Dalāmības pazīmes, kas pārbauda dalāmību vai kongruences, izmantojot skaitļa decimālpierakstu
What is the smallest positive integer that uses only the digits \(0\) and \(2\) in its notation and is divisible by \(15\)?
Kāds ir mazākais naturālais skaitlis, kura pierakstā izmantoti tikai cipari \(0\) un \(2\) un kurš dalās ar \(15\)?
What is the smallest positive integer that uses only the digits \(0\) and \(2\) in its notation and is divisible by \(15\)?
Kāds ir mazākais naturālais skaitlis, kura pierakstā izmantoti tikai cipari \(0\) un \(2\) un kurš dalās ar \(15\)?
What is the smallest positive integer that uses only the digits \(0\) and \(2\) in its notation and is divisible by \(15\)?
Kāds ir mazākais naturālais skaitlis, kura pierakstā izmantoti tikai cipari \(0\) un \(2\) un kurš dalās ar \(15\)?
Triju veselu pozitīvu skaitļu summa ir \(407\). Ar kādu lielāko daudzumu nuļļu var beigties šo skaitļu reizinājums?
Triju veselu pozitīvu skaitļu summa ir \(407\). Ar kādu lielāko daudzumu nuļļu var beigties šo skaitļu reizinājums?
Dots, ka \(x\) un \(y\) - tādi naturāli skaitļi, ka \(x \cdot y=10^{12}\). Vai var būt, ka ne \(x\), ne \(y\) nesatur savā pierakstā nevienu ciparu \(0\)?
Dots, ka \(x\) un \(y\) - tādi naturāli skaitļi, ka \(x \cdot y=10^{12}\). Vai var būt, ka ne \(x\), ne \(y\) nesatur savā pierakstā nevienu ciparu \(0\)?
Pierādīt, ka skaitlis \(1234567891011\ldots175176\) (pēc kārtas uzrakstīti visi naturālie skaitļi no \(1\) līdz \(176\)) nav naturāla skaitļa kvadrāts. (Skaitļa kvadrāts ir skaitļa reizinājums pašam ar sevi.)
Pierādīt, ka skaitlis \(1234567891011\ldots175176\) (pēc kārtas uzrakstīti visi naturālie skaitļi no \(1\) līdz \(176\)) nav naturāla skaitļa kvadrāts. (Skaitļa kvadrāts ir skaitļa reizinājums pašam ar sevi.)
Pierādīt, ka skaitlis \(1234567891011\ldots175176\) (pēc kārtas uzrakstīti visi naturālie skaitļi no \(1\) līdz \(176\)) nav naturāla skaitļa kvadrāts. (Skaitļa kvadrāts ir skaitļa reizinājums pašam ar sevi.)
(A) Atrast tādu naturālu skaitli, kura ciparu summa ir \(13\), pēdējie divi cipari ir \(13\) un kurš dalās ar \(13\).
(B) Vai var atrast tādu naturālu skaitli, kura ciparu summa ir \(11\), pēdējie divi cipari ir \(11\) un kurš dalās ar \(11\)?
(A) Atrast tādu naturālu skaitli, kura ciparu summa ir \(13\), pēdējie divi cipari ir \(13\) un kurš dalās ar \(13\).
(B) Vai var atrast tādu naturālu skaitli, kura ciparu summa ir \(11\), pēdējie divi cipari ir \(11\) un kurš dalās ar \(11\)?
(A) Atrast tādu naturālu skaitli, kura ciparu summa ir \(13\), pēdējie divi cipari ir \(13\) un kurš dalās ar \(13\).
(B) Vai var atrast tādu naturālu skaitli, kura ciparu summa ir \(11\), pēdējie divi cipari ir \(11\) un kurš dalās ar \(11\)?
The following text was written on the board: \(A869B\). Each of the letters \(A\) and \(B\) must be replaced by one digit (they may or may not be the same) so that the resulting five-digit number is divisible by \(15\). In how many ways can you do this?
Uz tāfeles bija uzrakstīts šāds teksts: \(A869B\). Katrs no burtiem \(A\) un \(B\) jāaizstāj ar vienu ciparu (tie var būt arī vienādi) tā, lai iegūtais piecciparu skaitlis dalītos ar \(15\). Cik dažādos veidos to var izdarīt?
