Tēma

1.0.0.0.0. Algebra

Visi uzdevumi par algebru

LV.AMO.2011.5.2

Dotās \(3 \times 3\) rūtiņu tabulas katrā rūtiņā jāieraksta pa vienam naturālam skaitlim tā, lai katrā rindā, katrā kolonnā un katrā diagonālē ierakstīto trīs skaitļu summas būtu vienādas. Ir zināmi trīs rūtiņās ierakstītie skaitļi (skat. 1.zīm.). Aizpildi pārējās tabulas rūtiņas!

LV.AMO.2014.5.1

Pūkainīšu ciemata bērniem Lieldienu zaķis atnesa olas. Katra no tām bija nokrāsota tieši vienā no krāsām- sarkanā, dzeltenā, zilā. Zināms, ka \(20 \%\) jeb \(40\) olas bija sarkanas, \(\frac{3}{4}\) no atlikušajām bija dzeltenas, bet pārējās- zilas. Aprēķini:

(A) Cik olas bija zilā krāsā?
(B) Kāda daļa no visām olām bija zilas?
(C) Cik procenti no visām olām bija dzeltenas?

LV.AMO.2022B.5.4

The balance scales (a), (b) and (c) are all in equilibrium. How many arrows should be put in the place of the question mark so that the balance scale (d) is also in equilibrium? Justify your answer!

LV.AMO.2022B.5.4

Zināms, ka svari (a), (b) un (c) atrodas līdzsvarā. Cik bultiņu jāliek jautājuma zīmes vietā, lai svari (d) atrastos līdzsvarā? Atbildi pamatot!

LV.AMO.2022B.5.5

Each of the three girls, Elina, Guna and Maruta likes some color - either green, yellow, or orange. Each girl likes a different color, and dislikes the remaining two colors. Exactly one of the following claims is known to be true:

Guna doesn't like orange;
Elina doesn't like green;
Elina doesn't like orange.

What colour does every girl like? Justify your answer!

LV.AMO.2022B.5.5

Katrai no trīs meitenēm Elīnai, Gunai un Marutai patīk viena no krāsām: zaļa, dzeltena, oranža (katrai cita krāsa), bet abas pārējās krāsas nepatīk. Zināms, ka tieši viens no apgalvojumiem ir patiess:

Gunai nepatīk oranža krāsa;
Elīnai nepatīk zaļa krāsa;
Elīnai nepatīk oranža krāsa.

Kāda krāsa patīk katrai meitenei? Atbildi pamatot!

LV.AMO.2023.5.1

Skaitļus no \(1\) līdz \(9\) ieraksti 1. att. redzamajos mazajos trijstūros (katrā trijstūrī citu naturālo skaitli) tā, lai blakus trijstūros ierakstītie skaitļi neatšķiras vairāk kā par \(3\).
Piezīme. Par blakus trijstūriem sauksim trijstūrus, kam ir kopīga mala.

LV.AMO.2023.5.5

Gunai bija četru veidu konfektes: 8 “Serenādes”, 14 “Lācīši Ķepainīši”, 20 “Vāverītes” un 26 “Sarkanās magones”. Katru no saviem dzimšanas dienas viesiem viņa uzcienāja ar tieši 3 dažādām konfektēm. Kāds ir lielākais iespējamais viesu skaits, kas bija ieradušies uz Gunas dzimšanas dienas svinībām?

LV.AMO.2011.6.5

Betai bija \(50\) konfektes, bet Almai un Danai bija vienāds konfekšu skaits. Beta pazaudēja vienu konfekti un noskuma. Almai kļuva Betas žēl, un viņa atdeva māsai pusi no savām konfektēm. Beta nomierinājās un nolēma, ka viņai tagad konfekšu ir par daudz un atdeva pusi no savām Danai. Arī Dana izlēma padalīties ar Almu un atdeva pusi no savām konfektēm Almai. Tagad Almai un Betai ir vienāds konfekšu skaits. Cik konfekšu sākumā bija katrai no māsām?

LV.AMO.2022B.6.3

On a dark autumn night, Maris decided to add up all the positive integers from \(1\) to \(n\), where \(n\) is some positive integer. Could it happen that Maris gets a sum whose last digit is
(A) \(8\), (B) \(9\)?

LV.AMO.2022B.6.3

Tumšā rudens vakarā Māris izdomāja saskaitīt visus naturālos skaitļus no \(1\) līdz \(n\), kur \(n\) ir kāds naturāls skaitlis. Vai var gadīties, ka Māris ieguva summu, kuras pēdējais cipars ir (A) \(8\), (B) \(9\)?

LV.AMO.2022B.6.4

The balance scales (a), (b) and (c) are known to be in equilibirum. How many circles should you put in place of the question mark so that the balance scale (d) is also in equilibrium? Justify your answer!

LV.AMO.2022B.6.4

Zināms, ka svari (a), (b) un (c) atrodas līdzsvarā. Cik aplīšu jāliek jautājuma zīmes vietā, lai svari (d) atrastos līdzsvarā? Atbildi pamatot!

LV.AMO.2022B.6.5

Some of \(273\) villagers always tell the truth, the remaining ones lie all the time. Each of the villagers has exactly one favourite day of the week. There was a poll of all the villagers, and they were asked to answer seven questions with either "Yes" or "No":

Question
Is Monday your favorite day?	\(\square\) Yes	\(\square\) No
Is Tuesday your favorite day?	\(\square\) Yes	\(\square\) No
Is Wednesday your favorite day?	\(\square\) Yes	\(\square\) No
Is Thursday your favorite day?	\(\square\) Yes	\(\square\) No
Is Friday your favorite day?	\(\square\) Yes	\(\square\) No
Is Saturday your favorite day?	\(\square\) Yes	\(\square\) No
Is Sunday your favorite day?	\(\square\) Yes	\(\square\) No

The number of "Yes" answers received to each question was as follows: Monday - \(51\), Tuesday - \(52\), Wednesday - \(53\), Thursday - \(55\), Friday - \(54\), Saturday - \(56\), Sunday - \(57\). How many villagers lie all the time?

