2.0.0.0.0. Kombinatorika
Visi uzdevumi par kombinatoriku
- Objektu skaitīšana
- Grafu uzdevumi
- Spēles
- Kombinatoriskas struktūras
- Kombinatoriski algoritmi
- Loģikas uzdevumi
- Diskrētās varbūtības
LV.AMO.2003.5.4
Vai kvadrātā, kas sastāv no \(4 \times 4\) rūtiņām, var katrā rūtiņā ierakstīt naturālu skaitli no \(1\) līdz \(16\) (tiem visiem jābūt dažādiem) tā, lai nekādi divi skaitļi, kas ierakstīti rūtiņās ar kopīgu malu, abi vienlaicīgi nedalītos ne ar vienu citu naturālu skaitli kā \(1\)?
LV.AMO.2011.5.4
Vai naturālos skaitļus no \(1\) līdz \(12\), katru izmantojot tieši vienu reizi, var uzrakstīt pa apli tādā secībā, ka jebkuru divu blakus esošu skaitļu starpība ir
(A) \(2\) vai \(3\);
(B) \(3\) vai \(4\)?
LV.AMO.2011.5.5
Kvadrātā ar izmēriem \(7 \times 7\) rūtiņas jāizvieto \(n\) "stūrīšus" (2.zīm. attēlotās figūras) tā, lai tajā vairāk nevarētu ievietot nevienu citu šādu "stūrīti". (Stūrīšu malām jāiet pa rūtiņu malām. Stūrīši var arī būt pagriezti citādāk.)
Parādi, kā to var izdarīt, ja
(A) \(n=9\);
(B) \(n=8\).
LV.AMO.2023.5.4
Dots kvadrāts ar izmēriem \(n \times n\) rūtiņas.
Vienā gājienā kauliņu var pārlikt tieši \(2\) rūtiņas uz priekšu pa jebkuru
no diagonālēm, kas iziet no tā lauciņa, kurā atrodas kauliņš (skat. 4. att.,
kur kauliņš apzīmēts ar "o" un ar "x"
atzīmētas tās rūtiņas, uz kurām to drīkst pārvietot). Vai, veicot vairākus gājienus,
kauliņu no kreisās apakšējās
rūtiņas var pārvietot uz kreiso augšējo rūtiņu, ja kvadrāta izmēri ir:
(A) \(9 \times 9\); (B) \(10 \times 10\); (C) \(11 \times 11\)?
LV.AMO.2003.6.2
Kvadrāts sastāv no \(n \times n\) rūtiņām; viena stūra rūtiņa izgriezta. Rūtiņas malas garums ir \(1\). Atlikušo daļu jāsadala taisnstūros ar izmēriem \(1 \times 2\) tā, lai pusei no tiem garākā mala ietu vienā virzienā, bet pusei - otrā. Vai to var izdarīt, ja (A) \(n=5\), (B) \(n=7\)?
LV.AMO.2003.6.4
Šaha turnīrā katrs spēlētājs ar katru citu spēlēja vienu reizi. Par uzvaru iegūst \(1\) punktu, par neizšķirtu \(\frac{1}{2}\) punkta, par zaudējumu - \(0\) punktus. Jānis, Pēteris, Andris un Juris ieguva attiecīgi \(4 \frac{1}{2}\), \(3 \frac{1}{2}\), \(3\) un \(1 \frac{1}{2}\) punktus; neviens no citiem spēlētājiem neieguva vairāk punktu nekā Juris. Cik bija citu spēlētāju un cik punktus viņi ieguva?
LV.AMO.2022B.6.1
All positive integers from \(1\) to \(2022\) are written on a piece of paper, each appearing once. First, Amanda circled all the numbers divisible by \(3\) in red. She then circled all the numbers divisible by \(5\) in blue. Finally, she circled all the numbers divisible by \(7\) in green. How many numbers are circled with at least two different colors?
LV.AMO.2022B.6.1
Uz papīra lapas uzrakstīti visi naturālie skaitļi no \(1\) līdz \(2022\) (katrs vienu reizi). Vispirms Amanda ar sarkanu zīmuli apvilka visus skaitļus, kas dalās ar \(3\). Tad viņa ar zilu zīmuli apvilka visus skaitļus, kas dalās ar \(5\). Un visbeidzot viņa ar zaļu zīmuli apvilka visus skaitļus, kas dalās ar \(7\). Cik ir tādu skaitļu, kas ir apvilkti ar vismaz divām dažādām krāsām?
