2.3.0.0.0. Spēles
Dots, ka divi spēlētāji spēlē spēli, pārmaiņus izdarot. Jāizstrādā uzvarošā stratēģija kādam no spēlētājiem vai jānoskaidro, kurš no spēlētājiem uzvar, pareizi spēlējot. Šajā kategorijā neietilpst skaitļu teorijas spēles, kur gājieni ir veselu skaitļu vai to ciparu manipulācijas.
- Spēles ar simetriju
- Spēles modeļa veidošana
- Spēles ar priekšvēsturi. Eppa-Fērgusona teorēma
- Tīrie uzvarošās stratēģijas eksistences pierādījumi
- Spēles invariants
- Varbūtiskās spēles
- Nepārtrauktās spēles
LV.AMO.2003.7.3
Divi spēlētāji pamīšus raksta uz tāfeles pa vienam naturālam skaitlim no \(1\) līdz \(9\) ieskaitot. Nedrīkst rakstīt skaitļus, ar kuriem dalās kaut viens jau uzrakstīts skaitlis. Kas nevar izdarīt gājienu, zaudē.
Parādiet, kā tas, kas izdara pirmo gājienu, var uzvarēt.
LV.AMO.2019.7.2
Riņķis sadalīts \(15\) vienādās daļās (skat. 12.att.). Divi spēlētāji pamīšus tās aizkrāso. Vienā gājienā drīkst aizkrāsot vai nu vienu no šīm daļām, vai divas blakus esošas daļas. Spēlētājs, kurš nevar izdarīt gājienu, zaudē. Kurš spēlētājs - pirmais vai otrais - vienmēr var uzvarēt?
LV.AMO.2022B.7.4
There's a pile of candies on the table. Karlsson and Lillebror
take turns making moves, with Karlsson starting the game.
In one move, a player can remove from the pile and
eat either one or two candies. The player who eats the last candy wins.
Which player, can always win if there are initially
(A) \(6\) candies in the heap; (B) \(2022\) candies in the heap?
(Note: Karlsson and Lillebror are characters from A.Lindgren's
book Karlsson-on-the-Roof.)
LV.AMO.2022B.7.4
Uz galda ir kaudze ar konfektēm. Karlsons un Brālītis pēc kārtas izdara gājienus, Karlsons sāk spēli. Vienā gājienā spēlētājs var paņemt no kaudzes un apēst vai nu vienu, vai divas konfektes. Uzvar tas spēlētājs, kurš apēd pēdējo konfekti. Kurš spēlētājs, pareizi spēlējot, vienmēr var uzvarēt, ja sākumā kaudzē ir (A) \(6\) konfektes; (B) \(2022\) konfektes?
LV.AMO.2011.8.5
Jānis un Anna spēlē šādu spēli. Uz tāfeles ir uzrakstīts naturāls skaitlis. Spēlētāji pēc kārtas veic gājienu: no uzrakstītā skaitļa atnem kādu šī skaitļa ciparu (izņemot \(0\)), nodzēš uz tāfeles esošo skaitli un tā vietā uzraksta iegūto starpību. Uzvar tas, kurš pēc sava gājiena iegūst nulli.
Sākumā ir uzrakstīts skaitlis \(2011\), pirmo gājienu izdara Anna. Kurš no spēlētājiem, pareizi spēlējot, uzvarēs? Apraksti, kā uzvarētājam jārīkojas!
LV.AMO.2016.8.5
Divi spēlētāji spēlē spēli uz \(N \times N\) rūtiņas liela laukuma. Sākumā laukuma kreisajā apakšējā rūtiņā atrodas spēļu kauliņš. Katrā gājienā spēļu kauliņu drīkst pārvietot vai nu vienu lauciņu pa labi, vai vienu lauciņu uz augšu, vai arī divus lauciņus pa diagonāli uz augšu pa labi (skat. 12.att., kur kauliņa sākumpozīcija apzīmēta ar baltu, bet atļautie gājieni -- ar pelēkiem aplīšiem). Kauliņu nedrīkst pārvietot ārpus laukuma robežām. Spēlētāji gājienus izdara pēc kārtas. Zaudē spēlētājs, kurš nevar izdarīt gājienu. Kurš no spēlētājiem, pareizi spēlējot, uzvar, ja (A) \(N=7\), (B) \(N=8\)?