LV.AMO.2022B.6.5

Daži no 273 ciema iedzīvotājiem visu laiku saka patiesību, pārējie visu laiku melo. Katram no ciema iedzīvotājiem ir tieši viena mīļākā nedēļas diena. Aptaujājot iedzīvotājus, viņiem tika lūgts atbildēt uz septiņiem jautājumiem, katrā no tiem izvēloties vienu no dotajām atbildēm:
bilde
Uz katru jautājumu saņemto apstiprinošo ("jā") atbilžu skaits bija šāds: pirmdiena – \(51\), otrdiena – \(52\), trešdiena – \(53\), ceturtdiena – \(54\), piektdiena – \(55\), sestdiena – \(56\), svētdiena – \(57\). Cik ciema iedzīvotāji visu laiku melo?

LV.AMO.2003.7.1

Dots, ka \(|x+y|+|x-y|=10\). Kāda ir lielākā iespējamā \(x\) vērtība?

LV.AMO.2006.7.1

Vilcienā Rīga-Mehiko vietas numurētas ar naturāliem skaitļiem, sākot ar \(1\) (numerācija ir vienota visam vilcienam, t.i., ir tikai viena vieta ar numuru \(1\), viena vieta ar numuru \(2\) utt; numuri piešķirti virzienā no lokomotīves uz vilciena "asti"). Visos vagonos ir vienāds vietu skaits. Vietas ar numuriem \(1996\) un \(2015\) ir vienā vagonā, bet vietas ar numuriem \(630\) un \(652\) - dažādos vagonos, kas pie tam nav blakus viens otram. Cik vietu ir katrā vagonā?

LV.AMO.2006.7.1

Vilcienā Rīga-Mehiko vietas numurētas ar naturāliem skaitļiem, sākot ar \(1\) (numerācija ir vienota visam vilcienam, t.i., ir tikai viena vieta ar numuru \(1\), viena vieta ar numuru \(2\) utt; numuri piešķirti virzienā no lokomotīves uz vilciena "asti"). Visos vagonos ir vienāds vietu skaits. Vietas ar numuriem \(1996\) un \(2015\) ir vienā vagonā, bet vietas ar numuriem \(630\) un \(652\) - dažādos vagonos, kas pie tam nav blakus viens otram. Cik vietu ir katrā vagonā?

LV.AMO.2007.7.3

Uz tāfeles sākumā uzrakstīti \(6\) divciparu naturāli skaitļi. Andris ar savu gājienu var pieskaitīt dažiem skaitļiem \(1\), bet pārējiem skaitļiem \(2\). (Var arī pieskaitīt visiem skaitļiem \(1\) vai visiem skaitļiem \(2\).) Pēc tam Maija ar savu gājienu var nodzēst jebkuru skaitli, kas dalās ar \(7\) vai kam ciparu summa dalās ar \(7\). Pēc tam gājienu izdara Andris, pēc tam - Maija, utt. Pierādīt, ka Maija var panākt, lai skaitļu uz tāfeles vairs nebūtu (pieņemsim, ka tiek spēlēts pietiekoši ilgi).

LV.AMO.2008.7.2

Dots, ka \(x\) un \(y\) - tādi naturāli skaitļi, ka \(x \cdot y=10^{12}\). Vai var būt, ka ne \(x\), ne \(y\) nesatur savā pierakstā nevienu ciparu \(0\)?

LV.AMO.2009.7.3

Tabula sastāv no \(3 \times 3\) rūtiņām. Rūtiņās ierakstīti naturāli skaitļi no \(1\) līdz \(9\) (katrā rūtiņā cits skaitlis). Skaitļu summas rindās un kolonnās visas ir dažādas.

Kāds lielākais daudzums šo summu var būt pirmskaitļi?

LV.AMO.2010.7.3

Ieraksti tabulas ar izmēriem \(4 \times 4\) rūtiņas katrā rūtiņā vienu naturālu skaitli tā, lai vienlaicīgi izpildītos šādas divas īpašības:

visi ierakstītie skaitļi ir dažādi;
jebkuru četru skaitļu, nekādi divi no kuriem neatrodas ne vienā rindā, nedz vienā kolonnā, summa ir \(2010\).

Pietiek parādīt vienu veidu, kā to var izdarīt.

LV.AMO.2013.7.3

Pierādīt, ka skaitlis \(1234567891011\ldots175176\) (pēc kārtas uzrakstīti visi naturālie skaitļi no \(1\) līdz \(176\)) nav naturāla skaitļa kvadrāts. (Skaitļa kvadrāts ir skaitļa reizinājums pašam ar sevi.)

LV.AMO.2014.7.3

Lelde apgalvo, ka sešas skrūves ir smagākas nekā septiņas naglas, bet Elīna apgalvo, ka septiņas skrūves ir smagākas nekā astoņas naglas. Zināms, ka vienai no meitenēm ir taisnība, bet otra kļūdās. Vai tiesa, ka \(18\) skrūves ir smagākas nekā (A) \(20\) naglas, (B) \(21\) nagla, (C) \(22\) naglas?
Visām skrūvēm svars ir vienāds, visām naglām arī.

LV.AMO.2014.7.3

Lelde apgalvo, ka sešas skrūves ir smagākas nekā septiņas naglas, bet Elīna apgalvo, ka septiņas skrūves ir smagākas nekā astoņas naglas. Zināms, ka vienai no meitenēm ir taisnība, bet otra kļūdās. Vai tiesa, ka \(18\) skrūves ir smagākas nekā (A) \(20\) naglas, (B) \(21\) nagla, (C) \(22\) naglas?
Visām skrūvēm svars ir vienāds, visām naglām arī.

LV.AMO.2014.7.4

Tabulas \(3 \times 3\) rūtiņās katrā rūtiņā jāieraksta pa vienam naturālam skaitlim tā, lai katrā rindā, katrā kolonnā un katrā diagonālē ierakstīto skaitļu summas būtu vienādas. Ir zināmi divās rūtiņās ierakstītie skaitļi (skat. 5.zīm.). Kādam skaitlim jābūt rūtiņā, kas apzīmēta ar jautājuma zīmi? Atrodiet visas iespējamās vērtības un pamatojiet, ka citu nav!

LV.AMO.2015.7.1

Deviņas vienādas cepures kopā maksā mazāk nekā \(10\) eiro, bet desmit tādas pašas vienādas cepures maksā vairāk nekā \(11\) eiro. Cik maksā viena cepure?

LV.AMO.2016.7.1

Dota lineāra funkcija \(y=2015x+2016\).

(A) Nosaki dotās funkcijas krustpunktus ar koordinātu asīm!
(B) Uzraksti vienādojumu lineārai funkcijai, kuras grafiks nekrusto dotās funkcijas grafiku un iet caur punktu \((1; 43)\)!

