4.0.0.0.0. Skaitļu teorija
Visi uzdevumi par skaitļu teoriju
- Skaitļu dalāmība
- Skaitļa pirmreizinātāji
- Skaitīšanas sistēmas
- Kongruence pēc moduļa
- Pārveidojumi skaitļu teorijā
- Nevienādības skaitļu teorijā
- Pirmskaitļa kārta jeb valuācija
- Pārlase un piemēri skaitļu teorijā
- Polinomi ar veseliem koeficientiem
LV.AMO.2003.5.1
Sauksim naturālu skaitli par interesantu, ja tas nesatur ciparu \(0\) un tā pirmais cipars par \(1\) mazāks nekā visu citu ciparu summa.
(A) kāds ir mazākais interesantais četrciparu skaitlis?
(B) kāds ir lielākais interesantais skaitlis?
LV.AMO.2011.5.1
Reizināšanas piemērā ciparus aizstāja ar burtiem un ieguva izteiksmi \(AB \cdot CD=EEE\).
Atjauno sākotnējo reizināšanas piemēru, ja zināms, ka vienādi burti apzīmē vienādus ciparus, bet dažādi burti - dažādus ciparus, pie tam ne \(A\), ne \(C\) nav \(0\). Atrodi visus iespējamos atrisinājumus!
LV.AMO.2011.5.2
Dotās \(3 \times 3\) rūtiņu tabulas katrā rūtiņā jāieraksta pa vienam naturālam skaitlim tā, lai katrā rindā, katrā kolonnā un katrā diagonālē ierakstīto trīs skaitļu summas būtu vienādas. Ir zināmi trīs rūtiņās ierakstītie skaitļi (skat. 1.zīm.). Aizpildi pārējās tabulas rūtiņas!
LV.AMO.2014.5.2
Divu naturālu skaitļu pierakstā izmantoti tikai cipari \(2, 3, 7\) un \(8\). Vai var gadīties, ka viens skaitlis ir tieši trīs reizes lielāks nekā otrs skaitlis?
LV.AMO.2014.5.5
Kāds ir (A) mazākais, (B) lielākais skaitlis, kuru var izteikt gan kā trīs, gan kā divu dažādu divciparu naturālu skaitļu reizinājumu?
LV.AMO.2022B.5.1
What is the smallest positive integer that uses only the digits \(0\) and \(2\) in its notation and is divisible by \(15\)?
LV.AMO.2022B.5.1
Kāds ir mazākais naturālais skaitlis, kura pierakstā izmantoti tikai cipari \(0\) un \(2\) un kurš dalās ar \(15\)?
LV.AMO.2022B.5.1
What is the smallest positive integer that uses only the digits \(0\) and \(2\) in its notation and is divisible by \(15\)?
LV.AMO.2022B.5.1
Kāds ir mazākais naturālais skaitlis, kura pierakstā izmantoti tikai cipari \(0\) un \(2\) un kurš dalās ar \(15\)?
LV.AMO.2022B.5.1
What is the smallest positive integer that uses only the digits \(0\) and \(2\) in its notation and is divisible by \(15\)?
LV.AMO.2022B.5.1
Kāds ir mazākais naturālais skaitlis, kura pierakstā izmantoti tikai cipari \(0\) un \(2\) un kurš dalās ar \(15\)?
LV.AMO.2022B.5.3
\(250\) tickets were made for the theatre performance and at least half of them were sold. It is known that exactly a third of the audience were schoolchildren, exactly one fifth of the audience were students and exactly one-seventh were retirees. How many tickets were sold?
LV.AMO.2022B.5.3
Uz teātra izrādi tika izgatavotas \(250\) biļetes un vismaz puse no biļetēm tika pārdotas. Zināms, ka tieši trešdaļa no skatītājiem bija skolēni, tieši piektdaļa – studenti un tieši septītdaļa – pensionāri. Cik biļetes tika pārdotas?
LV.AMO.2022B.5.3
\(250\) tickets were made for the theatre performance and at least half of them were sold. It is known that exactly a third of the audience were schoolchildren, exactly one fifth of the audience were students and exactly one-seventh were retirees. How many tickets were sold?
LV.AMO.2022B.5.3
Uz teātra izrādi tika izgatavotas \(250\) biļetes un vismaz puse no biļetēm tika pārdotas. Zināms, ka tieši trešdaļa no skatītājiem bija skolēni, tieši piektdaļa – studenti un tieši septītdaļa – pensionāri. Cik biļetes tika pārdotas?
LV.AMO.2023.5.2
Doti divi skaitļi. Zināms, ka viens no tiem ir tieši septiņas reizes lielāks nekā otrs un katram no tiem ir vismaz divi cipari. Vai var gadīties, ka abu skaitļu pierakstā izmantoti tikai cipari (A) \(3\); \(4\); \(6\) un \(7\); (B) \(1\); \(2\) un \(3\)?
LV.AMO.2003.6.1
Šodien pulkst. \(12^{00}\) divi pulksteņi ar parastu ciparnīcu rādīja pareizu laiku. Pirmais pulkstenis katru dienu steidzas par \(4\) minūtēm, otrais pulkstenis katru dienu atpaliek par \(6\) minūtēm. Pēc cik dienām pirmo reizi pulkst. \(12^{00}\) abi pulksteņi atkal rādīs pareizu laiku?
LV.AMO.2011.6.1
Vai eksistē tādi naturāli skaitļi \(a\) un \(b\), kuriem izpildās vienādība
\[a \cdot b \cdot(a+b)=20102011?\]
LV.AMO.2022B.6.1
All positive integers from \(1\) to \(2022\) are written on a piece of paper, each appearing once. First, Amanda circled all the numbers divisible by \(3\) in red. She then circled all the numbers divisible by \(5\) in blue. Finally, she circled all the numbers divisible by \(7\) in green. How many numbers are circled with at least two different colors?
LV.AMO.2022B.6.1
Uz papīra lapas uzrakstīti visi naturālie skaitļi no \(1\) līdz \(2022\) (katrs vienu reizi). Vispirms Amanda ar sarkanu zīmuli apvilka visus skaitļus, kas dalās ar \(3\). Tad viņa ar zilu zīmuli apvilka visus skaitļus, kas dalās ar \(5\). Un visbeidzot viņa ar zaļu zīmuli apvilka visus skaitļus, kas dalās ar \(7\). Cik ir tādu skaitļu, kas ir apvilkti ar vismaz divām dažādām krāsām?
LV.AMO.2022B.6.3
On a dark autumn night, Maris decided to add up all the
positive integers from \(1\) to \(n\), where \(n\) is some positive integer.
Could it happen that Maris gets a sum whose last digit is
(A) \(8\), (B) \(9\)?
LV.AMO.2022B.6.3
Tumšā rudens vakarā Māris izdomāja saskaitīt visus naturālos skaitļus no \(1\) līdz \(n\), kur \(n\) ir kāds naturāls skaitlis. Vai var gadīties, ka Māris ieguva summu, kuras pēdējais cipars ir (A) \(8\), (B) \(9\)?
LV.AMO.2004.7.3
Kādam mazākajam naturālajamam \(n\) visas daļas \(\frac{5}{n+7}, \frac{6}{n+8}, \frac{7}{n+9}, \ldots, \frac{35}{n+37}, \frac{36}{n+38}\) ir nesaīsināmas?
LV.AMO.2004.7.3
Kādam mazākajam naturālajamam \(n\) visas daļas \(\frac{5}{n+7}, \frac{6}{n+8}, \frac{7}{n+9}, \ldots, \frac{35}{n+37}, \frac{36}{n+38}\) ir nesaīsināmas?
LV.AMO.2005.7.4
Triju veselu pozitīvu skaitļu summa ir \(407\). Ar kādu lielāko daudzumu nuļļu var beigties šo skaitļu reizinājums?
LV.AMO.2005.7.4
Triju veselu pozitīvu skaitļu summa ir \(407\). Ar kādu lielāko daudzumu nuļļu var beigties šo skaitļu reizinājums?
LV.AMO.2007.7.1
Kādu lielāko daudzumu dažādu ciparu var izrakstīt pa apli tā, lai katri divi blakus uzrakstīti cipari, lasot tos vienalga kādā virzienā, veidotu pirmskaitļa pierakstu?
LV.AMO.2008.7.2
Dots, ka \(x\) un \(y\) - tādi naturāli skaitļi, ka \(x \cdot y=10^{12}\). Vai var būt, ka ne \(x\), ne \(y\) nesatur savā pierakstā nevienu ciparu \(0\)?
LV.AMO.2009.7.3
Tabula sastāv no \(3 \times 3\) rūtiņām. Rūtiņās ierakstīti naturāli skaitļi no \(1\) līdz \(9\) (katrā rūtiņā cits skaitlis). Skaitļu summas rindās un kolonnās visas ir dažādas.
Kāds lielākais daudzums šo summu var būt pirmskaitļi?
LV.AMO.2009.7.3
Tabula sastāv no \(3 \times 3\) rūtiņām. Rūtiņās ierakstīti naturāli skaitļi no \(1\) līdz \(9\) (katrā rūtiņā cits skaitlis). Skaitļu summas rindās un kolonnās visas ir dažādas.
Kāds lielākais daudzums šo summu var būt pirmskaitļi?
LV.AMO.2010.7.1
Uz tāfeles uzrakstīti pieci dažādi pirmskaitļi, kas nepārsniedz \(100\). Par tiem zināms, ka
- pirmais ir \(7\);
- trešais ir par \(4\) lielāks nekā piektais;
- skaitlim, kuru iegūst, ceturto sareizinot ar piekto, visi cipari ir vienādi;
- pirmais un ceturtais summā dod pieckāršotu otro.
Atrodi visus šos skaitļus!
LV.AMO.2010.7.1
Uz tāfeles uzrakstīti pieci dažādi pirmskaitļi, kas nepārsniedz \(100\). Par tiem zināms, ka
- pirmais ir \(7\);
- trešais ir par \(4\) lielāks nekā piektais;
- skaitlim, kuru iegūst, ceturto sareizinot ar piekto, visi cipari ir vienādi;
- pirmais un ceturtais summā dod pieckāršotu otro.
Atrodi visus šos skaitļus!
LV.AMO.2011.7.1
Uz tāfeles augošā secībā uzrakstīti seši dažādi pirmskaitļi, kas nepārsniedz \(100\). Par tiem zināms, ka
- visu skaitļu pēdējie cipari ir atšķirīgi;
- sestais skaitlis ir par \(14\) lielāks nekā trešais;
- ceturtā skaitļa pirmais cipars ir vienāds ar otrā skaitļa pēdējo ciparu;
- piektā un sestā skaitļa pirmie cipari ir vienādi.
