3.1.0.0.0. Leņķu īpašības
Uzdevumi, kuros jāpierāda, ka kādas taisnes vai nogriežņi ir paralēli vai perpendikulāri. Uzdevumi, kuros dota vai jāpierāda nogriežņu garumu attiecība vai leņķu vienādība.
LV.AMO.2015.7.4
Vienādsānu trijstūrī \(ABC\) uz pamata malas \(BC\) atzīmēts iekšējs punkts \(D\) tā, ka arī trijstūri \(ABD\) un \(ACD\) ir vienādsānu. Aprēķini trijstūra \(ABC\) leņķus! Atrodi visus gadījumus un pamato, ka citu nav!
LV.AMO.2016.7.3
Dots, ka \(AB \| CD\) un \(AD \| BC\) (skat. 9.att.). Nogriežņu \(AC\) un \(BD\) krustpunkts ir \(M\). Uz taisnes \(AB\) izvēlēts tāds punkts \(N\), ka \(AM=MN\). Pierādīt, ka \(\sphericalangle ANC=90^{\circ}\).
LV.AMO.2017.7.3
Divus taisnstūra lapas stūrus nolocīja tā, kā parādīts 15.att. Izrādījās, ka lapas apakšējā mala tika sadalīta trīs vienāda garuma nogriežņos un augšējā mala - divos vienāda garuma nogriežņos. Pierādīt, ka iekrāsotais trijstūris ir vienādmalu!
LV.AMO.2019.8.3
Dots paralelograms \(ABCD\). Leņķa \(BAD\) bisektrise krusto malu \(BC\) iekšējā punktā \(E\) un \(CD\) pagarinājumu punktā \(F\). Pierādīt, ka \(BC=DF\), ja zināms, ka \(DE\) ir perpendikulārs \(AF\).
LV.AMO.2022B.8.3
In a triangle \(ABC\) on the side \(BC\) there is a point \(D\) such that \(AD = BD\) and \(AB = DC = AC\). Calculate the angles of \(ABC\)!
LV.AMO.2022B.8.3
Trijstūrī \(ABC\) uz malas \(BC\) atlikts tāds punkts \(D\), ka \(AD = BD\) un \(AB = DC = AC\). Aprēķināt trijstūra \(ABC\) leņķus!
LV.AMO.2023.8.3
Divi vienādmalu trijstūri novietoti plaknē kā parādīts 15. att. Zināms, ka \(\sphericalangle CAD = \alpha\) un \(\sphericalangle FDJ = \beta\). Izsaki leņķi \(CGF\) ar \(\alpha\) un \(\beta\).
LV.AMO.2023.8.3
Divi vienādmalu trijstūri novietoti plaknē kā parādīts 15. att. Zināms, ka \(\sphericalangle CAD = \alpha\) un \(\sphericalangle FDJ = \beta\). Izsaki leņķi \(CGF\) ar \(\alpha\) un \(\beta\).
LV.AMO.2024.8.4
Uz riņk̦a līnijas ar centru \(O\) ir atlikti punkti \(A, B\) un \(C\) tā, lai punkts \(O\) atrastos trijstūrī \(ABC\). Pie tam zināms, ka \(\sphericalangle AOC=\alpha\), bet \(\sphericalangle OAB=\beta\). Izteikt leņķi \(\sphericalangle BCO\) ar \(\alpha\) un \(\beta\)!
LV.AMO.2015.9.4
Vienādsānu trapeces \(ABCD\) sānu malas ir \(AB\) un \(CD\), bet diagonāles \(AC\) un \(BD\) krustojas punktā \(E\). Ap trijstūri \(CDE\) apvilktā riņķa līnija krusto garāko pamatu \(AD\) iekšējā punktā \(F\). Nogriežņu \(CF\) un \(BD\) krustpunkts ir \(G\). Nosaki \(\sphericalangle CGD\) lielumu, ja \(\sphericalangle CAD=\alpha\)!
LV.AMO.2015.9.4
Vienādsānu trapeces \(ABCD\) sānu malas ir \(AB\) un \(CD\), bet diagonāles \(AC\) un \(BD\) krustojas punktā \(E\). Ap trijstūri \(CDE\) apvilktā riņķa līnija krusto garāko pamatu \(AD\) iekšējā punktā \(F\). Nogriežņu \(CF\) un \(BD\) krustpunkts ir \(G\). Nosaki \(\sphericalangle CGD\) lielumu, ja \(\sphericalangle CAD=\alpha\)!
LV.AMO.2017.9.3
Dots trijstūris \(ABC\), kuram \(AB>AC>BC\). Virsotnes \(A\) blakusleņķa bisektrise krusto malas \(BC\) pagarinājumu punktā \(D\), bet virsotnes \(C\) blakusleņķa bisektrise krusto malas \(AB\) pagarinājumu punktā \(E\). Zināms, ka \(AD=AC=CE\). Aprēķināt trijstūra \(ABC\) leņķus!
LV.AMO.2017.9.3
Dots trijstūris \(ABC\), kuram \(AB>AC>BC\). Virsotnes \(A\) blakusleņķa bisektrise krusto malas \(BC\) pagarinājumu punktā \(D\), bet virsotnes \(C\) blakusleņķa bisektrise krusto malas \(AB\) pagarinājumu punktā \(E\). Zināms, ka \(AD=AC=CE\). Aprēķināt trijstūra \(ABC\) leņķus!
LV.AMO.2018.9.3
Ap vienādsānu trijstūri \(ABC\) (\(AB=AC\)) apvilkta riņķa līnija. Caur virsotni \(B\) un loka \(AB\) (kas nesatur \(C\)) iekšēju punktu \(D\) novilkta taisne, uz kuras atzīmēts punkts \(E\) tā, ka \(AD=AE\). Pierādīt, ka trijstūri \(ABC\) un \(ADE\) ir līdzīgi!
LV.AMO.2019.9.3
Dots vienādsānu taisnleņķa trijstūris \(ABC\) ar taisno leņķi \(C\). Uz tā hipotenūzas konstruēts taisnstūris \(ABNM\) tā, ka punkti \(C\) un \(N\) atrodas dažādās pusēs no taisnes \(AB\) un \(AC=AM\). Nogrieznis \(CM\) krusto \(AB\) punktā \(P\). Punkts \(L\) ir malas \(MN\) viduspunkts. Nogrieznis \(CL\) krusto \(PN\) punktā \(Q\). Pierādīt, ka (A) trijstūris \(CBP\) ir vienādsānu; (B) četrstūris \(QNBC\) ir rombs!
LV.AMO.2023.9.3
Trijstūrī viens leņķis ir par \(120^{\circ}\) lielāks nekā otrs. Pierādīt, ka bisektrise, kas vilkta no trešā leņķa virsotnes, ir divas reizes garāka nekā augstums no tās pašas virsotnes!