LV.AMO.2022B.6.5
Some of \(273\) villagers always tell the truth, the remaining ones lie all the time. Each of the villagers has exactly one favourite day of the week. There was a poll of all the villagers, and they were asked to answer seven questions with either "Yes" or "No":
| Question | ||
|---|---|---|
| Is Monday your favorite day? | \(\square\) Yes | \(\square\) No |
| Is Tuesday your favorite day? | \(\square\) Yes | \(\square\) No |
| Is Wednesday your favorite day? | \(\square\) Yes | \(\square\) No |
| Is Thursday your favorite day? | \(\square\) Yes | \(\square\) No |
| Is Friday your favorite day? | \(\square\) Yes | \(\square\) No |
| Is Saturday your favorite day? | \(\square\) Yes | \(\square\) No |
| Is Sunday your favorite day? | \(\square\) Yes | \(\square\) No |
The number of "Yes" answers received to each question was as follows: Monday - \(51\), Tuesday - \(52\), Wednesday - \(53\), Thursday - \(55\), Friday - \(54\), Saturday - \(56\), Sunday - \(57\). How many villagers lie all the time?
LV.AMO.2022B.6.5
Daži no 273 ciema iedzīvotājiem visu laiku saka patiesību,
pārējie visu laiku melo. Katram no ciema iedzīvotājiem
ir tieši viena mīļākā nedēļas diena. Aptaujājot iedzīvotājus,
viņiem tika lūgts atbildēt uz septiņiem jautājumiem,
katrā no tiem izvēloties vienu no dotajām atbildēm:
Uz katru jautājumu saņemto apstiprinošo ("jā") atbilžu skaits bija šāds:
pirmdiena – \(51\), otrdiena – \(52\),
trešdiena – \(53\), ceturtdiena – \(54\), piektdiena – \(55\),
sestdiena – \(56\), svētdiena – \(57\). Cik ciema iedzīvotāji visu laiku melo?
LV.AMO.2003.7.3
Divi spēlētāji pamīšus raksta uz tāfeles pa vienam naturālam skaitlim no \(1\) līdz \(9\) ieskaitot. Nedrīkst rakstīt skaitļus, ar kuriem dalās kaut viens jau uzrakstīts skaitlis. Kas nevar izdarīt gājienu, zaudē.
Parādiet, kā tas, kas izdara pirmo gājienu, var uzvarēt.
LV.AMO.2007.7.1
Kādu lielāko daudzumu dažādu ciparu var izrakstīt pa apli tā, lai katri divi blakus uzrakstīti cipari, lasot tos vienalga kādā virzienā, veidotu pirmskaitļa pierakstu?
LV.AMO.2015.7.5
Uz galda stāv četras pēc izskata vienādas bumbiņas, to masas attiecīgi ir \(10, 11, 12\) un \(13\) grami. Vai ar dažām svēršanām uz sviru svariem bez atsvariem, kur katrā kausā drīkst ielikt tieši divas bumbiņas, iespējams
(A) atrast visvieglāko un vissmagāko bumbiņu;
(B) noteikt katras bumbiņas masu?
LV.AMO.2016.7.5
Kvadrāts sadalīts \(12 \times 12\) vienādās kvadrātiskās rūtiņās un izkrāsots kā šaha galdiņš. Četrdesmit trijās baltajās rūtiņās sēž pa vienai mušai. Varde lēkā pa kvadrātu, katrā lēcienā šķērsojot divu rūtiņu kopējo malu. Tā nelec caur rūtiņu stūri un nelec rūtņā, kurā tā jau ir bijusi. Ielecot rūtiņā, kurā sēž muša, varde to apēd. Zināms, ka varde ir bijusi vismaz \(100\) rūtiņās. Pierādīt, ka varde ir apēdusi vismaz \(21\) mušu!
LV.AMO.2018.7.1
Cik dažādus naturālus skaitļus, kam visi cipari ir dažādi, var izveidot no cipariem \(2,\ 0,\ 1,\ 8\) ?
LV.AMO.2018.7.1
Cik dažādus naturālus skaitļus, kam visi cipari ir dažādi, var izveidot no cipariem \(2,\ 0,\ 1,\ 8\) ?
