevarētu izgriezt 6.zīm. parādīto figūru? (Figūru malām jāiet pa rūtiņu līnijām.)
LV.AMO.2014.7.5
Kādu mazāko skaitu rūtiņu jāizgriež no kvadrāta \(6 \times 6\), lai no atlikušās daļas nevarētu izgriezt 6.zīm. parādīto figūru? (Figūru malām jāiet pa rūtiņu līnijām.)
LV.AMO.2015.7.2
Vai taisnstūri ar izmēriem \(7 \times 6\) rūtiņas var pārklāt ar 4.att. redzamajām figūrām? Taisnstūrim jābūt pilnībā pārklātam. Figūras nedrīkst iziet ārpus taisnstūra, figūras nedrīkst pārklāties, tās drīkst būt pagrieztas vai apgrieztas spoguļattēlā.
LV.AMO.2015.7.4
Vienādsānu trijstūrī \(ABC\) uz pamata malas \(BC\) atzīmēts iekšējs punkts \(D\) tā, ka arī trijstūri \(ABD\) un \(ACD\) ir vienādsānu. Aprēķini trijstūra \(ABC\) leņķus! Atrodi visus gadījumus un pamato, ka citu nav!
LV.AMO.2015.7.4
Vienādsānu trijstūrī \(ABC\) uz pamata malas \(BC\) atzīmēts iekšējs punkts \(D\) tā, ka arī trijstūri \(ABD\) un \(ACD\) ir vienādsānu. Aprēķini trijstūra \(ABC\) leņķus! Atrodi visus gadījumus un pamato, ka citu nav!
LV.AMO.2016.7.3
Dots, ka \(AB \| CD\) un \(AD \| BC\) (skat. 9.att.). Nogriežņu \(AC\) un \(BD\) krustpunkts ir \(M\). Uz taisnes \(AB\) izvēlēts tāds punkts \(N\), ka \(AM=MN\). Pierādīt, ka \(\sphericalangle ANC=90^{\circ}\).
LV.AMO.2016.7.3
Dots, ka \(AB \| CD\) un \(AD \| BC\) (skat. 9.att.). Nogriežņu \(AC\) un \(BD\) krustpunkts ir \(M\). Uz taisnes \(AB\) izvēlēts tāds punkts \(N\), ka \(AM=MN\). Pierādīt, ka \(\sphericalangle ANC=90^{\circ}\).
LV.AMO.2016.7.3
Dots, ka \(AB \| CD\) un \(AD \| BC\) (skat. 9.att.). Nogriežņu \(AC\) un \(BD\) krustpunkts ir \(M\). Uz taisnes \(AB\) izvēlēts tāds punkts \(N\), ka \(AM=MN\). Pierādīt, ka \(\sphericalangle ANC=90^{\circ}\).
LV.AMO.2017.7.3
Divus taisnstūra lapas stūrus nolocīja tā, kā parādīts 15.att. Izrādījās, ka lapas apakšējā mala tika sadalīta trīs vienāda garuma nogriežņos un augšējā mala - divos vienāda garuma nogriežņos. Pierādīt, ka iekrāsotais trijstūris ir vienādmalu!
LV.AMO.2017.7.3
Divus taisnstūra lapas stūrus nolocīja tā, kā parādīts 15.att. Izrādījās, ka lapas apakšējā mala tika sadalīta trīs vienāda garuma nogriežņos un augšējā mala - divos vienāda garuma nogriežņos. Pierādīt, ka iekrāsotais trijstūris ir vienādmalu!
LV.AMO.2017.7.3
Divus taisnstūra lapas stūrus nolocīja tā, kā parādīts 15.att. Izrādījās, ka lapas apakšējā mala tika sadalīta trīs vienāda garuma nogriežņos un augšējā mala - divos vienāda garuma nogriežņos. Pierādīt, ka iekrāsotais trijstūris ir vienādmalu!
LV.AMO.2018.7.3
Uz trijstūra \(ABC\) malas \(AB\) izvēlēts patvaļīgs iekšējs punkts \(D\). Pierādīt, ka \(CD>\frac{1}{2}(CA+CB-AB)\).
LV.AMO.2018.7.5
Lauriņa no taisnstūra ar izmēriem \(7 \times 2018\) rūtiņas izgriež 5.att. dotās figūras, bet Pēcītis no tāda paša taisnstūra izgriež 6.att. dotās figūras. Kurš no viņiem var izgriezt vairāk figūru? Figūras var būt pagrieztas vai apgrieztas spoguļattēlā.