LV.AMO.2016.8.5
Divi spēlētāji spēlē spēli uz \(N \times N\) rūtiņas liela laukuma. Sākumā laukuma kreisajā apakšējā rūtiņā atrodas spēļu kauliņš. Katrā gājienā spēļu kauliņu drīkst pārvietot vai nu vienu lauciņu pa labi, vai vienu lauciņu uz augšu, vai arī divus lauciņus pa diagonāli uz augšu pa labi (skat. 12.att., kur kauliņa sākumpozīcija apzīmēta ar baltu, bet atļautie gājieni -- ar pelēkiem aplīšiem). Kauliņu nedrīkst pārvietot ārpus laukuma robežām. Spēlētāji gājienus izdara pēc kārtas. Zaudē spēlētājs, kurš nevar izdarīt gājienu. Kurš no spēlētājiem, pareizi spēlējot, uzvar, ja (A) \(N=7\), (B) \(N=8\)?
LV.AMO.2019.8.2
Divi spēlētāji pamīšus izvieto kauliņus tabulas \(6 \times 6\) rūtiņās. Vienā gājienā var aizpildīt vai nu vienu tukšu rūtiņu, vai vairākas tukšas rūtiņas, kuras atrodas vai nu vienā rindā, vai vienā kolonnā. Tas spēlētājs, kas nevar izdarīt gājienu, zaudē. Kurš spēlētājs - pirmais vai otrais - vienmēr var uzvarēt?
LV.AMO.2003.9.5
Uz galda atrodas \(k\) konfektes. Andris un Juris pamīšus izdara gājienus: Andris - pirmo, trešo, piekto, \(\ldots\), Juris - otro, ceturto, sesto, \(\ldots\) . Ar \(n\)-to gājienu \((n=1,\ 2,\ 3,\ \ldots)\) jāapēd vismaz viena, bet ne vairāk par \(n\) konfektēm. Kas apēd pēdējo konfekti, uzvar.
Kurš uzvar, pareizi spēlējot, ja (A) \(k=8\), (B) \(k=64\)?
LV.AMO.2019.9.2
Divi spēlētāji pamīšus aizkrāso tabulas \(9 \times 9\) rūtiņas. Spēlētājs, kurš spēli sāk, krāso rūtiņas melnā krāsā, viņa pretinieks - zilā krāsā. Vienā gājienā drīkst aizkrāsot tieši vienu rūtiņu. Kad visas rūtiņas ir aizkrāsotas, tad saskaita, cik ir tādu rindu un kolonnu, kuros melno rūtiņu ir vairāk nekā zilo - tie ir punkti, kurus ieguvis pirmais spēlētājs. Rindu un kolonnu skaits, kuros zilo rūtiņu ir vairāk nekā melno, ir otrā spēlētāja iegūtie punkti. Uzvar tas spēlētājs, kurš ir ieguvis vairāk punktu. Kurš spēlētājs - pirmais vai otrais - vienmēr var uzvarēt?
LV.AMO.2019.11.2
Divi spēlētāji pamīšus raksta uz tāfeles skaitļa \(216\) naturālos dalītājus. Katrā gājienā jāievēro šādi noteikumi:
- nedrīkst atkārtoti rakstīt jau uzrakstītu dalītāju;
- nedrīkst rakstīt dalītāju, kurš ir tieši \(2\) vai \(3\) reizes lielāks vai mazāks nekā kāds jau uzrakstītais dalītājs.
Zaudē tas spēlētājs, kurš nevar izdarīt gājienu. Kurš spēlētājs - pirmais vai otrais - vienmēr var uzvarēt?