LV.AMO.2019.7.2
Riņķis sadalīts \(15\) vienādās daļās (skat. 12.att.). Divi spēlētāji pamīšus tās aizkrāso. Vienā gājienā drīkst aizkrāsot vai nu vienu no šīm daļām, vai divas blakus esošas daļas. Spēlētājs, kurš nevar izdarīt gājienu, zaudē. Kurš spēlētājs - pirmais vai otrais - vienmēr var uzvarēt?
LV.AMO.2022B.7.4
There's a pile of candies on the table. Karlsson and Lillebror
take turns making moves, with Karlsson starting the game.
In one move, a player can remove from the pile and
eat either one or two candies. The player who eats the last candy wins.
Which player, can always win if there are initially
(A) \(6\) candies in the heap; (B) \(2022\) candies in the heap?
(Note: Karlsson and Lillebror are characters from A.Lindgren's
book Karlsson-on-the-Roof.)
LV.AMO.2022B.7.4
Uz galda ir kaudze ar konfektēm. Karlsons un Brālītis pēc kārtas izdara gājienus, Karlsons sāk spēli. Vienā gājienā spēlētājs var paņemt no kaudzes un apēst vai nu vienu, vai divas konfektes. Uzvar tas spēlētājs, kurš apēd pēdējo konfekti. Kurš spēlētājs, pareizi spēlējot, vienmēr var uzvarēt, ja sākumā kaudzē ir (A) \(6\) konfektes; (B) \(2022\) konfektes?
LV.AMO.2023.7.1
Vai rindā kaut kādā secībā var uzrakstīt naturālus skaitļus (A) no \(1\) līdz \(23\); (B) no \(1\) līdz \(2023\) tā, lai blakus skaitļiem nebūtu vienādu ciparu?
LV.AMO.2023.7.4
Latvijā, tāpat kā visās eirozonas valstīs, apgrozībā ir \(1\); \(2\); \(5\); \(10\); \(20\) un \(50\) centu monētas. Pieņemsim, ka ir zināma no šīm monētām izveidotā naudas summa \(S\) un izmantoto monētu skaits \(M\). Daudzos gadījumos, zinot \(S\) un \(M\) vērtības, var viennozīmīgi noteikt izmantoto monētu komplektu. Piemēram, ja \(S=7\) un \(M=3\), tad ir izmantota viena piecu un divas viena centa monētas un citu variantu nav.
Kāda ir mazākā \(S\) vērtība, kurai var atrast tādu \(M\) vērtību, ka, zinot \(S\) un \(M\) vērtības, izmantoto monētu komplektu viennozīmīgi nav iespējams noteikt?
LV.AMO.2024.7.2
Jurģis Mik̦eļdienas tirgū ar izlozes palīdzību izdalīja \(11\) balvas. Katra balva satur \(6\) rudens labumus: ābolus, bumbierus un bietes. Pie tam zināms, ka katra balva satur vismaz vienu ābolu, bumbieri un bieti. Pamatot, ka noteikti tika izdalītas divas tādas balvas, kurām bija vienāds saturs.
LV.AMO.2024.7.3
Skaitḷu virknes pirmais loceklis ir \(12\). Katru nākamo iegūst iepriekšējo vai nu reizinot ar \(2\) vai \(3\), vai arī izdalot ar \(2\) vai \(3\) (ja tas dalās bez atlikuma). Vai šīs skaitļu virknes 61.loceklis var būt skaitlis \(54\)?
LV.NOL.2011.7.3
Pa apli uzrakstīti pieci dažādi skaitļi, nekādu divu blakus uzrakstīto skaitļu reizinājums nav pozitīvs. Aplūkojam visus piecus triju pēc kārtas uzrakstītu skaitļu reizinājumus. Cik no tiem ir pozitīvi?
LV.NOL.2015.7.3
Tabulā, kuras izmēri ir \(3 \times 3\) rūtiņas, katrā rūtiņā ierakstīts viens naturāls skaitlis, kas nepārsniedz \(10\), visi ierakstītie skaitļi ir dažādi. Katrām divām rūtiņām ar kopīgu malu aprēķina tajos ierakstīto skaitļu summu. Vai iespējams, ka visas iegūtās summas ir pirmskaitļi?