Atrodi visus šos skaitļus!
LV.AMO.2011.7.3
Atrodi naturālu skaitli, kuru, dalot ar \(2010\), atlikumā iegūst \(13\), bet, dalot ar \(2011\), atlikumā iegūst \(3\).
LV.AMO.2011.7.3
Atrodi naturālu skaitli, kuru, dalot ar \(2010\), atlikumā iegūst \(13\), bet, dalot ar \(2011\), atlikumā iegūst \(3\).
LV.AMO.2012.7.1
Vai var atrast tādus veselus skaitļus \(a\) un \(b\), kuriem izpildās vienādība \(ab(3a+5b)=1234567\)?
LV.AMO.2013.7.1
Naturālā divciparu skaitlī neviens no cipariem nav \(0\). Pierādīt, ka, dalot šo skaitli ar tā ciparu reizinājumu, dalījums ir vismaz \(\frac{11}{9}\).
LV.AMO.2013.7.1
Naturālā divciparu skaitlī neviens no cipariem nav \(0\). Pierādīt, ka, dalot šo skaitli ar tā ciparu reizinājumu, dalījums ir vismaz \(\frac{11}{9}\).
LV.AMO.2013.7.3
Pierādīt, ka skaitlis \(1234567891011\ldots175176\) (pēc kārtas uzrakstīti visi naturālie skaitļi no \(1\) līdz \(176\)) nav naturāla skaitļa kvadrāts. (Skaitļa kvadrāts ir skaitļa reizinājums pašam ar sevi.)
LV.AMO.2013.7.3
Pierādīt, ka skaitlis \(1234567891011\ldots175176\) (pēc kārtas uzrakstīti visi naturālie skaitļi no \(1\) līdz \(176\)) nav naturāla skaitļa kvadrāts. (Skaitļa kvadrāts ir skaitļa reizinājums pašam ar sevi.)
LV.AMO.2013.7.3
Pierādīt, ka skaitlis \(1234567891011\ldots175176\) (pēc kārtas uzrakstīti visi naturālie skaitļi no \(1\) līdz \(176\)) nav naturāla skaitļa kvadrāts. (Skaitļa kvadrāts ir skaitļa reizinājums pašam ar sevi.)
LV.AMO.2014.7.2
Vai var atrast tādus veselus skaitļus \(a\) un \(b\), kuriem izpildās vienādība
\[a \cdot(3a+5b) \cdot 7b=7654321\]
?LV.AMO.2014.7.4
Tabulas \(3 \times 3\) rūtiņās katrā rūtiņā jāieraksta pa vienam naturālam skaitlim tā, lai katrā rindā, katrā kolonnā un katrā diagonālē ierakstīto skaitļu summas būtu vienādas. Ir zināmi divās rūtiņās ierakstītie skaitļi (skat. 5.zīm.). Kādam skaitlim jābūt rūtiņā, kas apzīmēta ar jautājuma zīmi? Atrodiet visas iespējamās vērtības un pamatojiet, ka citu nav!
LV.AMO.2015.7.3
(A) Atrast tādu naturālu skaitli, kura ciparu summa ir \(13\), pēdējie divi cipari ir \(13\) un kurš dalās ar \(13\).
(B) Vai var atrast tādu naturālu skaitli, kura ciparu summa ir \(11\), pēdējie divi cipari ir \(11\) un kurš dalās ar \(11\)?
LV.AMO.2015.7.3
(A) Atrast tādu naturālu skaitli, kura ciparu summa ir \(13\), pēdējie divi cipari ir \(13\) un kurš dalās ar \(13\).
(B) Vai var atrast tādu naturālu skaitli, kura ciparu summa ir \(11\), pēdējie divi cipari ir \(11\) un kurš dalās ar \(11\)?
LV.AMO.2015.7.3
(A) Atrast tādu naturālu skaitli, kura ciparu summa ir \(13\), pēdējie divi cipari ir \(13\) un kurš dalās ar \(13\).
(B) Vai var atrast tādu naturālu skaitli, kura ciparu summa ir \(11\), pēdējie divi cipari ir \(11\) un kurš dalās ar \(11\)?
LV.AMO.2016.7.2
Karlsons sev pusdienām nopirka \(8\) pīrādziņus un \(15\) magoņmaizītes, bet Brālītis -- vienu pīrādziņu un vienu magoņmaizīti. Karlsons par savām pusdienām samaksāja tieši divus eiro (katra maizīte un pīrādziņš maksā veselu skaitu centu). Cik samaksāja Brālītis?
LV.AMO.2016.7.2
Karlsons sev pusdienām nopirka \(8\) pīrādziņus un \(15\) magoņmaizītes, bet Brālītis -- vienu pīrādziņu un vienu magoņmaizīti. Karlsons par savām pusdienām samaksāja tieši divus eiro (katra maizīte un pīrādziņš maksā veselu skaitu centu). Cik samaksāja Brālītis?
LV.AMO.2016.7.2
Karlsons sev pusdienām nopirka \(8\) pīrādziņus un \(15\) magoņmaizītes, bet Brālītis -- vienu pīrādziņu un vienu magoņmaizīti. Karlsons par savām pusdienām samaksāja tieši divus eiro (katra maizīte un pīrādziņš maksā veselu skaitu centu). Cik samaksāja Brālītis?
LV.AMO.2016.7.4
Divi rūķi -- Svirpulnieks un Pukstiņš -- katru dienu tīra zobus. Katrs lieto savu zobu birsti un katrs sava veida zobu pastas tūbiņas. Katram rūķim viena zobu pastas tūbiņa pietiek veselam skaitam dienu. Ja vienā dienā rūḳim beidzas viena zobu pastas tūbiņa, tad nākamajā dienā viņš iesāk tādu pašu jaunu tūbiņu. Svirpulniekam viena zobu pastas tūbiņa pietiek divas dienas ilgāk nekā Pukstiņam. Ja abi sāk jaunas zobu pastas tūbiņas vienā un tajā pašā dienā, tad dienā, kad Pukstiņš pēdējo dienu izmanto trešo zobu pastas tūbiņu, Svirpulnieks pirmo dienu ir iesācis jaunu tūbiņu. Cik dienas katram rūķim pietiek ar vienu zobu pastas tūbiņu?
LV.AMO.2017.7.4
Uz galda stāv divas kastes \(A\) un \(B\). Sākumā kastē \(A\) ir melnas un baltas bumbiņas, bet kastē \(B\) ir tikai melnas bumbiņas. Bumbiņu skaits abās kastēs ir vienāds. Anna no kastes \(A\) uz labu laimi izņem divas bumbiņas:
- ja tās ir vienādā krāsā, tad tās abas ieliek kastē \(B\), un vienu melnu bumbiņu no kastes \(B\) ieliek kastē \(A\);
- ja tās ir dažādās krāsās, tad balto bumbiņu ieliek atpakaļ kastē \(A\), bet melno - kastē \(B\).
Tā turpina, kamēr kastē \(A\) paliek tieši viena bumbiņa. Kādā krāsā būs pēdējā bumbiņa, kas palikusi kastē \(A\), ja sākumā kastē \(A\) ir (A) \(2017\) baltas un \(2017\) melnas bumbiņas; (B) \(2016\) baltas un \(2018\) melnas bumbiņas?
LV.AMO.2017.7.5
Cik ir tādu naturālu divciparu skaitļu, kuriem ciparu reizinājums ir tieši divas reizes mazāks nekā pats skaitlis?
LV.AMO.2018.7.4
Atrast tādu veselu skaitli \(n\), lai vienādība \((n-2021)(n-2018)(n-2017)(n-2016)=2016\) būtu patiesa!
LV.AMO.2019.7.5
Kādai mazākajai naturālai \(n\) vērtībai skaitli \(10^{n}\) iespējams izteikt kā septiņu naturālu skaitļu reizinājumu tā, lai to visu pēdējie cipari ir dažādi (tas ir, nevienam no tiem pēdējais cipars nesakrīt ar kāda cita skaitļa pēdējo ciparu)?
LV.AMO.2019.7.5
Kādai mazākajai naturālai \(n\) vērtībai skaitli \(10^{n}\) iespējams izteikt kā septiņu naturālu skaitļu reizinājumu tā, lai to visu pēdējie cipari ir dažādi (tas ir, nevienam no tiem pēdējais cipars nesakrīt ar kāda cita skaitļa pēdējo ciparu)?
LV.AMO.2019.7.5
Kādai mazākajai naturālai \(n\) vērtībai skaitli \(10^{n}\) iespējams izteikt kā septiņu naturālu skaitļu reizinājumu tā, lai to visu pēdējie cipari ir dažādi (tas ir, nevienam no tiem pēdējais cipars nesakrīt ar kāda cita skaitļa pēdējo ciparu)?
LV.AMO.2022A.7.2
Karlsonam ir \(30\) milzīgi tortes gabali. Viņš izvēlas trīs gabalus un sagriež katru no tiem vai nu \(3\), vai \(5\) mazākos gabalos (visus izvēlētos gabalus sagriež vienādā skaitā mazāku gabalu). Tad viņš atkal izvēlas kādus \(3\) gabalus un sagriež katru no tiem vai nu \(3\), vai \(5\) mazākos gabalos (visus izvēlētos gabalus sagriež vienādā skaitā gabalu). Vai, atkārtoti izpildot šādas darbības, Karlsons var iegūt tieši \(2000\) tortes gabalus?
LV.AMO.2022A.7.4
Elektroniskais pulkstenis rāda stundu skaitu (vesels skaitlis robežās no \(0\) līdz \(23\)) un minūšu skaitu (vesels skaitlis robežās no \(0\) līdz \(59\)). Noteikt, cik reižu diennaktī stundu skaita un minūšu skaita starpība dalās ar \(7\).
LV.AMO.2022A.7.5
Trijzemē apgrozībā ir trīs veidu monētas: \(2\) centi, \(5\) centi un vēl viena. Zināms, ka gan trijkāji, kas maksā \(13\) centus, gan trīsriteni, kas maksā \(19\) centus, var nopirkt, maksājot tieši ar trīs monētām. Kāda ir Trijzemes trešās monētas vērtība? Atrodi visus iespējamos variantus un pamato, ka citu nav!