LV.AMO.2017.7.1

Automašīna \(2\) stundās nobrauca tikpat, cik velosipēdists \(5\) stundās un \(20\) minūtēs. Kāds ir katra transporta līdzekļa ātrums, ja velosipēdists brauc par \(45~\mathrm{km/h}\) lēnāk nekā automašīna un abi transporta līdzekļi pārvietojas ar nemainīgu ātrumu?

LV.AMO.2017.7.2

Katrā tukšajā lodziņā (skat. 12.att.) ieraksti vienu naturālu skaitli tā, lai figūrā būtu ierakstīti visi naturālie skaitļi no \(1\) līdz \(19\) un lai skaitļu summa visās joslās būtu viena un tā pati!

Piezīme. Visas iespējamās joslas skat. 13.att., tās var būt pagrieztas.

LV.AMO.2018.7.2

Skaitļu virkne tiek veidota pēc šāda likuma: ja \(x\) ir virknes loceklis, tad nākamo virknes locekli aprēķina pēc formulas \(\frac{1}{1-x}\). Virknes pirmais loceklis ir \(4\). Aprēķini iegūtās virknes \(2018.\) locekli un pirmo \(2018\) locekļu summu!

LV.AMO.2019.7.1

Dotas divas funkcijas \(f(x)=ax+b\) un \(g(x)=cx+d\). Zināms, ka katrai \(x\) vērtībai pastāv nevienādība \(f(x)>g(x)\). Noskaidrot, vai \((a-c)\) var būt pozitīvs, negatīvs skaitlis vai nulle!

LV.AMO.2022A.7.1

Attālināto mācību laikā skolēni iemācījās ļoti ātri atbildēt uz testa jautājumiem. Vilnis uz \(4\) jautājumiem var atbildēt \(30\) sekundēs, bet Raimonds uz pieciem jautājumiem var atbildēt \(40\) sekundēs. Skolotāja bija sagatavojusi testu ar ļoti daudz jautājumiem. Vilnim bija nepieciešama \(1\) stunda, lai atbildētu uz visiem šī testa jautājumiem. Cik ilgā laikā šo pašu testu izpildīja Raimonds?

LV.AMO.2022B.7.2

Do there exist (A) \(5\); (B) \(15\) positive integers (some of them may be equal) such that their sum equals their product?

LV.AMO.2022B.7.2

Vai var atrast (A) \(5\); (B) \(15\) naturālus skaitļus (ne obligāti dažādus), kuru summa ir vienāda ar to reizinājumu?

LV.AMO.2022B.7.5

Some of \(272\) villagers always tell the truth, the remaining ones lie all the time. Each of the villagers has exactly one favourite day of the week. There was a poll of all the villagers, and they were asked to answer seven questions with either "Yes" or "No":

The number of "Yes" answers received to each question was as follows: Monday - \(53\), Tuesday - \(54\), Wednesday - \(55\), Thursday - \(57\), Friday - \(56\), Saturday - \(58\), Sunday - \(59\). How many villagers lie all the time?

LV.AMO.2022B.7.5

Daži no \(272\) ciema iedzīvotājiem visu laiku saka patiesību, pārējie visu laiku melo. Katram no ciema iedzīvotājiem ir tieši viena mīļākā nedēļas diena. Aptaujājot iedzīvotājus, viņiem tika lūgts atbildēt uz septiņiem jautājumiem, katrā no tiem izvēloties vienu no dotajām atbildēm:

Uz katru jautājumu saņemto apstiprinošo ("jā") atbilžu skaits bija šāds: pirmdiena – \(53\), otrdiena – \(54\), trešdiena – \(55\), ceturtdiena – \(56\), piektdiena – \(57\), sestdiena – \(58\), svētdiena – \(59\). Cik ciema iedzīvotāju visu laiku melo?

LV.AMO.2024.7.1

Marta, Sandris un Linda vēlas sagatavot pulciņa telpu Ziemassvētku ballītei. Zināms, ka Marta viena pati to spētu izdarīt vienā stundā, Sandris to spētu pusotrā stundā, bet Linda to spētu izdarīt trīs stundās. Marta ieradās pulciņa telpā 16:00, Sandris \(10\) minūtēs vēlāk, bet Linda vēl 15 minūtes pēc Sandra (katrs pēc ierašanās uzreiz k̦ērās pie pulciņa telpas gatavošanas). Cikos pulciņa telpa bija gatava?

LV.AMO.2024.7.1

Marta, Sandris un Linda vēlas sagatavot pulciņa telpu Ziemassvētku ballītei. Zināms, ka Marta viena pati to spētu izdarīt vienā stundā, Sandris to spētu pusotrā stundā, bet Linda to spētu izdarīt trīs stundās. Marta ieradās pulciņa telpā 16:00, Sandris \(10\) minūtēs vēlāk, bet Linda vēl 15 minūtes pēc Sandra (katrs pēc ierašanās uzreiz k̦ērās pie pulciņa telpas gatavošanas). Cikos pulciņa telpa bija gatava?

LV.AMO.2024.7.5

Anita, Maija, Ināra un Sandra uzstājās koncertā. Katru dziesmu dziedāja 3 meitenes. Cik dziesmu meitenes nodziedāja pavisam, ja Anita dziedāja 7 dziesmas (vairāk nekā jebkura cita meitene), bet Sandra dziedāja 4 dziesmas (mazāk nekā jebkura cita meitene)?

LV.NOL.2007.7.1

Kurus naturālos skaitļus \(n\) var izsacīt formā \(n=\frac{x}{y}\), kur \(x=a^{5},\ y=b^{3}\), \(a\) un \(b\) - naturāli skaitļi?

LV.NOL.2008.7.1

Kurus naturālos skaitļus \(n\) var izsacīt formā \(n=\frac{x}{y}\), kur \(x=a^{3},\ y=b^{4},\ a\) un \(b\) - naturāli skaitļi?

LV.NOL.2009.7.1

Kurus naturālos skaitļus \(n\) var izsacīt formā \(n=\frac{x}{y}\), kur \(x=a^{3}, y=b^{5}\), \(a\) un \(b\) naturāli skaitļi?

LV.NOL.2011.7.1

Atrodiet skaitļa \(1^{2}+2^{2}+\cdots+99^{2}\) pēdējo ciparu.