LV.AMO.2019.7.3
Izliektā četrstūrī \(ABCD\) leņķu \(BAD\) un \(ADC\) bisektrises krustojas punktā \(M\). Pierādīt, ka \(BM=CM\), ja zināms, ka \(AD=AB+CD\).
Piezīme. Četrstūri sauc par izliektu, ja visi tā iekšējie leņķi ir mazāki nekā \(180^{\circ}\).
LV.AMO.2019.7.3
Izliektā četrstūrī \(ABCD\) leņķu \(BAD\) un \(ADC\) bisektrises krustojas punktā \(M\). Pierādīt, ka \(BM=CM\), ja zināms, ka \(AD=AB+CD\).
Piezīme. Četrstūri sauc par izliektu, ja visi tā iekšējie leņķi ir mazāki nekā \(180^{\circ}\).
LV.AMO.2019.7.3
Izliektā četrstūrī \(ABCD\) leņķu \(BAD\) un \(ADC\) bisektrises krustojas punktā \(M\). Pierādīt, ka \(BM=CM\), ja zināms, ka \(AD=AB+CD\).
Piezīme. Četrstūri sauc par izliektu, ja visi tā iekšējie leņķi ir mazāki nekā \(180^{\circ}\).
LV.AMO.2019.7.4
Andris apgalvo, ka sapnī bijis kādā Éģiptes piramīdā un kādā tās telpā redzējis tādu piecstūri, kas salikts no diviem vienādiem piecstūriem, kuri sastāvējuši no vienādiem regulāriem trijstūriem. Uzzīmē šādu piecstūri!
LV.AMO.2022A.7.3
Vai taisnstūri ar izmēriem \(3 \times 3370\) rūtiņas var noklāt ar 8.att. redzamām figūrām tā, lai paliktu tieši \(2022\) nenoklātas rūtiņas? Dotās figūras malām jāiet pa rūtiņu līnijām, tā var būt pagriezta vai apgriezta spoguļattēlā, figūras nedrīkst pārklāties vai iziet ārpus taisnstūra.
LV.AMO.2022B.7.3
Show how to draw \(6\) lines in a plane and mark \(7\) points on the lines so that exactly three points are marked on each line!
LV.AMO.2022B.7.3
Parādi, kā plaknē novilkt \(6\) taisnes un uz tām atlikt \(7\) punktus tā, lai uz katras no taisnēm būtu atzīmēti tieši trīs punkti!
LV.AMO.2023.7.3
No četrām tādām figūrām, kāda dota 12. att., uzzīmē figūru, kurai ir tieši:
(A) \(2\) simetrijas asis;
(B) \(4\) simetrijas asis!
Piezīme. Figūru, kas dota 12. att., drīkst pagriezt.
Uzzīmētajai figūrai var būt arī caurumi. Figūrai jābūt
saistītai, tas ir, no figūras katras rūtiņas jābūt iespējai
aiziet uz jebkuru citu šīs figūras rūtiņu, ejot tikai
pa šīs figūras rūtiņām, katru reizi pārejot no attiecīgās
rūtiņas uz blakus rūtiņu, ar ko tai ir kopīga mala.
LV.AMO.2024.7.4
Dots kvadrāts ar izmēriem \(10 \times 10\) rūtiņas. Kāds ir lielākais skaits 9. att. redzamo figūru, kuras var izgriezt no šī kvadrāta, ja griezuma līnijām jāiet pa rūtiņu līnijām? Figūras drīkst būt pagrieztas.
LV.AMO.2024.7.4
Dots kvadrāts ar izmēriem \(10 \times 10\) rūtiņas. Kāds ir lielākais skaits 9. att. redzamo figūru, kuras var izgriezt no šī kvadrāta, ja griezuma līnijām jāiet pa rūtiņu līnijām? Figūras drīkst būt pagrieztas.
LV.NOL.2008.7.3
Sporta klubā sapulcējušies cīkstoņi un vingrotājas. Cīkstoņu vidējais svars ir \(84~\mathrm{kg}\); vingrotāju vidējais svars ir \(54~\mathrm{kg}\); visu sportistu vidējais svars ir \(71~\mathrm{kg}\). Pierādīt, ka cīkstoņu skaits dalās ar \(17\).
LV.NOL.2011.7.4
Vai \(8 \times 8\) rūtiņas lielā kvadrātā var aizkrāsot (A) \(16\) rūtiņas, (B) \(17\) rūtiņas tā, ka nekādas divas aizkrāsotās rūtiņas neatrodas blakus? (Par blakus rūtiņām sauksim rūtiņas, kurām ir kopīgs vismaz viens punkts).