LV.AMO.2022B.7.1
The following text was written on the board: \(A869B\). Each of the letters \(A\) and \(B\) must be replaced by one digit (they may or may not be the same) so that the resulting five-digit number is divisible by \(15\). In how many ways can you do this?
LV.AMO.2022B.7.1
Uz tāfeles bija uzrakstīts šāds teksts: \(A869B\). Katrs no burtiem \(A\) un \(B\) jāaizstāj ar vienu ciparu (tie var būt arī vienādi) tā, lai iegūtais piecciparu skaitlis dalītos ar \(15\). Cik dažādos veidos to var izdarīt?
LV.AMO.2022B.7.1
The following text was written on the board: \(A869B\). Each of the letters \(A\) and \(B\) must be replaced by one digit (they may or may not be the same) so that the resulting five-digit number is divisible by \(15\). In how many ways can you do this?
LV.AMO.2022B.7.1
Uz tāfeles bija uzrakstīts šāds teksts: \(A869B\). Katrs no burtiem \(A\) un \(B\) jāaizstāj ar vienu ciparu (tie var būt arī vienādi) tā, lai iegūtais piecciparu skaitlis dalītos ar \(15\). Cik dažādos veidos to var izdarīt?
LV.AMO.2023.7.2
Kāds ir lielākais iespējamais septiņciparu skaitlis, kuram vienlaicīgi izpildās šādi nosacījumi:
- tas dalās ar \(12\);
- skaitļa pirmais cipars ir tāds pats kā pēdējais cipars;
- skaitļa 2., 4. un 6. cipars ir vienādi un tie ir divas reizes lielāki nekā pirmais cipars;
- skaitļa trešais cipars ir tāds pats kā piektais cipars?
LV.AMO.2023.7.2
Kāds ir lielākais iespējamais septiņciparu skaitlis, kuram vienlaicīgi izpildās šādi nosacījumi:
- tas dalās ar \(12\);
- skaitļa pirmais cipars ir tāds pats kā pēdējais cipars;
- skaitļa 2., 4. un 6. cipars ir vienādi un tie ir divas reizes lielāki nekā pirmais cipars;
- skaitļa trešais cipars ir tāds pats kā piektais cipars?
LV.AMO.2023.7.5
Uz palodzes sēž vairākas bizbizmārītes, katrai no tām uz muguras ir vai nu divi punktiņi, vai septiņi punktiņi. Tās bizbizmārītes, kurām uz muguras ir septiņi punktiņi, vienmēr saka patiesību, bet tās bizbizmārītes, kurām uz muguras ir divi punktiņi, vienmēr melo. Katra bizbizmārīte izteicās:
- pirmā bizbizmārīte teica: "punktiņu skaits uz muguras mums visām ir vienāds";
- otrā teica: "mums visām kopā uz muguras ir \(42\) punktiņi";
- trešā teica: "nē, mums visām kopā uz muguras ir \(32\) punktiņi";
- katra no atlikušajām bizbizmārītēm teica: "no pirmajām trijām bizbizmārītēm tieši viena teica patiesību".
Cik bizbizmārīšu sēž uz palodzes?
LV.AMO.2024.7.3
Skaitḷu virknes pirmais loceklis ir \(12\). Katru nākamo iegūst iepriekšējo vai nu reizinot ar \(2\) vai \(3\), vai arī izdalot ar \(2\) vai \(3\) (ja tas dalās bez atlikuma). Vai šīs skaitļu virknes 61.loceklis var būt skaitlis \(54\)?
LV.AMO.2024.7.5
Anita, Maija, Ināra un Sandra uzstājās koncertā. Katru dziesmu dziedāja 3 meitenes. Cik dziesmu meitenes nodziedāja pavisam, ja Anita dziedāja 7 dziesmas (vairāk nekā jebkura cita meitene), bet Sandra dziedāja 4 dziesmas (mazāk nekā jebkura cita meitene)?
LV.NOL.2004.7.1
Kādu mazāko daudzumu no skaitļiem \(1;\ 2;\ 3;\ \ldots;\ 14;\ 15\) var izsvītrot, lai katru divu atlikušo summa būtu salikts skaitlis?
LV.NOL.2005.7.4
Naturālu skaitli \(n\) sauc par īpašu, ja tas ir vienāds ar četru savu dažādu dalītāju summu.
(A) atrodiet kaut vienu īpašu skaitli,
(B) pierādiet, ka īpašu skaitļu ir bezgalīgi daudz,
(C) pierādiet, ka visi īpaši skaitļi ir pāra.
LV.NOL.2005.7.4
Naturālu skaitli \(n\) sauc par īpašu, ja tas ir vienāds ar četru savu dažādu dalītāju summu.
(A) atrodiet kaut vienu īpašu skaitli,
(B) pierādiet, ka īpašu skaitļu ir bezgalīgi daudz,
(C) pierādiet, ka visi īpaši skaitļi ir pāra.
LV.NOL.2006.7.4
Kuri naturālie skaitļi ir vienādi ar trīs savu dažādu pozitīvu dalītāju summu?
LV.NOL.2006.7.4
Kuri naturālie skaitļi ir vienādi ar trīs savu dažādu pozitīvu dalītāju summu?
LV.NOL.2007.7.1
Kurus naturālos skaitļus \(n\) var izsacīt formā \(n=\frac{x}{y}\), kur \(x=a^{5},\ y=b^{3}\), \(a\) un \(b\) - naturāli skaitļi?
LV.NOL.2007.7.1
Kurus naturālos skaitļus \(n\) var izsacīt formā \(n=\frac{x}{y}\), kur \(x=a^{5},\ y=b^{3}\), \(a\) un \(b\) - naturāli skaitļi?
LV.NOL.2007.7.4
Kuri naturālie skaitļi ir vienādi ar trīs savu dažādu pozitīvu dalītāju summu?
LV.NOL.2007.7.4
Kuri naturālie skaitļi ir vienādi ar trīs savu dažādu pozitīvu dalītāju summu?
LV.NOL.2008.7.1
Kurus naturālos skaitļus \(n\) var izsacīt formā \(n=\frac{x}{y}\), kur \(x=a^{3},\ y=b^{4},\ a\) un \(b\) - naturāli skaitļi?
LV.NOL.2008.7.1
Kurus naturālos skaitļus \(n\) var izsacīt formā \(n=\frac{x}{y}\), kur \(x=a^{3},\ y=b^{4},\ a\) un \(b\) - naturāli skaitļi?
LV.NOL.2008.7.3
Sporta klubā sapulcējušies cīkstoņi un vingrotājas. Cīkstoņu vidējais svars ir \(84~\mathrm{kg}\); vingrotāju vidējais svars ir \(54~\mathrm{kg}\); visu sportistu vidējais svars ir \(71~\mathrm{kg}\). Pierādīt, ka cīkstoņu skaits dalās ar \(17\).
LV.NOL.2008.7.3
Sporta klubā sapulcējušies cīkstoņi un vingrotājas. Cīkstoņu vidējais svars ir \(84~\mathrm{kg}\); vingrotāju vidējais svars ir \(54~\mathrm{kg}\); visu sportistu vidējais svars ir \(71~\mathrm{kg}\). Pierādīt, ka cīkstoņu skaits dalās ar \(17\).
LV.NOL.2009.7.1
Kurus naturālos skaitļus \(n\) var izsacīt formā \(n=\frac{x}{y}\), kur \(x=a^{3}, y=b^{5}\), \(a\) un \(b\) naturāli skaitļi?
LV.NOL.2009.7.1
Kurus naturālos skaitļus \(n\) var izsacīt formā \(n=\frac{x}{y}\), kur \(x=a^{3}, y=b^{5}\), \(a\) un \(b\) naturāli skaitļi?
LV.NOL.2009.7.3
Naturālam skaitlim \(a\) ir tieši \(4\) dalītāji, bet naturālam skaitlim \(b\) -
tieši \(6\) dalītāji.
(A) Pierādiet, ka reizinājumam \(ab\) ir vismaz \(9\) dalītāji.
(B) Vai var gadīties, ka šim reizinājumam ir tieši \(9\) dalītāji?
(Piezīme: apskatām tikai tādus dalītājus, kas paši ir naturāli skaitļi. Pie skaitļa dalītājiem pieskaita gan viņu pašu, gan vieninieku.)
LV.NOL.2010.7.3
Cik ir tādu naturālu skaitļu \(x\) robežās no \(1\) līdz \(2010\) ieskaitot, ka \((x+1)(x+2)(x+3)\) dalās ar \(343\)?
LV.NOL.2010.7.3
Cik ir tādu naturālu skaitļu \(x\) robežās no \(1\) līdz \(2010\) ieskaitot, ka \((x+1)(x+2)(x+3)\) dalās ar \(343\)?
LV.NOL.2011.7.1
Atrodiet skaitļa \(1^{2}+2^{2}+\cdots+99^{2}\) pēdējo ciparu.
LV.NOL.2011.7.2
Cik ir tādu naturālu skaitļu \(n\) no \(1\) līdz \(2011\) ieskaitot, ka skaitlis \((n+1)(n+2)(n+3)\) dalās ar \(125\)?
LV.NOL.2011.7.2
Cik ir tādu naturālu skaitļu \(n\) no \(1\) līdz \(2011\) ieskaitot, ka skaitlis \((n+1)(n+2)(n+3)\) dalās ar \(125\)?
LV.NOL.2012.7.4
Pierādīt, ka \(1004041\) nav pirmskaitlis.
LV.NOL.2013.7.1
Naturālie skaitļi no \(1\) līdz \(18\) sadalīti pa pāriem tā, ka katrā pārī esošo skaitļu summa ir naturāla skaitļa kvadrāts. Ar ko pārī apvienots skaitlis \(1\)?
Piezīme. Par skaitļa kvadrātu sauc skaitļa reizinājumu pašam ar sevi.
LV.NOL.2013.7.2
Cik starp pirmajiem \(2013\) naturālajiem skaitļiem ir tādu skaitļu \(x\), ka skaitlis \(x(x+1)(x+2)\) dalās ar \(111\)?
LV.NOL.2013.7.2
Cik starp pirmajiem \(2013\) naturālajiem skaitļiem ir tādu skaitļu \(x\), ka skaitlis \(x(x+1)(x+2)\) dalās ar \(111\)?
LV.NOL.2014.7.3
Cik starp pirmajiem \(2014\) naturālajiem skaitļiem ir tādu skaitļu \(x\), ka skaitlis \(x(x+1)(x+2)\) dalās ar \(87\)?