LV.NOL.2011.7.5

Pilsētā, kurā dzīvo godīgie iedzīvotāji (kas vienmēr runā tikai taisnību) un blēži (kas vienmēr melo), notika domes vēlēšanas, kurās piedalījās visi pilsētas iedzīvotāji. Balsot varēja par kādu no četrām partijām \(A, B, C\) un \(D\), un katrs iedzīvotājs nobalsoja tieši par vienu partiju. Pirms rezultātu apkopošanas žurnālisti veica visu iedzīvotāju aptauju. Uz jautājumu "Vai jūs balsojāt par partiju \(A\)?" ar "Jā" atbildēja \(22\%\) pilsētas iedzīvotāju. Uz līdzīgu jautājumu par partiju "\(B\)" ar "Jā" atbildēja \(33\%\), par partiju "\(C\)" - \(44\%\), bet par partiju "\(D\)" \(55\%\) iedzīvotāju. Cik procenti pilsētas iedzīvotāju ir godīgie iedzīvotāji un cik blēži?

LV.NOL.2016.7.5

(A) Vai var atrast dažādus veselus skaitļus \(a, b, c\) un \(d\) tādus, ka izpildās vienādības \(a+b=cd\) un \(ab=c+d\) ?

(B) Vai šādus skaitļus var atrast, ja papildus zināms, ka \(a>2016\)?

LV.NOL.2024.7.5

Konditorejā nopērkamas \(10\) tortes, to cena ir attiecīgi \(20\); \(21\); \(22\); \(23\); \(24\); \(25\); \(26\); \(27\); \(28\); \(29\) eiro (katra torte ir tieši vienā eksemplārā). Konditorejā viens pēc otra iegriezās \(3\) gardēži, katrs no tiem nopirka sev dažas tortes, turklāt katrs iztērēja ne vairāk kā \(85\) eiro. Pierādīt, ka pēc gardēžu apmeklējuma vismaz viena torte vēl palika nenopirkta!

LV.AMO.2003.8.1

Vienādojumiem \(x^{2}+p_{1}x+q_{1}=0\), \(x^{2}+p_{2}x+q_{2}=0\) un \(x^{2}+p_{3}x+q_{3}=0\) ir attiecīgi saknes \(x_{0}\) un \(x_{1}\), \(x_{0}\) un \(x_{2}\), \(x_{0}\) un \(x_{3}\). Izteikt vienādojuma \(x^{2}+\frac{p_{1}+p_{2}+p_{3}}{3} x+\frac{q_{1}+q_{2}+q_{3}}{3}=0\) saknes ar \(x_{0},\ x_{1},\ x_{2}\) un \(x_{3}\), nelietojot kvadrātsaknes zīmi.

LV.AMO.2003.8.5

Uz katras no divām lapām jāuzraksta pa \(n\) veseliem pozitīviem skaitļiem. Visiem \(2n\) uzrakstītajiem skaitļiem jābūt dažādiem. Pie tam uz lapām uzrakstīto skaitļu summām jābūt vienādām savā starpā, un uzrakstīto skaitļu kvadrātu summām arī jābūt vienādām savā starpā.

Vai tas iespējams, ja (A) \(n=3\), (B) \(n=4\), (C) \(n=2003\)?

LV.AMO.2004.8.5

Virknē augošā kārtībā izrakstīti naturālie skaitļi no \(1\) līdz \(2004\) ieskaitot, katrs vienu reizi. Izsvītrojam no tās skaitļus, kas atrodas \(1.,\ 4.,\ 7.,\ 10.,\ \ldots\) vietās. No palikušās virknes atkal izsvītrojam skaitļus, kas tajā atrodas \(1.,\ 4.,\ 7.,\ \ldots\) vietās. Ar iegūto virkni rīkojamies tāpat, utt., kamēr paliek neizsvītrots viens skaitlis. Kurš tas ir?

LV.AMO.2008.8.3

Dots, ka \(n>1\) - naturāls skaitlis, kas nav pirmskaitlis. Pierādīt, ka var atrast vismaz trīs dažādus naturālus skaitļus \(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{k}\), kas apmierina sakarību \(a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{k}=n \cdot\left(\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\ldots+\frac{1}{a_{k}}\right)\).

LV.AMO.2014.8.2

Atrast visus naturālos skaitļus, kas nepārsniedz \(1000000\) un kuri, nosvītrojot to pirmo ciparu, samazinās \(15\) reizes!

LV.AMO.2014.8.5

Tabulas \(3 \times 3\) rūtiņās katrā rūtiņā jāieraksta pa vienam naturālam skaitlim tā, lai katrā rindā, katrā kolonnā un katrā diagonālē ierakstīto skaitļu summas būtu vienādas. Augšējās rindas vidējā rūtiņā ierakstīts skaitlis \(24\) (skat. 9.zīm.). Vai rūtiņā, kas apzīmēta ar jautājuma zīmi, var būt ierakstīts skaitlis (A) \(7\), (B) \(17\)?

LV.AMO.2015.8.1

Nosaki, vai izteiksmes \(\sqrt{6+2 \sqrt{5}}-\sqrt{6-2 \sqrt{5}}\) vērtība ir racionāls skaitlis!

LV.AMO.2015.8.1

Nosaki, vai izteiksmes \(\sqrt{6+2 \sqrt{5}}-\sqrt{6-2 \sqrt{5}}\) vērtība ir racionāls skaitlis!

LV.AMO.2015.8.3

Atrast vienu naturālu skaitli, kas lielāks nekā \(2015\) un ko nevar izteikt kā naturāla skaitļa kvadrāta un pirmskaitļa summu.

LV.AMO.2015.8.4

Divu taisnstūra paralēlskaldņu visu šķautņu garumi ir naturāli skaitļi. Pirmā paralēlskaldņa trīs dažādo skaldņu perimetri ir \(p_{1}\), \(q_{1}\), \(r_{1}\), bet otrā \(p_{2}\), \(q_{2}\), \(r_{2}\), turklāt \(p_{1} < p_{2}\), \(q_{1} < q_{2}\) un \(r_{1} < r_{2}\). Vai var apgalvot, ka pirmā paralēlskaldņa tilpums ir mazāks nekā otrā paralēlskaldņa tilpums?