LV.AMO.2003.8.4
Andrim un Jurim iedots pa papīra kvadrātam ar izmēriem \(1~\text{m} \times 1~\text{m}\). Katrs no viniem savā kvadrātā novilka vairākas līnijas, sadalot to daļās; katra daļa ir taisnstūris ar izmēriem \(4~\text{cm} \times 4~\mathrm{cm}\) vai \(3~\text{cm} \times 6~\mathrm{cm}\).
Pierādiet, ka Andra novilkto līniju kopgarums vienāds ar Jura novilkto līniju kopgarumu. (Tika novilktas tikai līnijas, kas dala kvadrātus taisnstūros.)
LV.AMO.2012.8.3
Skolas matemātikas olimpiādē piedalījās ne vairāk kā \(60\) skolēnu. Vidējais punktu skaits, ko ieguva zēni, bija \(21,6\). Vidējais punktu skaits, ko ieguva meitenes, bija \(15\). Vidējais punktu skaits, ko ieguva visi skolēni, bija \(20\). Cik skolēnu piedalījās olimpiādē?
LV.AMO.2015.8.2
Vai taisnstūri ar izmēriem \(10 \times 9\) rūtiņas var pārklāt ar 5.att. redzamajām figūrām? Taisnstūrim jābūt pilnībā pārklātam. Figūras nedrīkst iziet ārpus taisnstūra, figūras nedrīkst pārklāties, tās drīkst būt pagrieztas vai apgrieztas spoguļattēlā.
LV.AMO.2015.8.5
Šaurleņķu trijstūrī \(ABC\) novilkts augstums \(CH\) un mediāna \(BK\). Zināms, ka \(CH=BK\) un \(\sphericalangle HCB=\sphericalangle KBC\). Pierādīt, ka trijstūris \(ABC\) ir vienādmalu!
LV.AMO.2015.8.5
Šaurleņķu trijstūrī \(ABC\) novilkts augstums \(CH\) un mediāna \(BK\). Zināms, ka \(CH=BK\) un \(\sphericalangle HCB=\sphericalangle KBC\). Pierādīt, ka trijstūris \(ABC\) ir vienādmalu!
LV.AMO.2016.8.4
Dota taisnleņķa trapece \(ABCD\), kuras īsākā sānu mala ir \(BC\). Malu \(AD\) un \(CD\) viduspunkti attiecīgi ir \(M\) un \(K\), bet diagonāles \(AC\) viduspunkts ir \(N\). Pierādīt, ka \(\triangle MNB=\triangle CKM\).
LV.AMO.2016.8.4
Dota taisnleņķa trapece \(ABCD\), kuras īsākā sānu mala ir \(BC\). Malu \(AD\) un \(CD\) viduspunkti attiecīgi ir \(M\) un \(K\), bet diagonāles \(AC\) viduspunkts ir \(N\). Pierādīt, ka \(\triangle MNB=\triangle CKM\).
LV.AMO.2017.8.3
Taisnstūrveida papīra lapu pārlocīja tā, ka pārlocītais lapas stūris atrodas uz pretējās malas (skat. 20.att.). Trijstūri \(AFE\) un \(CBE\) ir vienādi un \(CB=7~\mathrm{cm}\), bet \(BD=3~\mathrm{cm}\). Kādi ir sākotnējās papīra lapas malu garumi?
LV.AMO.2018.8.3
Paralelograma \(ABCD\) malu \(BC\) un \(AD\) viduspunkti ir attiecīgi \(E\) un \(F\). Aprēķināt četrstūra laukumu, ko ierobežo taisnes \(AE,\ ED,\ BF\) un \(FC\), ja zināms, ka \(ABCD\) laukums ir \(100\).
LV.AMO.2018.8.3
Paralelograma \(ABCD\) malu \(BC\) un \(AD\) viduspunkti ir attiecīgi \(E\) un \(F\). Aprēķināt četrstūra laukumu, ko ierobežo taisnes \(AE,\ ED,\ BF\) un \(FC\), ja zināms, ka \(ABCD\) laukums ir \(100\).
LV.AMO.2018.8.5
(A) Kāds ir mazākais rūtiņu skaits, kas jāiekrāso \(6 \times 6\) rūtiņu
kvadrātā, lai katrā šī kvadrāta \(2 \times 3\) rūtiņu taisnstūrī (tas var būt arī
pagriezts vertikāli) būtu vismaz viena iekrāsota rūtiņa?