LV.NOL.2014.7.3
Cik starp pirmajiem \(2014\) naturālajiem skaitļiem ir tādu skaitļu \(x\), ka skaitlis \(x(x+1)(x+2)\) dalās ar \(87\)?
LV.NOL.2015.7.3
Tabulā, kuras izmēri ir \(3 \times 3\) rūtiņas, katrā rūtiņā ierakstīts viens naturāls skaitlis, kas nepārsniedz \(10\), visi ierakstītie skaitļi ir dažādi. Katrām divām rūtiņām ar kopīgu malu aprēķina tajos ierakstīto skaitļu summu. Vai iespējams, ka visas iegūtās summas ir pirmskaitļi?
LV.NOL.2015.7.3
Tabulā, kuras izmēri ir \(3 \times 3\) rūtiņas, katrā rūtiņā ierakstīts viens naturāls skaitlis, kas nepārsniedz \(10\), visi ierakstītie skaitļi ir dažādi. Katrām divām rūtiņām ar kopīgu malu aprēķina tajos ierakstīto skaitļu summu. Vai iespējams, ka visas iegūtās summas ir pirmskaitļi?
LV.NOL.2016.7.2
Dots naturāls skaitlis, kas dalās ar \(99\) un kura pēdējais cipars nav \(0\). Pierādi, ka, uzrakstot šī skaitļa ciparus pretējā secībā, arī iegūst skaitli, kas dalās ar \(99\).
LV.NOL.2016.7.2
Dots naturāls skaitlis, kas dalās ar \(99\) un kura pēdējais cipars nav \(0\). Pierādi, ka, uzrakstot šī skaitļa ciparus pretējā secībā, arī iegūst skaitli, kas dalās ar \(99\).
LV.NOL.2016.7.2
Dots naturāls skaitlis, kas dalās ar \(99\) un kura pēdējais cipars nav \(0\). Pierādi, ka, uzrakstot šī skaitļa ciparus pretējā secībā, arī iegūst skaitli, kas dalās ar \(99\).
LV.AMO.2003.8.2
Andrim vajadzēja sareizināt divus dažādus pozitīvus trīsciparu skaitļus. Izklaidības pēc viņš tos vienkārši uzrakstīja vienu otram galā. Iegūtais sešciparu skaitlis izrādījās \(3\) reizes lielāks par reizinājumu, kuru Andrim vajadzēja iegūt. Kādu sešciparu skaitli Andris uzrakstīja?
LV.AMO.2003.8.3
Kādā lielākajā daudzumā dažādu naturālu saskaitāmo, kas visi lielāki par \(1\), var sadalīt skaitli \(56\) tā, lai katru divu saskaitāmo lielākais kopīgais dalītājs būtu \(1\)?
LV.AMO.2004.8.3
Dots, ka \(A\) un \(B\) - naturāli divciparu skaitļi. Skaitli \(X\) iegūst, pierakstot skaitlim \(A\) galā skaitli \(B\); skaitli \(Y\) iegūst, pierakstot skaitlim \(B\) galā skaitli \(A\). Dots, ka \(X-Y\) dalās ar \(91\). Pierādīt, ka \(A=B\).
LV.AMO.2004.8.3
Dots, ka \(A\) un \(B\) - naturāli divciparu skaitļi. Skaitli \(X\) iegūst, pierakstot skaitlim \(A\) galā skaitli \(B\); skaitli \(Y\) iegūst, pierakstot skaitlim \(B\) galā skaitli \(A\). Dots, ka \(X-Y\) dalās ar \(91\). Pierādīt, ka \(A=B\).
LV.AMO.2004.8.5
Virknē augošā kārtībā izrakstīti naturālie skaitļi no \(1\) līdz \(2004\) ieskaitot, katrs vienu reizi. Izsvītrojam no tās skaitļus, kas atrodas \(1.,\ 4.,\ 7.,\ 10.,\ \ldots\) vietās. No palikušās virknes atkal izsvītrojam skaitļus, kas tajā atrodas \(1.,\ 4.,\ 7.,\ \ldots\) vietās. Ar iegūto virkni rīkojamies tāpat, utt., kamēr paliek neizsvītrots viens skaitlis. Kurš tas ir?
LV.AMO.2006.8.3
Naturāla skaitļa \(x\) ciparu summu apzīmēsim ar \(S(x)\). Pieņemsim, ka \(n\) - tāds naturāls skaitlis, kam vienlaicīgi izpildās īpašības \(S(n)=10\) un \(S(5n)=5\).
(A) atrodiet kaut vienu tādu skaitli,
(B) vai tādu skaitļu ir bezgalīgi daudz?
(C) vai kāds no tādiem skaitļiem ir nepāra?
LV.AMO.2006.8.3
Naturāla skaitļa \(x\) ciparu summu apzīmēsim ar \(S(x)\). Pieņemsim, ka \(n\) - tāds naturāls skaitlis, kam vienlaicīgi izpildās īpašības \(S(n)=10\) un \(S(5n)=5\).
(A) atrodiet kaut vienu tādu skaitli,
(B) vai tādu skaitļu ir bezgalīgi daudz?
(C) vai kāds no tādiem skaitļiem ir nepāra?
LV.AMO.2007.8.3
Juliata iedomājās naturālu skaitli, sareizināja visus tā ciparus un iegūto rezultātu pareizināja ar iedomāto skaitli. Gala rezultātā Juliata ieguva \(1716\). Kādu skaitli viņa iedomājās sākumā?
LV.AMO.2007.8.3
Juliata iedomājās naturālu skaitli, sareizināja visus tā ciparus un iegūto rezultātu pareizināja ar iedomāto skaitli. Gala rezultātā Juliata ieguva \(1716\). Kādu skaitli viņa iedomājās sākumā?
LV.AMO.2008.8.3
Dots, ka \(n>1\) - naturāls skaitlis, kas nav pirmskaitlis. Pierādīt, ka var atrast vismaz trīs dažādus naturālus skaitļus \(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{k}\), kas apmierina sakarību \(a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{k}=n \cdot\left(\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\ldots+\frac{1}{a_{k}}\right)\).
LV.AMO.2008.8.3
Dots, ka \(n>1\) - naturāls skaitlis, kas nav pirmskaitlis. Pierādīt, ka var atrast vismaz trīs dažādus naturālus skaitļus \(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{k}\), kas apmierina sakarību \(a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{k}=n \cdot\left(\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\ldots+\frac{1}{a_{k}}\right)\).
LV.AMO.2009.8.4
Profesors Cipariņš ar savu ārzemju kolēģi ieradās Ziemassvētku eglītes pasākumā, kurā piedalījās universitātes darbinieki, viņu draugi, ģimenes locekļi, paziņas utt. Norādot uz trim viesiem, Cipariņš piezīmēja: "Šo cilvēku vecumu reizinājums ir \(2450\), bet summa - divas reizes lielāka nekā Jūsu vecums." Kolēģis atteica: "Es nezinu un nevaru noskaidrot, cik veci ir šie ļaudis." Tad Cipariņš piebilda: "Es esmu vecāks par jebkuru citu šai eglītē." Tagad kolēģis uzreiz pateica minēto \(3\) viesu vecumus. Cik gadu tai laikā bija Cipariņam un cik - viņa kolēgim? (Visus vecumus izsaka veselos gados.)
LV.AMO.2010.8.2
Andris un Juris katrs izvēlas trīs secīgus naturālus skaitļus tā, ka visi seši skaitļi ir atšķirīgi. Katru Andra skaitli sareizināja ar katru Jura skaitli, ieguva deviņus reizinājumus. Pierādi, ka starp iegūtajiem deviņiem skaitļiem vismaz astoņi būs savā starpā atšķirīgi!
LV.AMO.2011.8.4
Leonards izvēlējās patvaļīgu trīsciparu skaitli, pareizināja to ar \(2\) un tam galā pierakstīja sākotnējo skaitli. Vai viņa jauniegūtais skaitlis noteikti dalās ar (A) \(17\); (B) \(23\)?
LV.AMO.2011.8.4
Leonards izvēlējās patvaļīgu trīsciparu skaitli, pareizināja to ar \(2\) un tam galā pierakstīja sākotnējo skaitli. Vai viņa jauniegūtais skaitlis noteikti dalās ar (A) \(17\); (B) \(23\)?
LV.AMO.2012.8.3
Skolas matemātikas olimpiādē piedalījās ne vairāk kā \(60\) skolēnu. Vidējais punktu skaits, ko ieguva zēni, bija \(21,6\). Vidējais punktu skaits, ko ieguva meitenes, bija \(15\). Vidējais punktu skaits, ko ieguva visi skolēni, bija \(20\). Cik skolēnu piedalījās olimpiādē?
LV.AMO.2012.8.4
Pa apli uzrakstīti \(11\) veseli skaitļi. Jebkuru trīs pēc kārtas ņemtu skaitļu summa dalās ar \(5\). Pierādi, ka visi uzrakstītie skaitļi dalās ar \(5\).
LV.AMO.2013.8.1
Atrast visus naturālos skaitļus, kas nepārsniedz \(1000000\) un kuri, nosvītrojot to pirmo ciparu, samazinās \(36\) reizes.
LV.AMO.2013.8.1
Atrast visus naturālos skaitļus, kas nepārsniedz \(1000000\) un kuri, nosvītrojot to pirmo ciparu, samazinās \(36\) reizes.
LV.AMO.2014.8.1
Skaitli \(\frac{1}{13}\) pārveidoja par bezgalīgu decimāldaļu un tajā izsvītroja \(2014.\) ciparu aiz komata.
Kurš skaitlis lielāks -- sākotnējais vai iegūtais?
LV.AMO.2014.8.1
Skaitli \(\frac{1}{13}\) pārveidoja par bezgalīgu decimāldaļu un tajā izsvītroja \(2014.\) ciparu aiz komata.
Kurš skaitlis lielāks -- sākotnējais vai iegūtais?
LV.AMO.2014.8.2
Atrast visus naturālos skaitļus, kas nepārsniedz \(1000000\) un kuri, nosvītrojot to pirmo ciparu, samazinās \(15\) reizes!
LV.AMO.2014.8.2
Atrast visus naturālos skaitļus, kas nepārsniedz \(1000000\) un kuri, nosvītrojot to pirmo ciparu, samazinās \(15\) reizes!
LV.AMO.2014.8.5
Tabulas \(3 \times 3\) rūtiņās katrā rūtiņā jāieraksta pa vienam naturālam skaitlim tā, lai katrā rindā, katrā kolonnā un katrā diagonālē ierakstīto skaitļu summas būtu vienādas. Augšējās rindas vidējā rūtiņā ierakstīts skaitlis \(24\) (skat. 9.zīm.). Vai rūtiņā, kas apzīmēta ar jautājuma zīmi, var būt ierakstīts skaitlis (A) \(7\), (B) \(17\)?