LV.AMO.2004.8.5
Virknē augošā kārtībā izrakstīti naturālie skaitļi no \(1\) līdz \(2004\) ieskaitot, katrs vienu reizi. Izsvītrojam no tās skaitļus, kas atrodas \(1.,\ 4.,\ 7.,\ 10.,\ \ldots\) vietās. No palikušās virknes atkal izsvītrojam skaitļus, kas tajā atrodas \(1.,\ 4.,\ 7.,\ \ldots\) vietās. Ar iegūto virkni rīkojamies tāpat, utt., kamēr paliek neizsvītrots viens skaitlis. Kurš tas ir?
LV.AMO.2011.8.5
Jānis un Anna spēlē šādu spēli. Uz tāfeles ir uzrakstīts naturāls skaitlis. Spēlētāji pēc kārtas veic gājienu: no uzrakstītā skaitļa atnem kādu šī skaitļa ciparu (izņemot \(0\)), nodzēš uz tāfeles esošo skaitli un tā vietā uzraksta iegūto starpību. Uzvar tas, kurš pēc sava gājiena iegūst nulli.
Sākumā ir uzrakstīts skaitlis \(2011\), pirmo gājienu izdara Anna. Kurš no spēlētājiem, pareizi spēlējot, uzvarēs? Apraksti, kā uzvarētājam jārīkojas!
LV.AMO.2014.8.3
Astoņi punkti savienoti ar šķautnēm kā kuba karkass (skat. 7.zīm.). Pierādīt, ka, izvēloties jebkurus \(5\) punktus, tie būs savienoti ar vismaz \(3\) šķautnēm!
LV.AMO.2016.8.5
Divi spēlētāji spēlē spēli uz \(N \times N\) rūtiņas liela laukuma. Sākumā laukuma kreisajā apakšējā rūtiņā atrodas spēļu kauliņš. Katrā gājienā spēļu kauliņu drīkst pārvietot vai nu vienu lauciņu pa labi, vai vienu lauciņu uz augšu, vai arī divus lauciņus pa diagonāli uz augšu pa labi (skat. 12.att., kur kauliņa sākumpozīcija apzīmēta ar baltu, bet atļautie gājieni -- ar pelēkiem aplīšiem). Kauliņu nedrīkst pārvietot ārpus laukuma robežām. Spēlētāji gājienus izdara pēc kārtas. Zaudē spēlētājs, kurš nevar izdarīt gājienu. Kurš no spēlētājiem, pareizi spēlējot, uzvar, ja (A) \(N=7\), (B) \(N=8\)?
LV.AMO.2016.8.5
Divi spēlētāji spēlē spēli uz \(N \times N\) rūtiņas liela laukuma. Sākumā laukuma kreisajā apakšējā rūtiņā atrodas spēļu kauliņš. Katrā gājienā spēļu kauliņu drīkst pārvietot vai nu vienu lauciņu pa labi, vai vienu lauciņu uz augšu, vai arī divus lauciņus pa diagonāli uz augšu pa labi (skat. 12.att., kur kauliņa sākumpozīcija apzīmēta ar baltu, bet atļautie gājieni -- ar pelēkiem aplīšiem). Kauliņu nedrīkst pārvietot ārpus laukuma robežām. Spēlētāji gājienus izdara pēc kārtas. Zaudē spēlētājs, kurš nevar izdarīt gājienu. Kurš no spēlētājiem, pareizi spēlējot, uzvar, ja (A) \(N=7\), (B) \(N=8\)?
LV.AMO.2017.8.4
Doti pieci pēc izskata vienādi atsvari. Katra atsvara masa izsakāma veselā skaitā gramu, turklāt šie skaitļi ir pēc kārtas esoši naturāli skaitļi. Atsvaru masu salīdzināšanai atļauts izmantot sviru svarus, kur katrā svaru kausā drīkst likt tieši divus atsvarus. Vai iespējams (A) noteikt visvieglāko un vissmagāko no atsvariem; (B) sarindot visus atsvarus pēc kārtas no smagākā līdz vieglākajam?
Piezīme. Ar sviru svariem nevar noteikt, tieši par cik gramiem viens svaru kauss ir smagāks nekā otrs.