LV.AMO.2015.8.4

Divu taisnstūra paralēlskaldņu visu šķautņu garumi ir naturāli skaitļi. Pirmā paralēlskaldņa trīs dažādo skaldņu perimetri ir \(p_{1}\), \(q_{1}\), \(r_{1}\), bet otrā \(p_{2}\), \(q_{2}\), \(r_{2}\), turklāt \(p_{1} < p_{2}\), \(q_{1} < q_{2}\) un \(r_{1} < r_{2}\). Vai var apgalvot, ka pirmā paralēlskaldņa tilpums ir mazāks nekā otrā paralēlskaldņa tilpums?

LV.AMO.2016.8.1

Aprēķini dotās izteiksmes vērtību!

\[\frac{2000016 \cdot 1999984}{5^{12} \cdot 2^{13}-128}\]

LV.AMO.2017.8.1

Vai uz taisnes \(y=72-5x\) ir punkts, kura (A) abscisa un ordināta ir vienādas; (B) ordināta ir divas reizes lielāka nekā abscisa?

LV.AMO.2017.8.2

Vai katrā tukšajā aplītī (skat. 17.att.) var ierakstīt vienu naturālu skaitli tā, lai aplīšos būtu ierakstīti visi naturālie skaitļi no \(1\) līdz \(9\) un lai skaitļu summa uz katras trijstūra malas būtu (A) \(22\); (B) \(23\)?

LV.AMO.2018.8.1

Vienkāršot izteiksmi \(\left(x^{2}-2 x+1\right)\left(x^{4}+1\right)^{2}\left(x^{2}+2x+1\right)\left(x^{4}+2x^{2}+1\right)\).

LV.AMO.2018.8.2

Naturālu skaitļu virknes \(1;\ 8;\ 8;\ 64;\ 192;\ 432;\ \ldots\) katrs loceklis, sākot ar trešo, ir vienāds ar divu iepriekšējo locekļu nenulles ciparu reizinājumu. Kāds ir šīs virknes \(2018.\) loceklis?

LV.AMO.2018.8.4

Par maģisko kvadrātu sauc \(n \times n\) rūtiņu tabulu, kuras rūtiņās ierakstīti skaitļi no \(1\) līdz \(n^{2}\) tā, ka visās tabulas rindās, kolonnās un uz abām galvenajām diagonālēm rūtiņās ierakstīto skaitļu summas ir vienādas. (Katrs no skaitļiem ierakstīts tieši vienā rūtiņā.) Vai noteikti maģiskā kvadrāta centrālajā rūtiņā ir ierakstīts skaitlis \(\frac{n^{2}+1}{2}\), ja (A) \(n=3\), (B) \(n=5\)?

LV.AMO.2018.8.4

Par maģisko kvadrātu sauc \(n \times n\) rūtiņu tabulu, kuras rūtiņās ierakstīti skaitļi no \(1\) līdz \(n^{2}\) tā, ka visās tabulas rindās, kolonnās un uz abām galvenajām diagonālēm rūtiņās ierakstīto skaitļu summas ir vienādas. (Katrs no skaitļiem ierakstīts tieši vienā rūtiņā.) Vai noteikti maģiskā kvadrāta centrālajā rūtiņā ir ierakstīts skaitlis \(\frac{n^{2}+1}{2}\), ja (A) \(n=3\), (B) \(n=5\)?

LV.AMO.2019.8.1

Atjaunojot taisnu žogu, Raimonds izraka vecos žoga stabus, kuri atradās \(8\) metru attālumā viens no otra un kuru skaits bija nepāra skaitlis. Raimonds sanesa visus stabus pie vidējā, nesdams tos pa vienam un sākdams ar vienu no malējiem stabiem. Cik bija stabu, ja viņš nostaigāja \(840~\mathrm{m}\)?

LV.AMO.2019.8.1

Atjaunojot taisnu žogu, Raimonds izraka vecos žoga stabus, kuri atradās \(8\) metru attālumā viens no otra un kuru skaits bija nepāra skaitlis. Raimonds sanesa visus stabus pie vidējā, nesdams tos pa vienam un sākdams ar vienu no malējiem stabiem. Cik bija stabu, ja viņš nostaigāja \(840~\mathrm{m}\)?

LV.AMO.2023.8.1

Vai burtu vietā var ierakstīt sešus dažādus nenulles ciparus, lai dotā vienādība būtu patiesa un visas daļas būtu nesaīsināmas: \(\frac{A}{B} + \frac{C}{D} = \frac{E}{F}\).

LV.AMO.2023.8.4

Četru bērnu – Almas, Bruno, Cēzara un Dorotejas – tēvs mēdz bērniem iedot sīknaudu. Tā reiz tēvs saviem bērniem iedeva sīknaudu šādi:

Almai kādu naudas summu viena centa monētās;
Bruno mazāko naudas summu divu centu monētās, kas ir lielāka nekā Almai iedotā naudas summa;
Cēzaram mazāko naudas summu piecu centu monētās, kas ir lielāka nekā Bruno iedotā naudas summa;
Dorotejai mazāko naudas summu desmit centu monētās, kas ir lielāka nekā Cēzaram iedotā naudas summa.

Kāda ir (A) lielākā, (B) mazākā iespējamā starpība starp Dorotejai un Almai iedotajām naudas summām?

LV.AMO.2024.8.1

Doti trīs dažādi reāli skaitḷi. Zināms, ka aritmētiskais vidējais no divu mazāko skaitḷu aritmētiskā vidējā un divu lielāko skaitļu aritmētiskā vidējā ir vienāds ar visu trīs skaitḷu aritmētisko vidējo. Pie tam aritmētiskais vidējais no lielākā skaitḷa un mazākā skaitļa ir \(2024\). Nosakiet šo trīs skaitḷu summu!

LV.AMO.2024.8.2

Pa apli patvaļīgā secībā sarakstīti visi naturālie skaitḷi no \(1\) līdz \(10\). Pamatot, ka noteikti var atrast tādus trīs secīgus skaitļus, kuru summa būs vismaz \(17\).

LV.AMO.2024.8.2

Pa apli patvaļīgā secībā sarakstīti visi naturālie skaitḷi no \(1\) līdz \(10\). Pamatot, ka noteikti var atrast tādus trīs secīgus skaitļus, kuru summa būs vismaz \(17\).

LV.AMO.2024.8.3

Trīs burvji rituālā spēj pārveidot skaitļus, bet katrs no burvjiem prot tikai vienu burvestību:

pirmais burvis spēj atņemt no jebkura skaitḷa \(1\);
otrais burvis spēj izdalīt jebkuru skaitli ar \(2\);
trešais burvis spēj reizināt jebkuru skaitli ar \(3\).