LV.AMO.2015.8.3
Atrast vienu naturālu skaitli, kas lielāks nekā \(2015\) un ko nevar izteikt kā naturāla skaitļa kvadrāta un pirmskaitļa summu.
LV.AMO.2016.8.2
Vai var atrast tādus veselus skaitļus \(a\) un \(b\), ka \(ab(a+43b)=434343\)?
LV.AMO.2016.8.2
Vai var atrast tādus veselus skaitļus \(a\) un \(b\), ka \(ab(a+43b)=434343\)?
LV.AMO.2016.8.3
Zināms, ka skaitlis dalās ar \(2016\) un ka visi tā cipari ir dažādi. Kāds ir lielākais ciparu skaits, kas var būt šajā skaitlī?
LV.AMO.2016.8.3
Zināms, ka skaitlis dalās ar \(2016\) un ka visi tā cipari ir dažādi. Kāds ir lielākais ciparu skaits, kas var būt šajā skaitlī?
LV.AMO.2016.8.3
Zināms, ka skaitlis dalās ar \(2016\) un ka visi tā cipari ir dažādi. Kāds ir lielākais ciparu skaits, kas var būt šajā skaitlī?
LV.AMO.2017.8.5
Vai var atrast tādu desmitciparu skaitli, kas ir vienāds ar visu savu ciparu reizinājumu?
LV.AMO.2017.8.5
Vai var atrast tādu desmitciparu skaitli, kas ir vienāds ar visu savu ciparu reizinājumu?
LV.AMO.2019.8.5
Kādai mazākajai naturālai \(n\) vērtībai skaitli \(10^{n}\) iespējams izteikt kā sešu naturālu skaitļu reizinājumu tā, ka neviens no tiem nav mazāks kā \(10\) un to visu pēdējie cipari ir dažādi (tas ir, nevienam no tiem pēdējais cipars nesakrīt ar kāda cita skaitļa pēdējo ciparu)?
LV.AMO.2019.8.5
Kādai mazākajai naturālai \(n\) vērtībai skaitli \(10^{n}\) iespējams izteikt kā sešu naturālu skaitļu reizinājumu tā, ka neviens no tiem nav mazāks kā \(10\) un to visu pēdējie cipari ir dažādi (tas ir, nevienam no tiem pēdējais cipars nesakrīt ar kāda cita skaitļa pēdējo ciparu)?
LV.AMO.2019.8.5
Kādai mazākajai naturālai \(n\) vērtībai skaitli \(10^{n}\) iespējams izteikt kā sešu naturālu skaitļu reizinājumu tā, ka neviens no tiem nav mazāks kā \(10\) un to visu pēdējie cipari ir dažādi (tas ir, nevienam no tiem pēdējais cipars nesakrīt ar kāda cita skaitļa pēdējo ciparu)?
LV.AMO.2022A.8.2
Kādā dienā Karlsons uzlika uz galda \(44\) kūciņas. Lai būtu jautrāk, Karlsons izdomāja, ka vienā piegājienā viņš apēdīs vai nu \(5\) kūciņas, vai arī \(10\) kūciņas. Ja Karlsons apēda \(5\) kūciņas, tad Brālītis uzreiz uz galda uzlika \(9\) kūciņas. Ja Karlsons apēda \(10\) kūciņas, tad Brālītis uzreiz uz galda uzlika \(2\) kūciņas. Vai iespējams, ka kādā brīdī uz galda bija tieši \(2022\) kūciņas?
LV.AMO.2022A.8.4
Māris iedomājās naturālu skaitli \(n\). Pēc tam viņš izvēlējās vienu skaitļa \(n\) dalītāju, pareizināja to ar \(4\) un iegūto reizinājumu atņēma no dotā skaitļa \(n\), iegūstot vērtību \(11\). Kāda varēja būt \(n\) vērtība? Atrodi visus variantus un pamato, ka citu nav!
LV.AMO.2022B.8.1
The following text was written on the board: \(N597M\). Each of the letters \(N\) and \(M\) should be replaced by a digit (they may or may not be the same) so that the resulting five digit number is divisible by \(12\). In how many ways can you do this?
LV.AMO.2022B.8.1
Uz tāfeles bija uzrakstīts šāds teksts: \(N597M\). Katrs no burtiem \(N\) un \(M\) jāaizstāj ar vienu ciparu (tie var būt arī vienādi) tā, lai iegūtais piecciparu skaitlis dalītos ar \(12\). Cik dažādos veidos to var izdarīt?
LV.AMO.2022B.8.1
The following text was written on the board: \(N597M\). Each of the letters \(N\) and \(M\) should be replaced by a digit (they may or may not be the same) so that the resulting five digit number is divisible by \(12\). In how many ways can you do this?
LV.AMO.2022B.8.1
Uz tāfeles bija uzrakstīts šāds teksts: \(N597M\). Katrs no burtiem \(N\) un \(M\) jāaizstāj ar vienu ciparu (tie var būt arī vienādi) tā, lai iegūtais piecciparu skaitlis dalītos ar \(12\). Cik dažādos veidos to var izdarīt?
LV.AMO.2022B.8.2
The student had to complete a homework with \(20\) tasks. For each task \(8\) points are added, if the solution is correct, \(5\) points are subtracted, if the solution is wrong, and \(0\) points is given, if the task is not attempted. How many tasks did a student solve correctly, if his total score is \(13\)?
LV.AMO.2022B.8.2
Skolēnam tika uzdots mājas darbs, kurā bija \(20\) uzdevumi. Par katru pareizi atrisinātu uzdevumu tiek doti \(8\) punkti, par katru nepareizi atrisinātu uzdevumu tiek atņemti \(5\) punkti, ja uzdevums nav risināts, tad par to ir \(0\) punkti. Cik uzdevumus skolēns atrisināja pareizi, ja kopā viņš ieguva \(13\) punktus?
LV.AMO.2023.8.2
Trīsciparu skaitļa \(x\) ciparu summa ir \(12\). Ja šim skaitlim nodzēš pēdējo ciparu, tad atlikušais divciparu skaitlis dalās ar \(9\). Zināms, ka skaitlis \(x\) ir par \(99\) lielāks nekā trīsciparu skaitlis, ko iegūst, uzrakstot tā ciparus pretējā secībā. Kāds var būt skaitlis \(x\)?
LV.AMO.2023.8.2
Trīsciparu skaitļa \(x\) ciparu summa ir \(12\). Ja šim skaitlim nodzēš pēdējo ciparu, tad atlikušais divciparu skaitlis dalās ar \(9\). Zināms, ka skaitlis \(x\) ir par \(99\) lielāks nekā trīsciparu skaitlis, ko iegūst, uzrakstot tā ciparus pretējā secībā. Kāds var būt skaitlis \(x\)?
LV.AMO.2023.8.5
Uz palodzes sēž vairākas bizbizmārītes, katrai no tām uz muguras ir vai nu trīs punktiņi, vai astoņi punktiņi. Tās bizbizmārītes, kurām uz muguras ir astoņi punktiņi, vienmēr saka patiesību, bet tās bizbizmārītes, kurām uz muguras ir trīs punktiņi, vienmēr melo. Katra bizbizmārīte izteicās:
- pirmā bizbizmārīte teica: "punktiņu skaits uz muguras mums visām ir vienāds";
- otrā teica: "mums visām kopā uz muguras ir \(38\) punktiņi";
- trešā teica: "nē, mums visām kopā uz muguras ir \(48\) punktiņi";
- katra no atlikušajām bizbizmārītēm teica: "no pirmajām trijām bizbizmārītēm tieši viena teica patiesību".
Cik bizbizmārītes sēž uz palodzes?
LV.NOL.2004.8.1
Kādu mazāko daudzumu no skaitļiem \(1;\ 2;\ 3;\ \ldots;\ 14;\ 15\) var izsvītrot, lai atlikušos varētu sadalīt divās grupās ar īpašību: vienas grupas visu skaitļu reizinājums vienāds ar otras grupas visu skaitļu reizinājumu?
LV.NOL.2004.8.1
Kādu mazāko daudzumu no skaitļiem \(1;\ 2;\ 3;\ \ldots;\ 14;\ 15\) var izsvītrot, lai atlikušos varētu sadalīt divās grupās ar īpašību: vienas grupas visu skaitļu reizinājums vienāds ar otras grupas visu skaitļu reizinājumu?
LV.NOL.2004.8.2
Ir zināms, ka skaitļa \(2^{200}\) decimālajā pierakstā ir \(61\) cipars. Cik daudziem no skaitļiem \(2^{1};\ 2^{2};\ 2^{3};\ \ldots;\ 2^{199};\ 2^{200}\) decimālais pieraksts sākas ar ciparu \(1\)?
LV.NOL.2005.8.1
Ir zināms, ka skaitļa \(2^{100}\) decimālajā pierakstā ir \(31\) cipars. Cik daudziem no skaitļiem \(2^{1};\ 2^{2};\ 2^{3};\ \ldots;\ 2^{99};\ 2^{100}\) decimālais pieraksts sākas ar ciparu \(1\)?
LV.NOL.2005.8.3
Andris iedomājās patvaļīgu naturālu skaitli \(n\). Juris ar vienu gājienu var pateikt Andrim piecus dažādus naturālus skaitļus \(x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ x_{4},\ x_{5}\), un Andris pateiks Jurim vienu no skaitļiem \(nx_{1},\ nx_{2},\ nx_{3},\ nx_{4},\ nx_{5}\) (bet nepaskaidros, kura reizinājuma vērtību viņš saka).
Ar kādu mazāko jautājumu skaitu Juris var noteikti noskaidrot \(n\)?
LV.NOL.2005.8.3
Andris iedomājās patvaļīgu naturālu skaitli \(n\). Juris ar vienu gājienu var pateikt Andrim piecus dažādus naturālus skaitļus \(x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ x_{4},\ x_{5}\), un Andris pateiks Jurim vienu no skaitļiem \(nx_{1},\ nx_{2},\ nx_{3},\ nx_{4},\ nx_{5}\) (bet nepaskaidros, kura reizinājuma vērtību viņš saka).
Ar kādu mazāko jautājumu skaitu Juris var noteikti noskaidrot \(n\)?