(B) Vai noteikti
tad, kad ir iekrāsots mazākais rūtiņu skaits, visas četras stūra rūtiņas paliks
neiekrāsotas?
LV.AMO.2019.8.3
Dots paralelograms \(ABCD\). Leņķa \(BAD\) bisektrise krusto malu \(BC\) iekšējā punktā \(E\) un \(CD\) pagarinājumu punktā \(F\). Pierādīt, ka \(BC=DF\), ja zināms, ka \(DE\) ir perpendikulārs \(AF\).
LV.AMO.2019.8.3
Dots paralelograms \(ABCD\). Leņķa \(BAD\) bisektrise krusto malu \(BC\) iekšējā punktā \(E\) un \(CD\) pagarinājumu punktā \(F\). Pierādīt, ka \(BC=DF\), ja zināms, ka \(DE\) ir perpendikulārs \(AF\).
LV.AMO.2019.8.3
Dots paralelograms \(ABCD\). Leņķa \(BAD\) bisektrise krusto malu \(BC\) iekšējā punktā \(E\) un \(CD\) pagarinājumu punktā \(F\). Pierādīt, ka \(BC=DF\), ja zināms, ka \(DE\) ir perpendikulārs \(AF\).
LV.AMO.2022A.8.1
Taisnes \(y=x\) un \(y = -2x+2022\) krustojas punktā \(A\). Punkti \(B\) un \(C\) ir attiecīgi šo taišņu krustpunkti ar \(y\) asi. Aprēķināt trijstūra \(ABC\) laukumu!
LV.AMO.2022A.8.3
Kvadrātā \(ABCD\) novilkta diagonāle \(AC\) un uz tās atzīmēts punkts \(E\) tā, ka \(\sphericalangle DEC=75^{\circ}\). Nogriežņa \(DE\) pagarinājums krusto malu \(AB\) punktā \(F\). Pierādīt, ka \(EF=FB\)!
LV.AMO.2022A.8.3
Kvadrātā \(ABCD\) novilkta diagonāle \(AC\) un uz tās atzīmēts punkts \(E\) tā, ka \(\sphericalangle DEC=75^{\circ}\). Nogriežņa \(DE\) pagarinājums krusto malu \(AB\) punktā \(F\). Pierādīt, ka \(EF=FB\)!
LV.AMO.2022B.8.3
In a triangle \(ABC\) on the side \(BC\) there is a point \(D\) such that \(AD = BD\) and \(AB = DC = AC\). Calculate the angles of \(ABC\)!
LV.AMO.2022B.8.3
Trijstūrī \(ABC\) uz malas \(BC\) atlikts tāds punkts \(D\), ka \(AD = BD\) un \(AB = DC = AC\). Aprēķināt trijstūra \(ABC\) leņķus!
LV.AMO.2022B.8.3
In a triangle \(ABC\) on the side \(BC\) there is a point \(D\) such that \(AD = BD\) and \(AB = DC = AC\). Calculate the angles of \(ABC\)!
LV.AMO.2022B.8.3
Trijstūrī \(ABC\) uz malas \(BC\) atlikts tāds punkts \(D\), ka \(AD = BD\) un \(AB = DC = AC\). Aprēķināt trijstūra \(ABC\) leņķus!
LV.AMO.2023.8.3
Divi vienādmalu trijstūri novietoti plaknē kā parādīts 15. att. Zināms, ka \(\sphericalangle CAD = \alpha\) un \(\sphericalangle FDJ = \beta\). Izsaki leņķi \(CGF\) ar \(\alpha\) un \(\beta\).
LV.AMO.2023.8.3
Divi vienādmalu trijstūri novietoti plaknē kā parādīts 15. att. Zināms, ka \(\sphericalangle CAD = \alpha\) un \(\sphericalangle FDJ = \beta\). Izsaki leņķi \(CGF\) ar \(\alpha\) un \(\beta\).
LV.AMO.2024.8.4
Uz riņk̦a līnijas ar centru \(O\) ir atlikti punkti \(A, B\) un \(C\) tā, lai punkts \(O\) atrastos trijstūrī \(ABC\). Pie tam zināms, ka \(\sphericalangle AOC=\alpha\), bet \(\sphericalangle OAB=\beta\). Izteikt leņķi \(\sphericalangle BCO\) ar \(\alpha\) un \(\beta\)!