Lai pārveidotu skaitli, burvji var pielietot savas burvestības jebkurā secībā, pat izlaižot citus burvjus. Bet katrs burvis savu burvestību katrā rituālā drīkst izmantot tikai \(5\) reizes, un starprezultātam jābūt veselam skaitlim, kas nepārsniedz \(9\). Vai burvji rituālā no skaitliem \(3,8,9,2,4\) var iegūt (A) \(3,3,3,3,3\); (B) \(5,5,5,5,5\)?

LV.NOL.2004.8.2

Ir zināms, ka skaitļa \(2^{200}\) decimālajā pierakstā ir \(61\) cipars. Cik daudziem no skaitļiem \(2^{1};\ 2^{2};\ 2^{3};\ \ldots;\ 2^{199};\ 2^{200}\) decimālais pieraksts sākas ar ciparu \(1\)?

LV.NOL.2005.8.1

Ir zināms, ka skaitļa \(2^{100}\) decimālajā pierakstā ir \(31\) cipars. Cik daudziem no skaitļiem \(2^{1};\ 2^{2};\ 2^{3};\ \ldots;\ 2^{99};\ 2^{100}\) decimālais pieraksts sākas ar ciparu \(1\)?

LV.NOL.2006.8.1

Ir zināms, ka visiem \(x\) pastāv vienādība \(x^{4}+64=\left(x^{2}-4x+8\right) \cdot A\), kur \(A\) ir izteiksme, kas izveidota no \(x\) un naturāliem skaitļiem ar saskaitīšanas, atņemšanas un reizināšanas operāciju palīdzību. Atrast \(A\).

LV.NOL.2008.8.1

Sešciparu naturālu skaitli sauc par laimīgu, ja kaut kādu \(3\) ciparu summa vienāda ar pārējo \(3\) ciparu summu. Divi viens otram sekojoši skaitļi ir laimīgi. Pierādīt, ka viens no tiem dalās ar \(10\).

LV.NOL.2009.8.1

Tabulā (skat. 4.zīm.) Katrīnai jāizvēlas \(4\) rūtiņas tā, ka katrā rindā un katrā kolonnā tika izvēlēta tieši viena rūtiņa. Pierādiet: neatkarīgi no tā, kuras \(4\) rūtiņas saskaņā ar šiem noteikumiem Katrīna izvēlēsies, tajās ierakstīto skaitļu summa būs \(64\).

LV.NOL.2010.8.1

Kuru no skaitļiem \(102^{2} \cdot 103^{2} \cdot \ldots \cdot 199^{2}\) un \(\left(102^{2}-1\right)\left(103^{2}-1\right) \ldots\left(199^{2}-1\right)\) sadalot pirmskaitļu reizinājumā, iegūst vairāk dažādu pirmskaitļu? Par cik vairāk?

(Paskaidrojums: \(24=2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3\) satur divus dažādus pirmskaitļus- \(2\) un \(3\).)

LV.NOL.2010.8.1

Kuru no skaitļiem \(102^{2} \cdot 103^{2} \cdot \ldots \cdot 199^{2}\) un \(\left(102^{2}-1\right)\left(103^{2}-1\right) \ldots\left(199^{2}-1\right)\) sadalot pirmskaitļu reizinājumā, iegūst vairāk dažādu pirmskaitļu? Par cik vairāk?

(Paskaidrojums: \(24=2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3\) satur divus dažādus pirmskaitļus- \(2\) un \(3\).)

LV.NOL.2011.8.2

Zināms, ka skaitlis \(1\) ir vienādojuma \(x^{2}+px+q=0\) sakne. Ar ko ir vienāda summa \(p+q\)?

LV.NOL.2012.8.1

Skaitli \(3999991\) uzrakstīt kā divu veselu skaitļu reizinājumu tā, lai katrs no reizinātājiem ir lielāks nekā \(1\).

LV.NOL.2013.8.1

Skaitli \(8999999\) uzraksti kā divu veselu skaitļu reizinājumu tā, lai katrs no reizinātājiem ir lielāks nekā \(1\).

LV.NOL.2013.8.4

Kvadrātā \(3 \times 3\) rūtiņas ieraksti deviņus dažādus naturālus skaitļus tā, lai katrā rindiņā ierakstīto skaitļu reizinājums un katrā kolonnā ierakstīto skaitļu reizinājums būtu viens un tas pats.

LV.AMO.2003.9.2

Kvadrāts sastāv no \(4 \times 4\) rūtiņām. Vai var tajās ierakstīt naturālus skaitļus no \(1\) līdz \(16\) (katrā rūtiņā - citu skaitli) tā, lai skaitļu summas visās rindās un kolonnās būtu dažādas un visas dalītos ar (A) \(4\), (B) \(8\)?

LV.AMO.2014.9.2

Doti četri dažādi cipari, neviens no tiem nav \(0\). Visu divciparu skaitļu, kurus var izveidot no šiem cipariem, summa ir \(1276\). Atrast dotos četrus ciparus!

LV.AMO.2014.9.4

Tabulas \(3 \times 3\) rūtiņās katrā rūtiņā jāieraksta pa vienam naturālam skaitlim tā, lai katrā rindā, katrā kolonnā un katrā diagonālē ierakstīto skaitļu summas būtu vienādas, bet visi tabulā ierakstītie skaitļi ir savā starpā atšķirīgi. Ir zināmi divās rūtiņās ierakstītie skaitļi (skat. 11.zīm.). Kāds ir mazākais skaitlis, kas var būt ierakstīts tabulas centrālajā rūtiņā?

LV.AMO.2014.9.5

Katram marsietim ir trīs rokas un dažas antenas. Visi marsieši sadevās rokās (katrs marsietis sadevās rokās ar \(3\) citiem marsiešiem tā, ka visas rokas bija aizņemtas). Izrādījās, ka katriem diviem marsiešiem, kas bija sadevuši rokās, antenu skaits atšķīrās tieši \(6\) reizes. Vai kopējais antenu skaits visiem marsiešiem var būt \(2014\)?

LV.AMO.2015.9.1

No visiem tādiem skaitļiem, kuru starpība ir \(2015\), noteikt tos divus, kuru reizinājums ir vismazākais!

LV.AMO.2015.9.3

Pierādi, ka \(x^{5}-5x^{3}+4x\) dalās ar \(120\), ja \(x\) ir vesels skaitlis!