LV.AMO.2019.8.2
Divi spēlētāji pamīšus izvieto kauliņus tabulas \(6 \times 6\) rūtiņās. Vienā gājienā var aizpildīt vai nu vienu tukšu rūtiņu, vai vairākas tukšas rūtiņas, kuras atrodas vai nu vienā rindā, vai vienā kolonnā. Tas spēlētājs, kas nevar izdarīt gājienu, zaudē. Kurš spēlētājs - pirmais vai otrais - vienmēr var uzvarēt?
LV.AMO.2019.8.4
Mežā dzīvo \(m\) rūķīši. Daži no tiem savā starpā draudzējas (ja \(A\) draudzējas ar \(B\), tad \(B\) draudzējas ar \(A\)), pie tam katra rūķīša draugu skaits ir kāda naturāla skaitļa kubs. Kādām \(m\) vērtībām tas ir iespējams?
LV.AMO.2022A.8.5
Mārtiņš augošā secībā pēc kārtas sāka rakstīt skaitļus, kuru pirmie četri cipari ir "\(3321\)":
\[3321; 33210; 33211; 33212; 33213; 33214;\ldots \]
Kāds ir \(3321.\) skaitlis šajā virknē?LV.AMO.2022B.8.4
Is it possible to arrange the numbers
(A) \(0;\;1;\;2;\;3;\;4;\;5;\;6;\;7;\;8;\;9\)
(B) \(0;\;1;\;2;\;3;\;4;\;5;\;6;\;7;\;8;\;9;\;10;\;11;\;12;\;13\)
around a circle so that any two adjacent numbers differ by \(3\), \(4\), or \(5\)?
LV.AMO.2022B.8.4
Vai pa apli var uzrakstīt skaitļus
(A) \(0;\;1;\;2;\;3;\;4;\;5;\;6;\;7;\;8;\;9\);
(B) \(0;\;1;\;2;\;3;\;4;\;5;\;6;\;7;\;8;\;9;\;10;\;11;\;12;\;13\);
tā, lai katri divi blakus esoši skaitļi atšķirtos par \(3\); \(4\) vai \(5\)?
LV.AMO.2022B.8.5
Five friends started arguing, and they stated the following:
- Elina says: "I always speak the truth."
- Guna says: "Elina and Agnese are both lying."
- Maruta says: "Everyone speaks the truth."
- Agnese says: "Elina lies."
- Emils says: "Everyone lies."
It is known that each friend either always speaks the truth or always lies. How many friends speak the truth?
LV.AMO.2022B.8.5
Piecu draugu lokā izvērsās strīds, kurā:
- Elīna saka: "Es vienmēr saku taisnību."
- Guna saka: "Gan Elīna, gan Agnese melo."
- Maruta saka: "Visi saka taisnību."
- Agnese saka: "Elīna melo."
- Emīls saka: "Visi melo."
Cik draugu saka taisnību?
LV.AMO.2024.8.3
Trīs burvji rituālā spēj pārveidot skaitļus, bet katrs no burvjiem prot tikai vienu burvestību:
- pirmais burvis spēj atņemt no jebkura skaitḷa \(1\);
- otrais burvis spēj izdalīt jebkuru skaitli ar \(2\);
- trešais burvis spēj reizināt jebkuru skaitli ar \(3\).
Lai pārveidotu skaitli, burvji var pielietot savas burvestības jebkurā secībā, pat izlaižot citus burvjus. Bet katrs burvis savu burvestību katrā rituālā drīkst izmantot tikai \(5\) reizes, un starprezultātam jābūt veselam skaitlim, kas nepārsniedz \(9\). Vai burvji rituālā no skaitliem \(3,8,9,2,4\) var iegūt (A) \(3,3,3,3,3\); (B) \(5,5,5,5,5\)?
LV.NOL.2013.8.3
Cik ir tādu četrciparu skaitļu, kuru pierakstā ir vismaz viens pāra cipars?
LV.NOL.2014.8.3
Cik ir tādu piecciparu skaitļu, kuru pierakstā ir vismaz viens nepāra cipars?
LV.AMO.2003.9.5
Uz galda atrodas \(k\) konfektes. Andris un Juris pamīšus izdara gājienus: Andris - pirmo, trešo, piekto, \(\ldots\), Juris - otro, ceturto, sesto, \(\ldots\) . Ar \(n\)-to gājienu \((n=1,\ 2,\ 3,\ \ldots)\) jāapēd vismaz viena, bet ne vairāk par \(n\) konfektēm. Kas apēd pēdējo konfekti, uzvar.