LV.AMO.2024.8.4
Uz riņk̦a līnijas ar centru \(O\) ir atlikti punkti \(A, B\) un \(C\) tā, lai punkts \(O\) atrastos trijstūrī \(ABC\). Pie tam zināms, ka \(\sphericalangle AOC=\alpha\), bet \(\sphericalangle OAB=\beta\). Izteikt leņķi \(\sphericalangle BCO\) ar \(\alpha\) un \(\beta\)!
LV.AMO.2024.8.5
Dotas piecas smagas kastes un tās izkārtotas, kā tas redzams 12. att. Šīs kastes var pārvietot tikai pagriežot par 90 grādiem ap kādu no kastes stūriem. Kastes nav iespējams pārvietot citām kastēm virsū. Pēc vairākiem šādiem pārvietojumiem šīs kastes tika izkārtotas, kā tas redzams 13. att. Kuras no šīm kastēm varēja sākotnēji atrasties 12. att. izkārtojuma centrā? Piemēru, kā kasti var pārvietot ap vienu stūri divos dažādos veidos skatīt 14. att.
LV.AMO.2024.8.5
Dotas piecas smagas kastes un tās izkārtotas, kā tas redzams 12. att. Šīs kastes var pārvietot tikai pagriežot par 90 grādiem ap kādu no kastes stūriem. Kastes nav iespējams pārvietot citām kastēm virsū. Pēc vairākiem šādiem pārvietojumiem šīs kastes tika izkārtotas, kā tas redzams 13. att. Kuras no šīm kastēm varēja sākotnēji atrasties 12. att. izkārtojuma centrā? Piemēru, kā kasti var pārvietot ap vienu stūri divos dažādos veidos skatīt 14. att.
LV.NOL.2010.8.2
Trijstūrī \(ABC\) divas malas ir vienādas savā starpā, un \(\sphericalangle ABC=20^{\circ}\). Pierādiet, ka \(3 \cdot AC > AB\).
LV.AMO.2003.9.4
Trijstūra \(ABC\) ievilktā riņķa centrs ir \(I\). Dots, ka \(CA+AI=CB\). Pierādīt, ka \(\sphericalangle BAC=2 \sphericalangle CBA\).
LV.AMO.2003.9.4
Trijstūra \(ABC\) ievilktā riņķa centrs ir \(I\). Dots, ka \(CA+AI=CB\). Pierādīt, ka \(\sphericalangle BAC=2 \sphericalangle CBA\).
LV.AMO.2012.9.2
Trijstūrī \(ABC\) \(\sphericalangle ABC=90^{\circ}\), bet punkts \(P\) atrodas uz malas \(AB\). Punkti \(M\) un \(N\) ir attiecīgi nogriežņu \(AC\) un \(PC\) viduspunkti. Pierādi, ka \(\sphericalangle BAC=\sphericalangle BMN\)
LV.AMO.2014.9.1
Kvadrātā, kura malas garums ir \(2\), ievilkts riņķis un šajā riņķī ievilkts kvadrāts (skat. 10.zīm.). Aprēķināt iekrāsoto daļu laukumu summu!
LV.AMO.2014.9.1
Kvadrātā, kura malas garums ir \(2\), ievilkts riņķis un šajā riņķī ievilkts kvadrāts (skat. 10.zīm.). Aprēķināt iekrāsoto daļu laukumu summu!
LV.AMO.2014.9.1
Kvadrātā, kura malas garums ir \(2\), ievilkts riņķis un šajā riņķī ievilkts kvadrāts (skat. 10.zīm.). Aprēķināt iekrāsoto daļu laukumu summu!
LV.AMO.2015.9.2
Tornis ir salikts no vienības kubiņiem, kur katra kubiņa izmērs ir \(1 \times 1 \times 1\). Apakšējā slānī ir \(7 \times 7\) kubiņi. Otrs slānis ir novietots virs pirmā slāņa centrālās daļās, tajā ir \(5 \times 5\) kubiņi. Trešajā slānī, kurš novietots apakšējās daļas centrā, ir \(3 \times 3\) kubiņi un augšā centrā ir \(1\) vienības kubiņš (skat. 6.att.). Vai šo torni var salikt no blokiem ar izmēriem \(1 \times 1 \times 3\) ?
LV.AMO.2015.9.4
Vienādsānu trapeces \(ABCD\) sānu malas ir \(AB\) un \(CD\), bet diagonāles \(AC\) un \(BD\) krustojas punktā \(E\). Ap trijstūri \(CDE\) apvilktā riņķa līnija krusto garāko pamatu \(AD\) iekšējā punktā \(F\). Nogriežņu \(CF\) un \(BD\) krustpunkts ir \(G\). Nosaki \(\sphericalangle CGD\) lielumu, ja \(\sphericalangle CAD=\alpha\)!