LV.NOL.2005.8.3
Andris iedomājās patvaļīgu naturālu skaitli \(n\). Juris ar vienu gājienu var pateikt Andrim piecus dažādus naturālus skaitļus \(x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ x_{4},\ x_{5}\), un Andris pateiks Jurim vienu no skaitļiem \(nx_{1},\ nx_{2},\ nx_{3},\ nx_{4},\ nx_{5}\) (bet nepaskaidros, kura reizinājuma vērtību viņš saka).
Ar kādu mazāko jautājumu skaitu Juris var noteikti noskaidrot \(n\)?
LV.NOL.2006.8.3
Vai var izrakstīt rindā visus naturālos skaitļus no \(1\) līdz \(2006\) ieskaitot katru vienu reizi tā, lai katru \(3\) pēc kārtas uzrakstīto skaitļu summa dalītos ar \(4\)?
LV.NOL.2006.8.3
Vai var izrakstīt rindā visus naturālos skaitļus no \(1\) līdz \(2006\) ieskaitot katru vienu reizi tā, lai katru \(3\) pēc kārtas uzrakstīto skaitļu summa dalītos ar \(4\)?
LV.NOL.2007.8.4
Atrast mazāko naturālo skaitli, kas dalās ar katru no kaut kādiem \(12\) pēc kārtas ņemtiem naturāliem skaitļiem.
LV.NOL.2007.8.4
Atrast mazāko naturālo skaitli, kas dalās ar katru no kaut kādiem \(12\) pēc kārtas ņemtiem naturāliem skaitļiem.
LV.NOL.2009.8.1
Tabulā (skat. 4.zīm.) Katrīnai jāizvēlas \(4\) rūtiņas tā, ka katrā rindā un katrā kolonnā tika izvēlēta tieši viena rūtiņa. Pierādiet: neatkarīgi no tā, kuras \(4\) rūtiņas saskaņā ar šiem noteikumiem Katrīna izvēlēsies, tajās ierakstīto skaitļu summa būs \(64\).
LV.NOL.2009.8.3
Atrodiet skaitļa \(113^{113}-19^{19}\) pēdējo ciparu.
LV.NOL.2009.8.3
Atrodiet skaitļa \(113^{113}-19^{19}\) pēdējo ciparu.
LV.NOL.2010.8.1
Kuru no skaitļiem \(102^{2} \cdot 103^{2} \cdot \ldots \cdot 199^{2}\) un \(\left(102^{2}-1\right)\left(103^{2}-1\right) \ldots\left(199^{2}-1\right)\) sadalot pirmskaitļu reizinājumā, iegūst vairāk dažādu pirmskaitļu? Par cik vairāk?
(Paskaidrojums: \(24=2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3\) satur divus dažādus pirmskaitļus- \(2\) un \(3\).)
LV.NOL.2010.8.3
Četrciparu skaitlim pārlika ciparus citā kārtībā. Pierādīt: sākotnējā un iegūtā skaitļa starpība dalās ar \(9\).
LV.NOL.2010.8.3
Četrciparu skaitlim pārlika ciparus citā kārtībā. Pierādīt: sākotnējā un iegūtā skaitļa starpība dalās ar \(9\).
LV.NOL.2010.8.3
Četrciparu skaitlim pārlika ciparus citā kārtībā. Pierādīt: sākotnējā un iegūtā skaitļa starpība dalās ar \(9\).
LV.NOL.2011.8.1
Piecciparu skaitlis \(B\) ir iegūts no mazāka piecciparu skaitļa \(A\), samainot vietām tā ciparus. Pierādīt, ka \(B-A\) dalās ar \(9\).
LV.NOL.2011.8.1
Piecciparu skaitlis \(B\) ir iegūts no mazāka piecciparu skaitļa \(A\), samainot vietām tā ciparus. Pierādīt, ka \(B-A\) dalās ar \(9\).
LV.NOL.2011.8.1
Piecciparu skaitlis \(B\) ir iegūts no mazāka piecciparu skaitļa \(A\), samainot vietām tā ciparus. Pierādīt, ka \(B-A\) dalās ar \(9\).
LV.NOL.2012.8.3
Vai naturāla skaitļa ciparu reizinājums var būt skaitlis \(\overline{aabbcc}\)? (Pieraksts \(\overline{kmn}\) nozīmē, ka skaitlī ir \(k\) simti, \(m\) desmiti un \(n\) vieni.)
LV.NOL.2012.8.3
Vai naturāla skaitļa ciparu reizinājums var būt skaitlis \(\overline{aabbcc}\)? (Pieraksts \(\overline{kmn}\) nozīmē, ka skaitlī ir \(k\) simti, \(m\) desmiti un \(n\) vieni.)
LV.NOL.2015.8.1
Pierādi, \(ka\) (A) \(49^{5}+7^{9}\) dalās ar \(2\); (B) \(49^{5}-7^{9}\) dalās ar \(6\).
LV.NOL.2016.8.2
Karlīna uzrakstīja divus skaitļus, kuru pierakstā nav izmantots cipars \(0\). Katru ciparu viņa aizstāja ar burtu: dažādus ciparus - ar dažādiem burtiem, vienādus - ar vienādiem. Viens no uzrakstītajiem skaitļiem \(DUBĻUNNN\) dalās ar \(104\). Pierādi, ka otrais skaitlis \(BURBUĻUVANNA\) nedalās ar \(56\).
LV.AMO.2003.9.3
Noskaidrot, kādiem dažādiem pirmskaitļiem \(p_{1},\ p_{2},\ \ldots,\ p_{n}\) pastāv īpašība: \(p_{1}p_{2}p_{3} \ldots p_{n}\) dalās ar \(\left(p_{1}-1\right)\left(p_{2}-1\right) \ldots \left(p_{n}-1\right)\).
LV.AMO.2012.9.1
Atrodi vienu skaitli, kuram ir tieši \(12\) veseli pozitīvi dalītāji.
LV.AMO.2012.9.3
Kvadrātvienādojuma \(x^{2}-507x+a=0\) saknes ir \(p^{2}\) un \(q\), kur \(p\) un \(q\) ir pirmskaitļi. Aprēķini \(a\) skaitlisko vērtību.
LV.AMO.2012.9.4
Uz tāfeles uzrakstītas deviņas zvaigznītes * * * * * * * * *. Jānis ieraksta kādas zvaigznītes vietā jebkuru ciparu no \(1\) līdz \(9\). Pēc tam Pēteris jebkuru divu citu zvaigznīšu vietā ieraksta divus ciparus (tie var arī atkārtoties). Pēc tam vēl divas reizes viņi atkārto šo darbību. Pēteris uzvar, ja iegūtais deviņciparu skaitlis dalās ar \(37\). Vai Pēteris vienmēr var uzvarēt?
LV.AMO.2014.9.2
Doti četri dažādi cipari, neviens no tiem nav \(0\). Visu divciparu skaitļu, kurus var izveidot no šiem cipariem, summa ir \(1276\). Atrast dotos četrus ciparus!
LV.AMO.2016.9.2
Vai var atrast tādus veselus skaitļus \(x, y\) un \(z\), ka \(x^{3}-2016xyz=10\) ?
LV.AMO.2017.9.5
Atrisināt naturālos skaitļos vienādojumu \(x^{3}+(x+1)^{3}=(x+3)^{3}+1\).
LV.AMO.2018.9.4
Atrast lielāko naturālo skaitli, kas dalās ar \(7\), kura ciparu summa ir \(100\) un kuram neviens cipars nav \(0\).
LV.AMO.2019.9.4
Ja naturāla sešciparu skaitļa visus nepāra ciparus aizvietotu ar \(7\), iegūtu skaitli, kas ir par \(5998\) lielāks nekā sākotnējais skaitlis. Savukārt, ja sākotnējā skaitlī ar \(7\) aizvietotu visus pāra ciparus, tad iegūtais skaitlis būtu par \(500290\) lielāks nekā sākotnējais. Atrast doto sešciparu skaitli!
LV.AMO.2022A.9.2
Sākumā uz tāfeles uzrakstīts skaitlis \(2112\). Ar to atļauts veikt šādas darbības:
- patvaļīgi mainīt uzrakstīto ciparu secību;
- ja skaitļa pēdējie divi cipari ir \(12\), tos drīkst nodzēst;
- ciparu grupu "\(21\)" var aizstāt ar "\(22233\)"
- ciparu grupu "\(223\)" var aizstāt ar "\(1\)".
Vai, atkārtojot vairākus šādus gājienus, ir iespējams iegūt skaitli \(212\)?
LV.AMO.2022A.9.2
Sākumā uz tāfeles uzrakstīts skaitlis \(2112\). Ar to atļauts veikt šādas darbības:
- patvaļīgi mainīt uzrakstīto ciparu secību;
- ja skaitļa pēdējie divi cipari ir \(12\), tos drīkst nodzēst;
- ciparu grupu "\(21\)" var aizstāt ar "\(22233\)"
- ciparu grupu "\(223\)" var aizstāt ar "\(1\)".
Vai, atkārtojot vairākus šādus gājienus, ir iespējams iegūt skaitli \(212\)?
LV.AMO.2022B.9.1
How many four-digit numbers \(\overline{ABBA}\) are there that are divisible by \(99\)? (The same letters are replaced by the same digits, but different letters may or may not be the same.)
LV.AMO.2022B.9.1
Cik ir tādu četrciparu skaitļu \(\overline{ABBA}\), kas dalās ar \(99\)? (Vienādiem burtiem atbilst vienādi cipari, dažādiem burtiem var atbilst arī vienādi cipari.)
LV.AMO.2022B.9.1
How many four-digit numbers \(\overline{ABBA}\) are there that are divisible by \(99\)? (The same letters are replaced by the same digits, but different letters may or may not be the same.)
LV.AMO.2022B.9.1
Cik ir tādu četrciparu skaitļu \(\overline{ABBA}\), kas dalās ar \(99\)? (Vienādiem burtiem atbilst vienādi cipari, dažādiem burtiem var atbilst arī vienādi cipari.)
LV.AMO.2023.9.2
Ja divciparu skaitlim \(\overline{ab}\) galā pieraksta divciparu skaitli \(\overline{cd}\), tad iegūtais četrciparu skaitlis dalās ar \(13\). Zināms, ka \(12a + 9b\) dalās ar \(13\). Kāds var būt skaitlis \(\overline{cd}\)?
LV.AMO.2023.9.5
Pirmie sešpadsmit naturālie skaitļi patvaļīgā secībā izvietoti pa apli, katriem diviem blakus skaitļiem aprēķināta to starpība (no lielākā skaitļa atņemot mazāko), un pēc tam aprēķināta visu šo \(16\) starpību summa \(S\). Vai var gadīties, ka: (A) \(S = 100\); (B) \(S = 123\)?
