Aritmētiskā progresija. Ģeometriskā progresija. Rekurentas skaitļu virknes. Galīgas un bezgalīgas summas
On a dark autumn night, Maris decided to add up all the
positive integers from \(1\) to \(n\), where \(n\) is some positive integer.
Could it happen that Maris gets a sum whose last digit is
(A) \(8\), (B) \(9\)?
Tumšā rudens vakarā Māris izdomāja saskaitīt visus naturālos skaitļus no \(1\) līdz \(n\), kur \(n\) ir kāds naturāls skaitlis. Vai var gadīties, ka Māris ieguva summu, kuras pēdējais cipars ir (A) \(8\), (B) \(9\)?
Vilcienā Rīga-Mehiko vietas numurētas ar naturāliem skaitļiem, sākot ar \(1\) (numerācija ir vienota visam vilcienam, t.i., ir tikai viena vieta ar numuru \(1\), viena vieta ar numuru \(2\) utt; numuri piešķirti virzienā no lokomotīves uz vilciena "asti"). Visos vagonos ir vienāds vietu skaits. Vietas ar numuriem \(1996\) un \(2015\) ir vienā vagonā, bet vietas ar numuriem \(630\) un \(652\) - dažādos vagonos, kas pie tam nav blakus viens otram. Cik vietu ir katrā vagonā?
Vilcienā Rīga-Mehiko vietas numurētas ar naturāliem skaitļiem, sākot ar \(1\) (numerācija ir vienota visam vilcienam, t.i., ir tikai viena vieta ar numuru \(1\), viena vieta ar numuru \(2\) utt; numuri piešķirti virzienā no lokomotīves uz vilciena "asti"). Visos vagonos ir vienāds vietu skaits. Vietas ar numuriem \(1996\) un \(2015\) ir vienā vagonā, bet vietas ar numuriem \(630\) un \(652\) - dažādos vagonos, kas pie tam nav blakus viens otram. Cik vietu ir katrā vagonā?
Uz tāfeles sākumā uzrakstīti \(6\) divciparu naturāli skaitļi. Andris ar savu gājienu var pieskaitīt dažiem skaitļiem \(1\), bet pārējiem skaitļiem \(2\). (Var arī pieskaitīt visiem skaitļiem \(1\) vai visiem skaitļiem \(2\).) Pēc tam Maija ar savu gājienu var nodzēst jebkuru skaitli, kas dalās ar \(7\) vai kam ciparu summa dalās ar \(7\). Pēc tam gājienu izdara Andris, pēc tam - Maija, utt. Pierādīt, ka Maija var panākt, lai skaitļu uz tāfeles vairs nebūtu (pieņemsim, ka tiek spēlēts pietiekoši ilgi).
Tabula sastāv no \(3 \times 3\) rūtiņām. Rūtiņās ierakstīti naturāli skaitļi no \(1\) līdz \(9\) (katrā rūtiņā cits skaitlis). Skaitļu summas rindās un kolonnās visas ir dažādas.
Kāds lielākais daudzums šo summu var būt pirmskaitļi?
Pierādīt, ka skaitlis \(1234567891011\ldots175176\) (pēc kārtas uzrakstīti visi naturālie skaitļi no \(1\) līdz \(176\)) nav naturāla skaitļa kvadrāts. (Skaitļa kvadrāts ir skaitļa reizinājums pašam ar sevi.)
Skaitļu virkne tiek veidota pēc šāda likuma: ja \(x\) ir virknes loceklis, tad nākamo virknes locekli aprēķina pēc formulas \(\frac{1}{1-x}\). Virknes pirmais loceklis ir \(4\). Aprēķini iegūtās virknes \(2018.\) locekli un pirmo \(2018\) locekļu summu!
Atrodiet skaitļa \(1^{2}+2^{2}+\cdots+99^{2}\) pēdējo ciparu.
Virknē augošā kārtībā izrakstīti naturālie skaitļi no \(1\) līdz \(2004\) ieskaitot, katrs vienu reizi. Izsvītrojam no tās skaitļus, kas atrodas \(1.,\ 4.,\ 7.,\ 10.,\ \ldots\) vietās. No palikušās virknes atkal izsvītrojam skaitļus, kas tajā atrodas \(1.,\ 4.,\ 7.,\ \ldots\) vietās. Ar iegūto virkni rīkojamies tāpat, utt., kamēr paliek neizsvītrots viens skaitlis. Kurš tas ir?
Naturālu skaitļu virknes \(1;\ 8;\ 8;\ 64;\ 192;\ 432;\ \ldots\) katrs loceklis, sākot ar trešo, ir vienāds ar divu iepriekšējo locekļu nenulles ciparu reizinājumu. Kāds ir šīs virknes \(2018.\) loceklis?