LV.AMO.2015.9.4
Vienādsānu trapeces \(ABCD\) sānu malas ir \(AB\) un \(CD\), bet diagonāles \(AC\) un \(BD\) krustojas punktā \(E\). Ap trijstūri \(CDE\) apvilktā riņķa līnija krusto garāko pamatu \(AD\) iekšējā punktā \(F\). Nogriežņu \(CF\) un \(BD\) krustpunkts ir \(G\). Nosaki \(\sphericalangle CGD\) lielumu, ja \(\sphericalangle CAD=\alpha\)!
LV.AMO.2015.9.4
Vienādsānu trapeces \(ABCD\) sānu malas ir \(AB\) un \(CD\), bet diagonāles \(AC\) un \(BD\) krustojas punktā \(E\). Ap trijstūri \(CDE\) apvilktā riņķa līnija krusto garāko pamatu \(AD\) iekšējā punktā \(F\). Nogriežņu \(CF\) un \(BD\) krustpunkts ir \(G\). Nosaki \(\sphericalangle CGD\) lielumu, ja \(\sphericalangle CAD=\alpha\)!
LV.AMO.2015.9.4
Vienādsānu trapeces \(ABCD\) sānu malas ir \(AB\) un \(CD\), bet diagonāles \(AC\) un \(BD\) krustojas punktā \(E\). Ap trijstūri \(CDE\) apvilktā riņķa līnija krusto garāko pamatu \(AD\) iekšējā punktā \(F\). Nogriežņu \(CF\) un \(BD\) krustpunkts ir \(G\). Nosaki \(\sphericalangle CGD\) lielumu, ja \(\sphericalangle CAD=\alpha\)!
LV.AMO.2015.9.4
Vienādsānu trapeces \(ABCD\) sānu malas ir \(AB\) un \(CD\), bet diagonāles \(AC\) un \(BD\) krustojas punktā \(E\). Ap trijstūri \(CDE\) apvilktā riņķa līnija krusto garāko pamatu \(AD\) iekšējā punktā \(F\). Nogriežņu \(CF\) un \(BD\) krustpunkts ir \(G\). Nosaki \(\sphericalangle CGD\) lielumu, ja \(\sphericalangle CAD=\alpha\)!
LV.AMO.2016.9.3
Dots taisnstūris \(ABCD\). Malas \(AB\) viduspunkts ir \(M\). Zināms, ka uz malas \(BC\) var izvēlēties tādu punktu \(N\), ka \(\sphericalangle BMN=\sphericalangle CDN=30^{\circ}\). Pierādīt, ka trijstūris \(CDM\) ir vienādmalu!
LV.AMO.2016.9.3
Dots taisnstūris \(ABCD\). Malas \(AB\) viduspunkts ir \(M\). Zināms, ka uz malas \(BC\) var izvēlēties tādu punktu \(N\), ka \(\sphericalangle BMN=\sphericalangle CDN=30^{\circ}\). Pierādīt, ka trijstūris \(CDM\) ir vienādmalu!
LV.AMO.2016.9.3
Dots taisnstūris \(ABCD\). Malas \(AB\) viduspunkts ir \(M\). Zināms, ka uz malas \(BC\) var izvēlēties tādu punktu \(N\), ka \(\sphericalangle BMN=\sphericalangle CDN=30^{\circ}\). Pierādīt, ka trijstūris \(CDM\) ir vienādmalu!
LV.AMO.2017.9.3
Dots trijstūris \(ABC\), kuram \(AB>AC>BC\). Virsotnes \(A\) blakusleņķa bisektrise krusto malas \(BC\) pagarinājumu punktā \(D\), bet virsotnes \(C\) blakusleņķa bisektrise krusto malas \(AB\) pagarinājumu punktā \(E\). Zināms, ka \(AD=AC=CE\). Aprēķināt trijstūra \(ABC\) leņķus!
LV.AMO.2017.9.3
Dots trijstūris \(ABC\), kuram \(AB>AC>BC\). Virsotnes \(A\) blakusleņķa bisektrise krusto malas \(BC\) pagarinājumu punktā \(D\), bet virsotnes \(C\) blakusleņķa bisektrise krusto malas \(AB\) pagarinājumu punktā \(E\). Zināms, ka \(AD=AC=CE\). Aprēķināt trijstūra \(ABC\) leņķus!
