Veselu skaitļu decimālpieraksts un ciparu manipulācijas tajā; ieskaitot spēles ar skaitļa cipariem. Dalāmības pazīmes. Skaitļa pieraksts binārajā un dažās citās pozicionālajās sistēmās. Neparasti skaitļu kodējumi (ar Fibonači skaitļiem, ar "negatīviem cipariem" utt.). Decimāldaļas, periodisku daļskaitļu izteikšana ar bezgalīgas ģeometriskas progresijas summu. Neperiodiskas decimāldaļas un iracionāli skaitļi.
Sauksim naturālu skaitli par interesantu, ja tas nesatur ciparu \(0\) un tā pirmais cipars par \(1\) mazāks nekā visu citu ciparu summa.
(A) kāds ir mazākais interesantais četrciparu skaitlis?
(B) kāds ir lielākais interesantais skaitlis?
What is the smallest positive integer that uses only the digits \(0\) and \(2\) in its notation and is divisible by \(15\)?
Kāds ir mazākais naturālais skaitlis, kura pierakstā izmantoti tikai cipari \(0\) un \(2\) un kurš dalās ar \(15\)?
Naturālā divciparu skaitlī neviens no cipariem nav \(0\). Pierādīt, ka, dalot šo skaitli ar tā ciparu reizinājumu, dalījums ir vismaz \(\frac{11}{9}\).
Cik ir tādu naturālu divciparu skaitļu, kuriem ciparu reizinājums ir tieši divas reizes mazāks nekā pats skaitlis?
Andrim vajadzēja sareizināt divus dažādus pozitīvus trīsciparu skaitļus. Izklaidības pēc viņš tos vienkārši uzrakstīja vienu otram galā. Iegūtais sešciparu skaitlis izrādījās \(3\) reizes lielāks par reizinājumu, kuru Andrim vajadzēja iegūt. Kādu sešciparu skaitli Andris uzrakstīja?
Dots, ka \(A\) un \(B\) - naturāli divciparu skaitļi. Skaitli \(X\) iegūst, pierakstot skaitlim \(A\) galā skaitli \(B\); skaitli \(Y\) iegūst, pierakstot skaitlim \(B\) galā skaitli \(A\). Dots, ka \(X-Y\) dalās ar \(91\). Pierādīt, ka \(A=B\).
Naturāla skaitļa \(x\) ciparu summu apzīmēsim ar \(S(x)\). Pieņemsim, ka \(n\) - tāds naturāls skaitlis, kam vienlaicīgi izpildās īpašības \(S(n)=10\) un \(S(5n)=5\).
(A) atrodiet kaut vienu tādu skaitli,
(B) vai tādu skaitļu ir bezgalīgi daudz?
(C) vai kāds no tādiem skaitļiem ir nepāra?
Leonards izvēlējās patvaļīgu trīsciparu skaitli, pareizināja to ar \(2\) un tam galā pierakstīja sākotnējo skaitli. Vai viņa jauniegūtais skaitlis noteikti dalās ar (A) \(17\); (B) \(23\)?
Atrast visus naturālos skaitļus, kas nepārsniedz \(1000000\) un kuri, nosvītrojot to pirmo ciparu, samazinās \(36\) reizes.
Skaitli \(\frac{1}{13}\) pārveidoja par bezgalīgu decimāldaļu un tajā izsvītroja \(2014.\) ciparu aiz komata.
Kurš skaitlis lielāks -- sākotnējais vai iegūtais?
Atrast visus naturālos skaitļus, kas nepārsniedz \(1000000\) un kuri, nosvītrojot to pirmo ciparu, samazinās \(15\) reizes!
Vai var atrast tādu desmitciparu skaitli, kas ir vienāds ar visu savu ciparu reizinājumu?