Kurš uzvar, pareizi spēlējot, ja (A) \(k=8\), (B) \(k=64\)?
LV.AMO.2014.9.2
Doti četri dažādi cipari, neviens no tiem nav \(0\). Visu divciparu skaitļu, kurus var izveidot no šiem cipariem, summa ir \(1276\). Atrast dotos četrus ciparus!
LV.AMO.2016.9.5
Sivēnam ir \(10\) podi ar medu, kas pēc kārtas sanumurēti ar skaitļiem no \(1\) līdz \(10\). Kādu dienu viņš uzzināja, ka Vinnijs Pūks slepeni ir izēdis četrus no tiem, pie tam to numuri veido aritmētisko progresiju. Katra poda saturu Sivēns var pārbaudīt. Pierādīt, ka viņš var noskaidrot, kuri tieši ir izēstie podi, pārbaudot ne vairāk kā četrus podus!
LV.AMO.2017.9.4
(A) Pierādi, ka dotajā \(4 \times 4\) rūtiņu laukumā (skat. 23.att.) nevar ierakstīt \(16\) dažādus naturālus skaitļus tā, lai katrā rūtiņā būtu ierakstīts viens skaitlis un katrā rindā un katrā kolonnā skaitļi pieaugtu bultiņas norādītajā virzienā.
(B) Kāds mazākais bultiņu skaits jāapvērš pretējā virzienā, lai skaitļus varētu izvietot saskaņā ar uzdevuma nosacījumiem?
LV.AMO.2018.9.4
Atrast lielāko naturālo skaitli, kas dalās ar \(7\), kura ciparu summa ir \(100\) un kuram neviens cipars nav \(0\).
LV.AMO.2019.9.1
Plaknē novilktas \(5\) vertikālas, \(4\) horizontālas un \(3\) savstarpēji paralēlas slīpas taisnes. Cik paralelogramu izveido šīs taisnes?
LV.AMO.2019.9.1
Plaknē novilktas \(5\) vertikālas, \(4\) horizontālas un \(3\) savstarpēji paralēlas slīpas taisnes. Cik paralelogramu izveido šīs taisnes?
LV.AMO.2019.9.1
Plaknē novilktas \(5\) vertikālas, \(4\) horizontālas un \(3\) savstarpēji paralēlas slīpas taisnes. Cik paralelogramu izveido šīs taisnes?
LV.AMO.2019.9.2
Divi spēlētāji pamīšus aizkrāso tabulas \(9 \times 9\) rūtiņas. Spēlētājs, kurš spēli sāk, krāso rūtiņas melnā krāsā, viņa pretinieks - zilā krāsā. Vienā gājienā drīkst aizkrāsot tieši vienu rūtiņu. Kad visas rūtiņas ir aizkrāsotas, tad saskaita, cik ir tādu rindu un kolonnu, kuros melno rūtiņu ir vairāk nekā zilo - tie ir punkti, kurus ieguvis pirmais spēlētājs. Rindu un kolonnu skaits, kuros zilo rūtiņu ir vairāk nekā melno, ir otrā spēlētāja iegūtie punkti. Uzvar tas spēlētājs, kurš ir ieguvis vairāk punktu. Kurš spēlētājs - pirmais vai otrais - vienmēr var uzvarēt?
LV.AMO.2022B.9.4
Is it possible to arrange the numbers
(A) \(1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13\);
(B) \(1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14\)
on a circle so that any two adjacent numbers differ by \(3\); \(4\) or \(5\)?
LV.AMO.2022B.9.4
Vai pa apli var uzrakstīt skaitļus
(A) 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13;
(B) 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14;
tā, lai katri divi blakus esoši skaitļi atšķirtos par \(3\); \(4\) vai \(5\)?
LV.AMO.2022B.9.5
The floor plan of the art museum shall is a rectangle of size (A) \(8 \times 9\); (B) \(9 \times 11\) squares, where one square corresponds to a single museum room. The director of the museum wants to create a visitor route that satisfies the following requirements:
- the route starts in one of the squares (rooms) at the edge of the rectangle;
- a visitor on his route can move from one square (room) to another square (room), if they share a common side.
- the visitor enters each square (room) exactly once during the route;
- the route ends in a square (room) at the edge of the rectangle and is located next to the square (room) that started the route.