LV.AMO.2017.9.3
Dots trijstūris \(ABC\), kuram \(AB>AC>BC\). Virsotnes \(A\) blakusleņķa bisektrise krusto malas \(BC\) pagarinājumu punktā \(D\), bet virsotnes \(C\) blakusleņķa bisektrise krusto malas \(AB\) pagarinājumu punktā \(E\). Zināms, ka \(AD=AC=CE\). Aprēķināt trijstūra \(ABC\) leņķus!
LV.AMO.2018.9.3
Ap vienādsānu trijstūri \(ABC\) (\(AB=AC\)) apvilkta riņķa līnija. Caur virsotni \(B\) un loka \(AB\) (kas nesatur \(C\)) iekšēju punktu \(D\) novilkta taisne, uz kuras atzīmēts punkts \(E\) tā, ka \(AD=AE\). Pierādīt, ka trijstūri \(ABC\) un \(ADE\) ir līdzīgi!
LV.AMO.2018.9.3
Ap vienādsānu trijstūri \(ABC\) (\(AB=AC\)) apvilkta riņķa līnija. Caur virsotni \(B\) un loka \(AB\) (kas nesatur \(C\)) iekšēju punktu \(D\) novilkta taisne, uz kuras atzīmēts punkts \(E\) tā, ka \(AD=AE\). Pierādīt, ka trijstūri \(ABC\) un \(ADE\) ir līdzīgi!
LV.AMO.2018.9.3
Ap vienādsānu trijstūri \(ABC\) (\(AB=AC\)) apvilkta riņķa līnija. Caur virsotni \(B\) un loka \(AB\) (kas nesatur \(C\)) iekšēju punktu \(D\) novilkta taisne, uz kuras atzīmēts punkts \(E\) tā, ka \(AD=AE\). Pierādīt, ka trijstūri \(ABC\) un \(ADE\) ir līdzīgi!
LV.AMO.2018.9.5
Kāds ir mazākais rūtiņu skaits, kas jāiekrāso taisnstūrī ar izmēriem \(5 \times 8\) rūtiņas, lai katrā šī taisnstūra \(2 \times 3\) rūtiņu taisnstūrī (tas var būt arī pagriezts vertikāli) būtu vismaz viena iekrāsota rūtiņa?
LV.AMO.2019.9.3
Dots vienādsānu taisnleņķa trijstūris \(ABC\) ar taisno leņķi \(C\). Uz tā hipotenūzas konstruēts taisnstūris \(ABNM\) tā, ka punkti \(C\) un \(N\) atrodas dažādās pusēs no taisnes \(AB\) un \(AC=AM\). Nogrieznis \(CM\) krusto \(AB\) punktā \(P\). Punkts \(L\) ir malas \(MN\) viduspunkts. Nogrieznis \(CL\) krusto \(PN\) punktā \(Q\). Pierādīt, ka (A) trijstūris \(CBP\) ir vienādsānu; (B) četrstūris \(QNBC\) ir rombs!
LV.AMO.2019.9.3
Dots vienādsānu taisnleņķa trijstūris \(ABC\) ar taisno leņķi \(C\). Uz tā hipotenūzas konstruēts taisnstūris \(ABNM\) tā, ka punkti \(C\) un \(N\) atrodas dažādās pusēs no taisnes \(AB\) un \(AC=AM\). Nogrieznis \(CM\) krusto \(AB\) punktā \(P\). Punkts \(L\) ir malas \(MN\) viduspunkts. Nogrieznis \(CL\) krusto \(PN\) punktā \(Q\). Pierādīt, ka (A) trijstūris \(CBP\) ir vienādsānu; (B) četrstūris \(QNBC\) ir rombs!
LV.AMO.2019.9.3
Dots vienādsānu taisnleņķa trijstūris \(ABC\) ar taisno leņķi \(C\). Uz tā hipotenūzas konstruēts taisnstūris \(ABNM\) tā, ka punkti \(C\) un \(N\) atrodas dažādās pusēs no taisnes \(AB\) un \(AC=AM\). Nogrieznis \(CM\) krusto \(AB\) punktā \(P\). Punkts \(L\) ir malas \(MN\) viduspunkts. Nogrieznis \(CL\) krusto \(PN\) punktā \(Q\). Pierādīt, ka (A) trijstūris \(CBP\) ir vienādsānu; (B) četrstūris \(QNBC\) ir rombs!