LV.AMO.2024.9.3
Uz tāfeles uzrakstīti trīs skaitļi: \(11, 12, 13\). Vienā gājienā Agnese var izvēlēties vienu no skaitļiem, to nodzēst un tā vietā uzrakstīt skaitli, ko iegūst no divkāršotas abu pārējo skaitļu summas atņemot izvēlēto skaitli. Vai, atkārtojot šādus gājienus, Agnese var panākt to, ka uz tāfeles ir uzrakstīti skaitļi \(20, 24, 25\)?
LV.AMO.2024.9.5
Ingai ir tālrunis ar šādu pogu izkārtojumu:
Viṇas draudzenes Zanes deviņciparu tālruņa numuram ir šādas īpašības:
- visi Zanes tālruņa numura cipari ir atšk̦irīgi;
- pirmie četri cipari ir sakārtoti augošā secībā un to attiecīgo pogu centri veido kvadrātu;
- pēdējo četru ciparu pogu centri arı̄ veido kvadrātu;
- Zanes tālruņa numurs dalās ar \(15\).
Cik ir tādu deviņciparu tālruņa numuru, kas varētu būt Zanes tālruņa numurs?
LV.AMO.2024.9.5
Ingai ir tālrunis ar šādu pogu izkārtojumu:
Viṇas draudzenes Zanes deviņciparu tālruņa numuram ir šādas īpašības:
- visi Zanes tālruņa numura cipari ir atšk̦irīgi;
- pirmie četri cipari ir sakārtoti augošā secībā un to attiecīgo pogu centri veido kvadrātu;
- pēdējo četru ciparu pogu centri arı̄ veido kvadrātu;
- Zanes tālruņa numurs dalās ar \(15\).
Cik ir tādu deviņciparu tālruņa numuru, kas varētu būt Zanes tālruņa numurs?
LV.AMO.2010.10.4
Cik dažādos veidos skaitli \(2010\) var izteikt kā vismaz divu pēc kārtas sekojošu naturālu skaitļu summu? Saskaitāmo secība nav svarīga.
LV.AMO.2012.10.1
Pierādi: ja \(p\) un \(14p^{2}+1\) ir pirmskaitļi, tad \(14p^{2}-1\) ir naturāla skaitļa kubs.
LV.AMO.2014.10.4
Doti septiņi dažādi naturāli skaitļi; katriem diviem no dotajiem skaitļiem aprēķināja to summu. Kāds lielākais skaits no šīm summām var būt pirmskaitļi?
LV.AMO.2014.10.4
Doti septiņi dažādi naturāli skaitļi; katriem diviem no dotajiem skaitļiem aprēķināja to summu. Kāds lielākais skaits no šīm summām var būt pirmskaitļi?
LV.AMO.2016.10.2
Vai var atrast tādus veselus skaitļus \(x, y\) un \(z\), ka \(x^{3}-2016xyz=120\) ?
LV.AMO.2016.10.2
Vai var atrast tādus veselus skaitļus \(x, y\) un \(z\), ka \(x^{3}-2016xyz=120\) ?
LV.AMO.2016.10.2
Vai var atrast tādus veselus skaitļus \(x, y\) un \(z\), ka \(x^{3}-2016xyz=120\) ?
LV.AMO.2017.10.5
Pierādīt, ja no trim naturāliem skaitļiem \(n\); \(n+11\) un \(n+22\) divi ir pirmskaitļi, tad trešais skaitlis dalās ar \(6\).
LV.AMO.2017.10.5
Pierādīt, ja no trim naturāliem skaitļiem \(n\); \(n+11\) un \(n+22\) divi ir pirmskaitļi, tad trešais skaitlis dalās ar \(6\).
LV.AMO.2018.10.4
Pierādīt, ja \(x\) - naturāls skaitlis, tad \(x^{8}-x^{2}\) dalās ar \(252\).
LV.AMO.2018.10.4
Pierādīt, ja \(x\) - naturāls skaitlis, tad \(x^{8}-x^{2}\) dalās ar \(252\).
LV.AMO.2018.10.4
Pierādīt, ja \(x\) - naturāls skaitlis, tad \(x^{8}-x^{2}\) dalās ar \(252\).
LV.AMO.2018.10.4
Pierādīt, ja \(x\) - naturāls skaitlis, tad \(x^{8}-x^{2}\) dalās ar \(252\).
LV.AMO.2022B.10.2
Consider \(n\) consecutive positive integers. Can we divide them into two groups so that the sum of the numbers in each group is a prime number if (A) \(n = 8\), (B) \(n = 10\)? Each group must contain at least \(2\) numbers.
LV.AMO.2022B.10.2
Apskatām \(n\) pēc kārtas ņemtus naturālus skaitļus. Vai var gadīties, ka tos var sadalīt divās grupās tā, ka katras grupas skaitļu summa ir pirmskaitlis, ja (A) \(n = 8\), (B) \(n = 10\)? Katrā grupā jābūt vismaz \(2\) skaitļiem.
LV.NOL.2008.10.1
Atrodiet mazāko naturālo skaitli, ko var izsacīt gan kā \(15\), gan kā \(16\), gan kā \(17\) pēc kārtas ņemtu naturālu skaitļu summu.
LV.NOL.2010.10.2
Dots, ka \(a\) un \(b\) ir naturāli skaitļi, \(a^{2}\) dalās ar \(b\) un \(b^{2}\) dalās ar \(a\). Pierādīt, ka \((a-b)^{3}\) dalās ar \(a \cdot b\). Vai noteikti \((a-b)^{2}\) dalās ar \(a \cdot b\)?
LV.NOL.2010.10.4
Atrisināt naturālos skaitļos vienādojumu \(x^{3}=y!+2\).
LV.NOL.2010.10.4
Atrisināt naturālos skaitļos vienādojumu \(x^{3}=y!+2\).
LV.NOL.2012.10.3
Doti seši pēc kārtas sekojoši naturāli skaitļi. Pierādīt, ka var atrast tādu pirmskaitli \(p\), ka tieši viens no dotajiem skaitļiem dalās ar \(p\).
LV.NOL.2012.10.4
Ir aprēķinātas skaitļu \(2^{2012}\) un \(5^{2012}\) vērtības un iegūtie skaitļi uzrakstīti viens aiz otra. Cik cipari uzrakstīti?
LV.NOL.2013.10.4
Ansītis aprēķināja skaitļu \(2^{2013}\) un \(5^{2013}\) vērtības un iegūtos skaitļus uzrakstīja vienu aiz otra. Cik cipari uzrakstīti?
LV.NOL.2014.10.2
Pierādīt, ka, izvēloties \(52\) no aritmētiskās progresijas \(1,\ 4,\ 7,\ 10,\ \ldots\) locekļiem, kas nepārsniedz \(300\), vienmēr starp šiem skaitļiem var atrast divus skaitļus, kuru summa ir \(302\).
LV.NOL.2015.10.2
Ar naturālu skaitli atļauts veikt šādas darbības:
- pieskaitīt \(6\);
- dalīt ar \(4\), ja skaitlis dalās ar \(4\);
- mainīt vietām skaitļa ciparus (skaitļa sākumā nedrīkst atrasties nulle).
Vai, atkārtoti izpildot šīs darbības, no skaitļa \(30\) var iegūt skaitli \(2015\)?
LV.NOL.2015.10.3
Vairāku pēc kārtas sekojošu naturālu skaitļu summa ir \(177\). Kādas vērtības var pieņemt mazākais no šiem saskaitāmajiem?
LV.NOL.2015.10.4
Vai eksistē tāds vesels skaitlis \(x\), ka visi skaitļi
(A) \(x,\ x+23,\ x+45,\ x+121\);
(B) \(x,\ x+23,\ x+46,\ x+121\)
ir veselu skaitļu pakāpes ar naturālu kāpinātāju, kas lielāks nekā \(1\) (kāpinātāji var būt dažādi)?
LV.NOL.2015.10.4
Vai eksistē tāds vesels skaitlis \(x\), ka visi skaitļi
(A) \(x,\ x+23,\ x+45,\ x+121\);
(B) \(x,\ x+23,\ x+46,\ x+121\)
ir veselu skaitļu pakāpes ar naturālu kāpinātāju, kas lielāks nekā \(1\) (kāpinātāji var būt dažādi)?
LV.NOL.2016.10.2
Pierādīt, ka no jebkuriem trim naturālu skaitļu kvadrātiem var izvēlēties divus tā, ka to summa vai starpība dalās ar \(5\).
LV.NOL.2017.10.5
Desmitciparu skaitlī vienādus ciparus aizvietojot ar vienādiem burtiem, bet dažādus- ar dažādiem, ieguva vārdu MATEMĀTIKA (īsais " \(A\) " un garais " \(Ā\) " aizstāj atšķirīgus ciparus). Papildus zināms, ka skaitlis \(\overline{MA}\) dalās ar \(2\), \(\overline{MAT}\)- ar \(3\), \(\overline{MATE}\)- ar \(4\), \(\overline{\text { MATEM }}\)- ar \(5\), \(\overline{MATEM \bar{A}}\)- ar \(6\), \(\overline{MATEM \bar{A}T}\)- ar \(7\), \(\overline{MATEM \bar{A}TI}\)- ar \(8\), \(\overline{MATEM \bar{A}TIK}\)- ar \(9\), \(\overline{MATEM \bar{A}TIKA}\)- ar \(10\). Noteikt, kāds bija sākotnējais desmitciparu skaitlis!
LV.NOL.2017.10.5
Desmitciparu skaitlī vienādus ciparus aizvietojot ar vienādiem burtiem, bet dažādus- ar dažādiem, ieguva vārdu MATEMĀTIKA (īsais " \(A\) " un garais " \(Ā\) " aizstāj atšķirīgus ciparus). Papildus zināms, ka skaitlis \(\overline{MA}\) dalās ar \(2\), \(\overline{MAT}\)- ar \(3\), \(\overline{MATE}\)- ar \(4\), \(\overline{\text { MATEM }}\)- ar \(5\), \(\overline{MATEM \bar{A}}\)- ar \(6\), \(\overline{MATEM \bar{A}T}\)- ar \(7\), \(\overline{MATEM \bar{A}TI}\)- ar \(8\), \(\overline{MATEM \bar{A}TIK}\)- ar \(9\), \(\overline{MATEM \bar{A}TIKA}\)- ar \(10\). Noteikt, kāds bija sākotnējais desmitciparu skaitlis!