Can the director of the museum create such route?
LV.AMO.2022B.9.5
Mākslas muzeja plānojums ir taisnstūris ar izmēriem (A) \(8 \times 9\); (B) \(9 \times 11\) rūtiņas, kur viena rūtiņa atbilst vienai muzeja telpai. Muzeja vadītājs vēlas izveidot apmeklētāju maršrutu, kuram izpildās šādas īpašības:
- maršruts sākas kādā no rūtiņām (telpām), kas atrodas pie taisnstūra malas;
- apmeklētājs no vienas rūtiņas (telpas) var pāriet uz citu rūtiņu (telpu), ja tām ir kopīga mala;
- apmeklētājs maršruta laikā apmeklē katru rūtiņu (telpu) tieši vienu reizi;
- maršruts beidzas rūtiņā (telpā), kas atrodas pie taisnstūra malas blakus maršruta sākuma rūtiņai (telpai).
Vai muzeja vadītājs var izveidot šādu maršrutu?
LV.AMO.2024.9.5
Ingai ir tālrunis ar šādu pogu izkārtojumu:
Viṇas draudzenes Zanes deviņciparu tālruņa numuram ir šādas īpašības:
- visi Zanes tālruņa numura cipari ir atšk̦irīgi;
- pirmie četri cipari ir sakārtoti augošā secībā un to attiecīgo pogu centri veido kvadrātu;
- pēdējo četru ciparu pogu centri arı̄ veido kvadrātu;
- Zanes tālruņa numurs dalās ar \(15\).
Cik ir tādu deviņciparu tālruņa numuru, kas varētu būt Zanes tālruņa numurs?
LV.AMO.2003.10.4
Rindā ir \(12\) krēslu; uz katra no tiem sēž pa skolēnam. Skolēniem vienu reizi atļauts piecelties un apsēsties citā kārtībā, pie tam katrs drīkst apsēsties vai nu iepriekšējā vietā, vai tieši blakus iepriekšējai vietai.
Cik dažādi skolēnu izvietojumi iespējami pēc pārkārtošanās?
LV.NOL.2010.10.4
Atrisināt naturālos skaitļos vienādojumu \(x^{3}=y!+2\).
LV.NOL.2013.10.4
Ansītis aprēķināja skaitļu \(2^{2013}\) un \(5^{2013}\) vērtības un iegūtos skaitļus uzrakstīja vienu aiz otra. Cik cipari uzrakstīti?
LV.NOL.2015.10.4
Vai eksistē tāds vesels skaitlis \(x\), ka visi skaitļi
(A) \(x,\ x+23,\ x+45,\ x+121\);
(B) \(x,\ x+23,\ x+46,\ x+121\)
ir veselu skaitļu pakāpes ar naturālu kāpinātāju, kas lielāks nekā \(1\) (kāpinātāji var būt dažādi)?
LV.NOL.2018.10.4
No cipariem \(1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9\), katru izmantojot divas reizes, izveidoti trīs sešciparu skaitļi. Ar kādu lielāko nuļļu skaitu var beigties trīs izveidoto skaitļu summa?
LV.VOL.2013.10.1
Pierādīt, ka vienādojumam \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{a^{2}+b^{2}}=\frac{1}{2}\) nav atrisinājuma naturālos skaitļos.
LV.AMO.2019.11.2
Divi spēlētāji pamīšus raksta uz tāfeles skaitļa \(216\) naturālos dalītājus. Katrā gājienā jāievēro šādi noteikumi:
- nedrīkst atkārtoti rakstīt jau uzrakstītu dalītāju;
- nedrīkst rakstīt dalītāju, kurš ir tieši \(2\) vai \(3\) reizes lielāks vai mazāks nekā kāds jau uzrakstītais dalītājs.
Zaudē tas spēlētājs, kurš nevar izdarīt gājienu. Kurš spēlētājs - pirmais vai otrais - vienmēr var uzvarēt?
LV.AMO.2019.12.4
Sporta nometnē ir \(100\) skolēni. Ar \(N\) apzīmējam, cik veidos šos \(100\) skolēnus var sadalīt \(50\) pāros (pāru secība un arī skolēnu secība pārī nav svarīga). Ar kādu lielāko trijnieka pakāpi dalās \(N\)?