LV.AMO.2022A.9.3
Izliektā sešstūrī \(ABCDEF\) pretējās malas ir pa pāriem paralēlas, tas ir, \(AB \| DE\), \(BC \| EF\) un \(CD \| AF\). Zināms, ka \(AB=DE\). Pierādīt, ka \(BC=EF\) un \(CD=AF\).
LV.AMO.2022A.9.3
Izliektā sešstūrī \(ABCDEF\) pretējās malas ir pa pāriem paralēlas, tas ir, \(AB \| DE\), \(BC \| EF\) un \(CD \| AF\). Zināms, ka \(AB=DE\). Pierādīt, ka \(BC=EF\) un \(CD=AF\).
LV.AMO.2022A.9.5
Kāds mazākais skaits rūtiņu jāaizkrāso taisnstūrī ar izmēriem \(8 \times 8\) rūtiņas, lai nevarētu atrast nevienu taisnstūri ar izmēriem \(1 \times 5\) rūtiņas (kurš var būt novietots gan horizontāli, gan vertikāli), kuram visas rūtiņas ir neaizkrāsotas?
LV.AMO.2022B.9.3
In a right triangle \(ACB\) (\(\sphericalangle C = 90^{\circ}\)) \(CH\) is an altitude. On the side \(AC\) we mark a point \(K\) so that \(\sphericalangle CBK = \sphericalangle BAC\). Prove that the line \(CH\) divides the segment \(BK\) in half!
LV.AMO.2022B.9.3
Taisnleņķa trijstūrī \(ACB\) (\(\sphericalangle C = 90^{\circ}\)) novilkts augstums \(CH\). Uz malas \(AC\) atlikts punkts \(K\) tā, ka \(\sphericalangle CBK = \sphericalangle BAC\). Pierādīt, ka taisne \(CH\) dala nogriezni \(BK\) divās vienādās daļās!
LV.AMO.2023.9.3
Trijstūrī viens leņķis ir par \(120^{\circ}\) lielāks nekā otrs. Pierādīt, ka bisektrise, kas vilkta no trešā leņķa virsotnes, ir divas reizes garāka nekā augstums no tās pašas virsotnes!
LV.AMO.2023.9.3
Trijstūrī viens leņķis ir par \(120^{\circ}\) lielāks nekā otrs. Pierādīt, ka bisektrise, kas vilkta no trešā leņķa virsotnes, ir divas reizes garāka nekā augstums no tās pašas virsotnes!
LV.AMO.2024.9.4
Uz paralelograma \(ABCD\) malām \(BC\) un \(CD\) atzīmēti attiecīgi punkti \(E\) un \(F\). Nogriežņu \(AE\) un \(BF\) krustpunkts ir \(G\), nogriežņu \(AF\) un \(ED\) krustpunkts ir \(I\), bet \(BF\) un \(ED\) krustpunkts ir \(H\). Pamatot, ka \(S_{AGHI} = S_{BEG}+S_{CEHF}+S_{DFI}\).
LV.AMO.2024.9.4
Uz paralelograma \(ABCD\) malām \(BC\) un \(CD\) atzīmēti attiecīgi punkti \(E\) un \(F\). Nogriežņu \(AE\) un \(BF\) krustpunkts ir \(G\), nogriežņu \(AF\) un \(ED\) krustpunkts ir \(I\), bet \(BF\) un \(ED\) krustpunkts ir \(H\). Pamatot, ka \(S_{AGHI} = S_{BEG}+S_{CEHF}+S_{DFI}\).
LV.AMO.2003.10.2
Uz trijstūra \(ABC\) malām \(AC\) un \(AB\) ņemti attiecīgi punkti \(M\) un \(N\). Taisne \(t\) dala uz pusēm trijstūra ārējos leņķus pie virsotnes \(A\). Riņķa līnijas, kas apvilktas ap \(\triangle ABM\) un \(\triangle ACN\), krusto taisni \(t\) attiecīgi punktos \(K\) un \(L\). Pierādiet, ka trijstūri \(KBM\) un \(LCN\) ir vienādsānu un līdzīgi savā starpā.
LV.AMO.2003.11.2
No punkta \(A\) riņķa līnijai \(w\) novilktas pieskares \(AX\) un \(AY\) (\(X\) un \(Y\) - pieskāršanās punkti). Punktam \(Y\) diametrāli pretējais punkts ir \(Z\). Punkts \(B\) pieder nogrieznim \(YZ\) un \(XB \perp YZ\).
Pierādiet, ka taisne \(AZ\) dala nogriezni \(XB\) uz pusēm.