Atjaunojot taisnu žogu, Raimonds izraka vecos žoga stabus, kuri atradās \(8\) metru attālumā viens no otra un kuru skaits bija nepāra skaitlis. Raimonds sanesa visus stabus pie vidējā, nesdams tos pa vienam un sākdams ar vienu no malējiem stabiem. Cik bija stabu, ja viņš nostaigāja \(840~\mathrm{m}\)?
Četru bērnu – Almas, Bruno, Cēzara un Dorotejas – tēvs mēdz bērniem iedot sīknaudu. Tā reiz tēvs saviem bērniem iedeva sīknaudu šādi:
Kāda ir (A) lielākā, (B) mazākā iespējamā starpība starp Dorotejai un Almai iedotajām naudas summām?
Ir zināms, ka skaitļa \(2^{200}\) decimālajā pierakstā ir \(61\) cipars. Cik daudziem no skaitļiem \(2^{1};\ 2^{2};\ 2^{3};\ \ldots;\ 2^{199};\ 2^{200}\) decimālais pieraksts sākas ar ciparu \(1\)?
Ir zināms, ka skaitļa \(2^{100}\) decimālajā pierakstā ir \(31\) cipars. Cik daudziem no skaitļiem \(2^{1};\ 2^{2};\ 2^{3};\ \ldots;\ 2^{99};\ 2^{100}\) decimālais pieraksts sākas ar ciparu \(1\)?
Sešciparu naturālu skaitli sauc par laimīgu, ja kaut kādu \(3\) ciparu summa vienāda ar pārējo \(3\) ciparu summu. Divi viens otram sekojoši skaitļi ir laimīgi. Pierādīt, ka viens no tiem dalās ar \(10\).
Parādi, kā naturālos skaitļus no \(1\) līdz \(2n-1\) uzrakstīt rindā tā, ka visas blakus esošo skaitļu starpības (no lielākā skaitļa atņem mazāko) ir dažādas un skaitlis \(1\) ir vidējais (\(n\)-tais), ja (A) \(n=5\); (B) \(n=1008\).
Naturālu skaitļu virknes \(1; 2; 2; 4; 8; 32; 48; \ldots\) katrs loceklis, sākot ar trešo, ir vienāds ar divu iepriekšējo locekļu nenulles ciparu reizinājumu. Kāds ir šīs virknes \(2016.\) loceklis?
Cik dažādos veidos basketbolā var gūt \(18\) punktus, izmantojot tikai \(1\) punkta un \(3\) punktu metienus? Veidi, kas atšķiras tikai ar \(1\) punkta un \(3\) punktu metienu secību, tiek uzskatīti par dažādiem. Piemēram, \(4\) punktus var iegūt trīs dažādos veidos: \(4=1+1+1+1=1+3=3+1\).
Skaitļi \(a; b; c\) (tieši šādā secībā) veido aritmētisko progresiju. Pierādīt, ka skaitļi \(a^{2}-bc\); \(b^{2}-ac\); \(c^{2}-ab\) (tieši šādā secībā) arī veido aritmētisko progresiju!
Cik dažādos veidos skaitli \(2010\) var izteikt kā vismaz divu pēc kārtas sekojošu naturālu skaitļu summu? Saskaitāmo secība nav svarīga.
No pirmajiem \(100\) naturālajiem skaitļiem izvēlēts \(51\) skaitlis. Pierādīt, ka no tiem var izvēlēties divus, no kuriem viens dalās ar otru.
Aritmētiskās progresijas četri pēc kārtas ņemti locekļi ir veseli skaitļi \(A, B, C\) un \(D\). Pierādīt, ka \(A^{2}+2B^{2}+3C^{2}+4D^{2}\) var izteikt kā divu veselu skaitļu kvadrātu summu!
Atrodiet mazāko naturālo skaitli, ko var izsacīt gan kā \(15\), gan kā \(16\), gan kā \(17\) pēc kārtas ņemtu naturālu skaitļu summu.
Pierādīt, ka, izvēloties \(52\) no aritmētiskās progresijas \(1,\ 4,\ 7,\ 10,\ \ldots\) locekļiem, kas nepārsniedz \(300\), vienmēr starp šiem skaitļiem var atrast divus skaitļus, kuru summa ir \(302\).
Vairāku pēc kārtas sekojošu naturālu skaitļu summa ir \(177\). Kādas vērtības var pieņemt mazākais no šiem saskaitāmajiem?
Pierādīt, ka katram naturālam \(n\) ir patiesa vienādība \(1 \cdot 4+2 \cdot 7+3 \cdot 10+\cdots+n \cdot(3n+1)=n(n+1)^{2}\).
Naturāla skaitļa \(N\) decimālajā pierakstā izmantots tikai cipars \(6\). Pierādīt, ka skaitļa \(N^{2}\) decimālajā pierakstā nav cipara \(0\).
Dota Fibonači skaitļu virkne \(x_{1}=x_{2}=1, x_{i+2}=x_{i}+x_{i+1}\).
Pierādīt, ka šajā virknē ir bezgalīgi daudz skaitļu, kas nav naturāla skaitļa kvadrāti.