LV.AMO.2015.9.5

Parādi, kā naturālos skaitļus no \(1\) līdz \(2n-1\) uzrakstīt rindā tā, ka visas blakus esošo skaitļu starpības (no lielākā skaitļa atņem mazāko) ir dažādas un skaitlis \(1\) ir vidējais (\(n\)-tais), ja (A) \(n=5\); (B) \(n=1008\).

LV.AMO.2016.9.1

Atrisināt nevienādību \(\frac{x-1}{x^{2}-4} \leq 0\).

LV.AMO.2016.9.4

Naturālu skaitļu virknes \(1; 2; 2; 4; 8; 32; 48; \ldots\) katrs loceklis, sākot ar trešo, ir vienāds ar divu iepriekšējo locekļu nenulles ciparu reizinājumu. Kāds ir šīs virknes \(2016.\) loceklis?

LV.AMO.2017.9.1

Vai uz parabolas \(y=x^{2}+6x+6\) ir punkts, kura (A) abscisa un ordināta ir vienādas; (B) ordināta ir trīs reizes lielāka nekā abscisa?

LV.AMO.2017.9.2

Pierādīt, ka \(x^{6}+y^{6}+\frac{2}{x^{3}y^{3}}-4 \geq 0\), ja \(x>0\), \(y>0\).

LV.AMO.2017.9.5

Atrisināt naturālos skaitļos vienādojumu \(x^{3}+(x+1)^{3}=(x+3)^{3}+1\).

LV.AMO.2018.9.1

Dots vienādojums \((a-3)x^{2}+5x-2=0\).
(A) Kādām \(a\) vērtībām vienādojumam ir tieši viena sakne?
(B) Kādām \(a\) vērtībām vienādojumam ir divas dažādas reālas saknes?

LV.AMO.2018.9.2

Cik dažādos veidos basketbolā var gūt \(18\) punktus, izmantojot tikai \(1\) punkta un \(3\) punktu metienus? Veidi, kas atšķiras tikai ar \(1\) punkta un \(3\) punktu metienu secību, tiek uzskatīti par dažādiem. Piemēram, \(4\) punktus var iegūt trīs dažādos veidos: \(4=1+1+1+1=1+3=3+1\).

LV.AMO.2019.9.5

Vai eksistē tāds kvadrātvienādojums ar veseliem koeficientiem, kuram ir sakne

\[(\sqrt{2020}-2 \sqrt{2019}+\sqrt{2018})(\sqrt{2020}+\sqrt{2019})(\sqrt{2019}+\sqrt{2018})(\sqrt{2020}+\sqrt{2018})?\]

LV.AMO.2019.9.5

Vai eksistē tāds kvadrātvienādojums ar veseliem koeficientiem, kuram ir sakne

\[(\sqrt{2020}-2 \sqrt{2019}+\sqrt{2018})(\sqrt{2020}+\sqrt{2019})(\sqrt{2019}+\sqrt{2018})(\sqrt{2020}+\sqrt{2018})?\]

LV.AMO.2022A.9.1

Sporta preču veikalā ir daži vienriteņi, daži divriteņi un daži trīsriteņi, turklāt zināms, ka divriteņu ir vairāk nekā trīsriteņu. Emīls iegāja veikalā un redzēja septiņus riteņu sēdekļus un trīspadsmit riepas. Cik vienriteņu ir sporta preču veikalā?

LV.AMO.2022A.9.4

Skaitļi \(a; b; c\) (tieši šādā secībā) veido aritmētisko progresiju. Pierādīt, ka skaitļi \(a^{2}-bc\); \(b^{2}-ac\); \(c^{2}-ab\) (tieši šādā secībā) arī veido aritmētisko progresiju!

LV.AMO.2022B.9.2

Is the inequality always true: \(x + \frac{9}{x} > y + \frac{9}{y}\), if (A) \(x > y > 0\), (B) \(x > y > 3\)?

LV.AMO.2022B.9.2

Vai noteikti \(x + \frac{9}{x} > y + \frac{9}{y}\), ja (A) \(x > y > 0\), (B) \(x > y > 3\)?

LV.AMO.2023.9.1

Uz tāfeles uzrakstīta daļa \(\frac{10}{2023}\). Katrā gājienā var izvēlēties patvaļīgu naturālu skaitli un vai nu pieskaitīt to gan daļas skaitītājam, gan saucējam, vai arī to reizināt ar daļas skaitītāju un saucēju. Vai, atkārtojot šādus gājienus, var iegūt daļu, kuras vērtība ir: (A) \(\frac{1}{10}\); (B) \(1\)?

LV.AMO.2023.9.4

Uz katras no \(36\) kartītēm uzrakstīts kāds naturāls skaitlis (daži no tiem var būt arī vienādi). Kartītes iespējams sadalīt deviņās grupās pa četrām kartītēm katrā tā, ka visās grupās uz kartītēm uzrakstīto skaitļu summas ir vienādas. Kā arī kartītes iespējams sadalīt četrās grupās pa deviņām kartītēm katrā tā, ka visās grupās uz kartītēm uzrakstīto skaitļu summas ir vienādas. Vai vienmēr visas kartītes var sadalīt sešās grupās pa sešām kartītēm katrā tā, ka visās grupās uz kartītēm uzrakstīto skaitļu summas ir vienādas?

LV.AMO.2024.9.1

Doti reāli skaitļi \(a\) un \(b\), kuriem

\[\frac{a}{a^{2}-5}=\frac{b}{5-b^{2}}=\frac{a b}{a^{2} b^{2}-5}.\]

Kāda var būt izteiksmes \(a^{4}+b^{4}\) vērtība, ja papildus zināms, ka \(a+b \neq 0\)?

LV.AMO.2024.9.1

Doti reāli skaitļi \(a\) un \(b\), kuriem

\[\frac{a}{a^{2}-5}=\frac{b}{5-b^{2}}=\frac{a b}{a^{2} b^{2}-5}.\]

Kāda var būt izteiksmes \(a^{4}+b^{4}\) vērtība, ja papildus zināms, ka \(a+b \neq 0\)?

LV.AMO.2024.9.2

Katrs no \(28\) klases skolēniem kontroldarbā saņēma atzīmi, kas ir vesels skaitlis robežās no \(0\) līdz \(10\) ballēm. Pamatot, ka vai nu vismaz \(4\) skolēniem ir vienāda atzīme, vai arī vismaz \(4\) skolēni ieguva atzīmi, kas ir augstāka nekā \(7\).