LV.NOL.2017.10.5
Desmitciparu skaitlī vienādus ciparus aizvietojot ar vienādiem burtiem, bet dažādus- ar dažādiem, ieguva vārdu MATEMĀTIKA (īsais " \(A\) " un garais " \(Ā\) " aizstāj atšķirīgus ciparus). Papildus zināms, ka skaitlis \(\overline{MA}\) dalās ar \(2\), \(\overline{MAT}\)- ar \(3\), \(\overline{MATE}\)- ar \(4\), \(\overline{\text { MATEM }}\)- ar \(5\), \(\overline{MATEM \bar{A}}\)- ar \(6\), \(\overline{MATEM \bar{A}T}\)- ar \(7\), \(\overline{MATEM \bar{A}TI}\)- ar \(8\), \(\overline{MATEM \bar{A}TIK}\)- ar \(9\), \(\overline{MATEM \bar{A}TIKA}\)- ar \(10\). Noteikt, kāds bija sākotnējais desmitciparu skaitlis!
LV.NOL.2017.10.5
Desmitciparu skaitlī vienādus ciparus aizvietojot ar vienādiem burtiem, bet dažādus- ar dažādiem, ieguva vārdu MATEMĀTIKA (īsais " \(A\) " un garais " \(Ā\) " aizstāj atšķirīgus ciparus). Papildus zināms, ka skaitlis \(\overline{MA}\) dalās ar \(2\), \(\overline{MAT}\)- ar \(3\), \(\overline{MATE}\)- ar \(4\), \(\overline{\text { MATEM }}\)- ar \(5\), \(\overline{MATEM \bar{A}}\)- ar \(6\), \(\overline{MATEM \bar{A}T}\)- ar \(7\), \(\overline{MATEM \bar{A}TI}\)- ar \(8\), \(\overline{MATEM \bar{A}TIK}\)- ar \(9\), \(\overline{MATEM \bar{A}TIKA}\)- ar \(10\). Noteikt, kāds bija sākotnējais desmitciparu skaitlis!
LV.NOL.2018.10.4
No cipariem \(1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9\), katru izmantojot divas reizes, izveidoti trīs sešciparu skaitļi. Ar kādu lielāko nuļļu skaitu var beigties trīs izveidoto skaitļu summa?
LV.NOL.2018.10.4
No cipariem \(1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9\), katru izmantojot divas reizes, izveidoti trīs sešciparu skaitļi. Ar kādu lielāko nuļļu skaitu var beigties trīs izveidoto skaitļu summa?
LV.NOL.2019.10.5
Atrast visus pirmskaitļu pārus \((m, n)\), kuriem \(20m+18n=2018\).
LV.NOL.2019.10.5
Atrast visus pirmskaitļu pārus \((m, n)\), kuriem \(20m+18n=2018\).
LV.VOL.2011.10.4
Dots polinoms \(f(x)\) ar veseliem koeficientiem. Vai iespējams, ka \(f(2011)=100\), bet \(f(11)=1000\)?
LV.VOL.2012.10.3
Naturāla skaitļa \(N\) decimālajā pierakstā izmantots tikai cipars \(6\). Pierādīt, ka skaitļa \(N^{2}\) decimālajā pierakstā nav cipara \(0\).
LV.VOL.2013.10.1
Pierādīt, ka vienādojumam \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{a^{2}+b^{2}}=\frac{1}{2}\) nav atrisinājuma naturālos skaitļos.
LV.VOL.2013.10.4
Dota Fibonači skaitļu virkne \(x_{1}=x_{2}=1, x_{i+2}=x_{i}+x_{i+1}\).
Pierādīt, ka šajā virknē ir bezgalīgi daudz skaitļu, kas nav naturāla skaitļa kvadrāti.
LV.VOL.2013.10.4
Dota Fibonači skaitļu virkne \(x_{1}=x_{2}=1, x_{i+2}=x_{i}+x_{i+1}\).
Pierādīt, ka šajā virknē ir bezgalīgi daudz skaitļu, kas nav naturāla skaitļa kvadrāti.
LV.VOL.2014.10.2
Atrast visas tādas vesela skaitļa \(n\) vērtības, kurām gan \(\frac{n^{3}+3}{n+3}\), gan \(\frac{n^{4}+4}{n+4}\) ir veseli skaitļi.
LV.VOL.2014.10.2
Atrast visas tādas vesela skaitļa \(n\) vērtības, kurām gan \(\frac{n^{3}+3}{n+3}\), gan \(\frac{n^{4}+4}{n+4}\) ir veseli skaitļi.
LV.VOL.2014.10.3
Ir pieejams neierobežots daudzums \(7\) un \(13\) centu pastmarku, kuras izmanto pasta sūtījumu apmaksāšanai. Diemžēl dažas summas nav iespējams apmaksāt tikai ar šīm pastmarkām (piemēram, ja sūtījums maksā \(6,\ 8\) vai \(25\) centus). Kāda ir lielākā summa, kuru nav iespējams apmaksāt izmantojot tikai šīs pastmarkas?
LV.VOL.2014.10.3
Ir pieejams neierobežots daudzums \(7\) un \(13\) centu pastmarku, kuras izmanto pasta sūtījumu apmaksāšanai. Diemžēl dažas summas nav iespējams apmaksāt tikai ar šīm pastmarkām (piemēram, ja sūtījums maksā \(6,\ 8\) vai \(25\) centus). Kāda ir lielākā summa, kuru nav iespējams apmaksāt izmantojot tikai šīs pastmarkas?
LV.VOL.2015.10.2
Pierādīt, ka katram naturālam \(n\) izteiksme \(3n^{5}+5n^{4}-8n\) dalās ar \(10\).
LV.VOL.2015.10.2
Pierādīt, ka katram naturālam \(n\) izteiksme \(3n^{5}+5n^{4}-8n\) dalās ar \(10\).
LV.VOL.2015.10.2
Pierādīt, ka katram naturālam \(n\) izteiksme \(3n^{5}+5n^{4}-8n\) dalās ar \(10\).
LV.VOL.2017.10.2
Dots pirmskaitlis, kas satur vismaz \(4\) dažādus ciparus. Pierādīt, ka tā ciparus var pārkārtot citā secībā tā, lai jauniegūtais skaitlis nebūtu pirmskaitlis!
LV.VOL.2017.10.2
Dots pirmskaitlis, kas satur vismaz \(4\) dažādus ciparus. Pierādīt, ka tā ciparus var pārkārtot citā secībā tā, lai jauniegūtais skaitlis nebūtu pirmskaitlis!
LV.VOL.2017.10.2
Dots pirmskaitlis, kas satur vismaz \(4\) dažādus ciparus. Pierādīt, ka tā ciparus var pārkārtot citā secībā tā, lai jauniegūtais skaitlis nebūtu pirmskaitlis!
LV.VOL.2018.10.3
Skaitļus \(a,\ b,\ c\) sauksim par skaistu trijnieku, ja tiem piemīt šādas īpašības:
- tie ir trīs pēc kārtas esoši naturāli skaitļi;
- katrs no tiem dalās ar savu ciparu summu.
Piemēram, skaists trijnieks ir \(8,\ 9,\ 10\).
(A) Atrast tādu skaistu trijnieku, kurā mazākais skaitlis ir lielāks nekā \(10\).
(B) Pierādīt, ka eksistē bezgalīgi daudz skaistu trijnieku!
LV.VOL.2018.10.3
Skaitļus \(a,\ b,\ c\) sauksim par skaistu trijnieku, ja tiem piemīt šādas īpašības:
- tie ir trīs pēc kārtas esoši naturāli skaitļi;
- katrs no tiem dalās ar savu ciparu summu.
Piemēram, skaists trijnieks ir \(8,\ 9,\ 10\).
(A) Atrast tādu skaistu trijnieku, kurā mazākais skaitlis ir lielāks nekā \(10\).
(B) Pierādīt, ka eksistē bezgalīgi daudz skaistu trijnieku!
LV.VOL.2018.10.3
Skaitļus \(a,\ b,\ c\) sauksim par skaistu trijnieku, ja tiem piemīt šādas īpašības:
- tie ir trīs pēc kārtas esoši naturāli skaitļi;
- katrs no tiem dalās ar savu ciparu summu.
Piemēram, skaists trijnieks ir \(8,\ 9,\ 10\).
(A) Atrast tādu skaistu trijnieku, kurā mazākais skaitlis ir lielāks nekā \(10\).
(B) Pierādīt, ka eksistē bezgalīgi daudz skaistu trijnieku!
LV.VOL.2019.10.1
Pierādīt, ka visus naturālos skaitļus, kas lielāki nekā \(100\), var izteikt kā pirmskaitļa un salikta skaitļa summu!
LV.VOL.2019.10.3
Pierādīt, ka nevienai naturālai \(n\) vērtībai izteiksmes \(13^{n}+7^{n}+2019\) vērtība nav naturāla skaitļa kvadrāts!
LV.VOL.2019.10.3
Pierādīt, ka nevienai naturālai \(n\) vērtībai izteiksmes \(13^{n}+7^{n}+2019\) vērtība nav naturāla skaitļa kvadrāts!
LV.AMO.2019.11.2
Divi spēlētāji pamīšus raksta uz tāfeles skaitļa \(216\) naturālos dalītājus. Katrā gājienā jāievēro šādi noteikumi:
- nedrīkst atkārtoti rakstīt jau uzrakstītu dalītāju;
- nedrīkst rakstīt dalītāju, kurš ir tieši \(2\) vai \(3\) reizes lielāks vai mazāks nekā kāds jau uzrakstītais dalītājs.
Zaudē tas spēlētājs, kurš nevar izdarīt gājienu. Kurš spēlētājs - pirmais vai otrais - vienmēr var uzvarēt?
LV.VOL.2016.11.1
Zināms, ka \(x\) un \(y\) ir tādi naturāli skaitļi, ka \(xy^{433}\) ir naturāla skaitļa \(2016.\) pakāpe. Pierādīt, ka arī \(x^{433}y\) ir naturāla skaitļa \(2016.\) pakāpe!
LV.AMO.2019.12.4
Sporta nometnē ir \(100\) skolēni. Ar \(N\) apzīmējam, cik veidos šos \(100\) skolēnus var sadalīt \(50\) pāros (pāru secība un arī skolēnu secība pārī nav svarīga). Ar kādu lielāko trijnieka pakāpi dalās \(N\)?