Nepārtrauktas funkcijas, reālās analīzes metodes, robežas, atvasinājumi, integrāļi
Dota lineāra funkcija \(y=2015x+2016\).
(A) Nosaki dotās funkcijas krustpunktus ar koordinātu asīm!
(B) Uzraksti vienādojumu lineārai funkcijai, kuras grafiks nekrusto dotās
funkcijas grafiku un iet caur punktu \((1; 43)\)!
Automašīna \(2\) stundās nobrauca tikpat, cik velosipēdists \(5\) stundās un \(20\) minūtēs. Kāds ir katra transporta līdzekļa ātrums, ja velosipēdists brauc par \(45~\mathrm{km/h}\) lēnāk nekā automašīna un abi transporta līdzekļi pārvietojas ar nemainīgu ātrumu?
Dotas divas funkcijas \(f(x)=ax+b\) un \(g(x)=cx+d\). Zināms, ka katrai \(x\) vērtībai pastāv nevienādība \(f(x)>g(x)\). Noskaidrot, vai \((a-c)\) var būt pozitīvs, negatīvs skaitlis vai nulle!
Dots, ka \(n>1\) - naturāls skaitlis, kas nav pirmskaitlis. Pierādīt, ka var atrast vismaz trīs dažādus naturālus skaitļus \(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{k}\), kas apmierina sakarību \(a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{k}=n \cdot\left(\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\ldots+\frac{1}{a_{k}}\right)\).
Vai burtu vietā var ierakstīt sešus dažādus nenulles ciparus, lai dotā vienādība būtu patiesa un visas daļas būtu nesaīsināmas: \(\frac{A}{B} + \frac{C}{D} = \frac{E}{F}\).
Kuru no skaitļiem \(102^{2} \cdot 103^{2} \cdot \ldots \cdot 199^{2}\) un \(\left(102^{2}-1\right)\left(103^{2}-1\right) \ldots\left(199^{2}-1\right)\) sadalot pirmskaitļu reizinājumā, iegūst vairāk dažādu pirmskaitļu? Par cik vairāk?
(Paskaidrojums: \(24=2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3\) satur divus dažādus pirmskaitļus- \(2\) un \(3\).)
Pierādīt, ka katram naturālam skaitlim \(n(n>1)\) var atrast tādus naturālus skaitļus \(x\) un \(y(x \leq y)\), ka
\[\frac{1}{n}=\frac{1}{x(x+1)}+\frac{1}{(x+1)(x+2)}+\cdots+\frac{1}{y(y+1)}\]