LV.AMO.2003.10.1

Vai noteikti \(x+\frac{4}{x}>y+\frac{4}{y}\), ja

(A) \(x>y>0\), (B) \(x>y>2\)?

LV.AMO.2003.10.3

Dots, ka \(n\) - vesels pozitīvs skaitlis un skaitļi \(2n+1\) un \(3n+1\) ir veselu skaitļu kvadrāti.

(A) atrodiet kaut vienu tādu \(n\),

(B) vai \(5n+3\) var būt pirmskaitlis?

LV.AMO.2010.10.4

Cik dažādos veidos skaitli \(2010\) var izteikt kā vismaz divu pēc kārtas sekojošu naturālu skaitļu summu? Saskaitāmo secība nav svarīga.

LV.AMO.2013.10.4

No pirmajiem \(100\) naturālajiem skaitļiem izvēlēts \(51\) skaitlis. Pierādīt, ka no tiem var izvēlēties divus, no kuriem viens dalās ar otru.

LV.AMO.2015.10.3

Atrast visus naturālos skaitļus, kas ir vienādi ar savu ciparu reizinājumu. (Par viencipara skaitļa ciparu reizinājumu sauc tā vienīgo ciparu.)

LV.AMO.2016.10.3

Aritmētiskās progresijas četri pēc kārtas ņemti locekļi ir veseli skaitļi \(A, B, C\) un \(D\). Pierādīt, ka \(A^{2}+2B^{2}+3C^{2}+4D^{2}\) var izteikt kā divu veselu skaitļu kvadrātu summu!

LV.AMO.2016.10.3

Aritmētiskās progresijas četri pēc kārtas ņemti locekļi ir veseli skaitļi \(A, B, C\) un \(D\). Pierādīt, ka \(A^{2}+2B^{2}+3C^{2}+4D^{2}\) var izteikt kā divu veselu skaitļu kvadrātu summu!

LV.AMO.2016.10.3

Aritmētiskās progresijas četri pēc kārtas ņemti locekļi ir veseli skaitļi \(A, B, C\) un \(D\). Pierādīt, ka \(A^{2}+2B^{2}+3C^{2}+4D^{2}\) var izteikt kā divu veselu skaitļu kvadrātu summu!

LV.AMO.2019.10.4

Kādām naturālām \(n\) vērtībām izteiksme \(n^{2}+n+19\) ir kāda naturāla skaitļa kvadrāts?

LV.NOL.2008.10.1

Atrodiet mazāko naturālo skaitli, ko var izsacīt gan kā \(15\), gan kā \(16\), gan kā \(17\) pēc kārtas ņemtu naturālu skaitļu summu.

LV.NOL.2010.10.2

Dots, ka \(a\) un \(b\) ir naturāli skaitļi, \(a^{2}\) dalās ar \(b\) un \(b^{2}\) dalās ar \(a\). Pierādīt, ka \((a-b)^{3}\) dalās ar \(a \cdot b\). Vai noteikti \((a-b)^{2}\) dalās ar \(a \cdot b\)?

LV.NOL.2010.10.4

Atrisināt naturālos skaitļos vienādojumu \(x^{3}=y!+2\).

LV.NOL.2014.10.2

Pierādīt, ka, izvēloties \(52\) no aritmētiskās progresijas \(1,\ 4,\ 7,\ 10,\ \ldots\) locekļiem, kas nepārsniedz \(300\), vienmēr starp šiem skaitļiem var atrast divus skaitļus, kuru summa ir \(302\).

LV.NOL.2015.10.3

Vairāku pēc kārtas sekojošu naturālu skaitļu summa ir \(177\). Kādas vērtības var pieņemt mazākais no šiem saskaitāmajiem?

LV.NOL.2016.10.1

Pierādīt, ka katram naturālam \(n\) ir patiesa vienādība \(1 \cdot 4+2 \cdot 7+3 \cdot 10+\cdots+n \cdot(3n+1)=n(n+1)^{2}\).

LV.VOL.2011.10.4

Dots polinoms \(f(x)\) ar veseliem koeficientiem. Vai iespējams, ka \(f(2011)=100\), bet \(f(11)=1000\)?

LV.VOL.2012.10.3

Naturāla skaitļa \(N\) decimālajā pierakstā izmantots tikai cipars \(6\). Pierādīt, ka skaitļa \(N^{2}\) decimālajā pierakstā nav cipara \(0\).

LV.VOL.2013.10.4

Dota Fibonači skaitļu virkne \(x_{1}=x_{2}=1, x_{i+2}=x_{i}+x_{i+1}\).

Pierādīt, ka šajā virknē ir bezgalīgi daudz skaitļu, kas nav naturāla skaitļa kvadrāti.

LV.AMO.2003.11.1

Dots, ka \(x,\ y,\ z\) - reāli skaitļi un

\[|x+y-z|+|x-y+z|+|-x+y+z|=2003\]

Kāda ir lielākā iespējamā \(z\) vērtība?

LV.AMO.2019.11.4

Zināms, ka vairāku naturālu skaitļu summa ir (A) \(2019\), (B) \(2020\). Kāds ir lielākais iespējamais šo skaitļu reizinājums?

LV.AMO.2023.11.1

Mārim bija četru veidu konfektes: 15 “Serenādes”, 25 “Lācīši Ķepainīši”, 35 “Vāverītes” un 45 “Sarkanās magones”. Katru no saviem dzimšanas dienas viesiem viņš uzcienāja ar tieši 3 dažādām konfektēm. Kāds ir lielākais iespējamais viesu skaits, kas bija ieradušies uz Māra dzimšanas dienas svinībām?

LV.VOL.2016.11.3

Pierādīt, ka katram naturālam skaitlim \(n(n>1)\) var atrast tādus naturālus skaitļus \(x\) un \(y(x \leq y)\), ka

\[\frac{1}{n}=\frac{1}{x(x+1)}+\frac{1}{(x+1)(x+2)}+\cdots+\frac{1}{y(y+1)}\]

LV.VOL.2016.11.3

Pierādīt, ka katram naturālam skaitlim \(n(n>1)\) var atrast tādus naturālus skaitļus \(x\) un \(y(x \leq y)\), ka

\[\frac{1}{n}=\frac{1}{x(x+1)}+\frac{1}{(x+1)(x+2)}+\cdots+\frac{1}{y(y+1)}\]