Trīsciparu skaitļa \(x\) ciparu summa ir \(12\). Ja šim skaitlim nodzēš pēdējo ciparu, tad atlikušais divciparu skaitlis dalās ar \(9\). Zināms, ka skaitlis \(x\) ir par \(99\) lielāks nekā trīsciparu skaitlis, ko iegūst, uzrakstot tā ciparus pretējā secībā. Kāds var būt skaitlis \(x\)?
Ir zināms, ka skaitļa \(2^{200}\) decimālajā pierakstā ir \(61\) cipars. Cik daudziem no skaitļiem \(2^{1};\ 2^{2};\ 2^{3};\ \ldots;\ 2^{199};\ 2^{200}\) decimālais pieraksts sākas ar ciparu \(1\)?
Ir zināms, ka skaitļa \(2^{100}\) decimālajā pierakstā ir \(31\) cipars. Cik daudziem no skaitļiem \(2^{1};\ 2^{2};\ 2^{3};\ \ldots;\ 2^{99};\ 2^{100}\) decimālais pieraksts sākas ar ciparu \(1\)?
Četrciparu skaitlim pārlika ciparus citā kārtībā. Pierādīt: sākotnējā un iegūtā skaitļa starpība dalās ar \(9\).
Piecciparu skaitlis \(B\) ir iegūts no mazāka piecciparu skaitļa \(A\), samainot vietām tā ciparus. Pierādīt, ka \(B-A\) dalās ar \(9\).
Doti četri dažādi cipari, neviens no tiem nav \(0\). Visu divciparu skaitļu, kurus var izveidot no šiem cipariem, summa ir \(1276\). Atrast dotos četrus ciparus!
Atrast lielāko naturālo skaitli, kas dalās ar \(7\), kura ciparu summa ir \(100\) un kuram neviens cipars nav \(0\).
Ja naturāla sešciparu skaitļa visus nepāra ciparus aizvietotu ar \(7\), iegūtu skaitli, kas ir par \(5998\) lielāks nekā sākotnējais skaitlis. Savukārt, ja sākotnējā skaitlī ar \(7\) aizvietotu visus pāra ciparus, tad iegūtais skaitlis būtu par \(500290\) lielāks nekā sākotnējais. Atrast doto sešciparu skaitli!
Ja divciparu skaitlim \(\overline{ab}\) galā pieraksta divciparu skaitli \(\overline{cd}\), tad iegūtais četrciparu skaitlis dalās ar \(13\). Zināms, ka \(12a + 9b\) dalās ar \(13\). Kāds var būt skaitlis \(\overline{cd}\)?
Ir aprēķinātas skaitļu \(2^{2012}\) un \(5^{2012}\) vērtības un iegūtie skaitļi uzrakstīti viens aiz otra. Cik cipari uzrakstīti?
Ansītis aprēķināja skaitļu \(2^{2013}\) un \(5^{2013}\) vērtības un iegūtos skaitļus uzrakstīja vienu aiz otra. Cik cipari uzrakstīti?
No cipariem \(1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9\), katru izmantojot divas reizes, izveidoti trīs sešciparu skaitļi. Ar kādu lielāko nuļļu skaitu var beigties trīs izveidoto skaitļu summa?
Naturāla skaitļa \(N\) decimālajā pierakstā izmantots tikai cipars \(6\). Pierādīt, ka skaitļa \(N^{2}\) decimālajā pierakstā nav cipara \(0\).
Dots pirmskaitlis, kas satur vismaz \(4\) dažādus ciparus. Pierādīt, ka tā ciparus var pārkārtot citā secībā tā, lai jauniegūtais skaitlis nebūtu pirmskaitlis!
Skaitļus \(a,\ b,\ c\) sauksim par skaistu trijnieku, ja tiem piemīt šādas īpašības:
Piemēram, skaists trijnieks ir \(8,\ 9,\ 10\).
(A) Atrast tādu skaistu trijnieku, kurā mazākais skaitlis ir lielāks nekā \(10\).
(B) Pierādīt, ka eksistē bezgalīgi daudz skaistu trijnieku!