The following text was written on the board: \(A869B\). Each of the letters \(A\) and \(B\) must be replaced by one digit (they may or may not be the same) so that the resulting five-digit number is divisible by \(15\). In how many ways can you do this?
Uz tāfeles bija uzrakstīts šāds teksts: \(A869B\). Katrs no burtiem \(A\) un \(B\) jāaizstāj ar vienu ciparu (tie var būt arī vienādi) tā, lai iegūtais piecciparu skaitlis dalītos ar \(15\). Cik dažādos veidos to var izdarīt?
The following text was written on the board: \(A869B\). Each of the letters \(A\) and \(B\) must be replaced by one digit (they may or may not be the same) so that the resulting five-digit number is divisible by \(15\). In how many ways can you do this?
Uz tāfeles bija uzrakstīts šāds teksts: \(A869B\). Katrs no burtiem \(A\) un \(B\) jāaizstāj ar vienu ciparu (tie var būt arī vienādi) tā, lai iegūtais piecciparu skaitlis dalītos ar \(15\). Cik dažādos veidos to var izdarīt?
Pierādīt, ka \(1004041\) nav pirmskaitlis.
Pierādīt, ka \(1004041\) nav pirmskaitlis.
Cik starp pirmajiem \(2013\) naturālajiem skaitļiem ir tādu skaitļu \(x\), ka skaitlis \(x(x+1)(x+2)\) dalās ar \(111\)?
Cik starp pirmajiem \(2013\) naturālajiem skaitļiem ir tādu skaitļu \(x\), ka skaitlis \(x(x+1)(x+2)\) dalās ar \(111\)?
Cik starp pirmajiem \(2014\) naturālajiem skaitļiem ir tādu skaitļu \(x\), ka skaitlis \(x(x+1)(x+2)\) dalās ar \(87\)?
Cik starp pirmajiem \(2014\) naturālajiem skaitļiem ir tādu skaitļu \(x\), ka skaitlis \(x(x+1)(x+2)\) dalās ar \(87\)?
Dots naturāls skaitlis, kas dalās ar \(99\) un kura pēdējais cipars nav \(0\). Pierādi, ka, uzrakstot šī skaitļa ciparus pretējā secībā, arī iegūst skaitli, kas dalās ar \(99\).
Dots naturāls skaitlis, kas dalās ar \(99\) un kura pēdējais cipars nav \(0\). Pierādi, ka, uzrakstot šī skaitļa ciparus pretējā secībā, arī iegūst skaitli, kas dalās ar \(99\).
Dots naturāls skaitlis, kas dalās ar \(99\) un kura pēdējais cipars nav \(0\). Pierādi, ka, uzrakstot šī skaitļa ciparus pretējā secībā, arī iegūst skaitli, kas dalās ar \(99\).
Dots naturāls skaitlis, kas dalās ar \(99\) un kura pēdējais cipars nav \(0\). Pierādi, ka, uzrakstot šī skaitļa ciparus pretējā secībā, arī iegūst skaitli, kas dalās ar \(99\).
Naturāla skaitļa \(x\) ciparu summu apzīmēsim ar \(S(x)\). Pieņemsim, ka \(n\) - tāds naturāls skaitlis, kam vienlaicīgi izpildās īpašības \(S(n)=10\) un \(S(5n)=5\).
(A) atrodiet kaut vienu tādu skaitli,
(B) vai tādu skaitļu ir bezgalīgi daudz?
(C) vai kāds no tādiem skaitļiem ir nepāra?
Naturāla skaitļa \(x\) ciparu summu apzīmēsim ar \(S(x)\). Pieņemsim, ka \(n\) - tāds naturāls skaitlis, kam vienlaicīgi izpildās īpašības \(S(n)=10\) un \(S(5n)=5\).
(A) atrodiet kaut vienu tādu skaitli,
(B) vai tādu skaitļu ir bezgalīgi daudz?
(C) vai kāds no tādiem skaitļiem ir nepāra?
Zināms, ka skaitlis dalās ar \(2016\) un ka visi tā cipari ir dažādi. Kāds ir lielākais ciparu skaits, kas var būt šajā skaitlī?
Zināms, ka skaitlis dalās ar \(2016\) un ka visi tā cipari ir dažādi. Kāds ir lielākais ciparu skaits, kas var būt šajā skaitlī?
Zināms, ka skaitlis dalās ar \(2016\) un ka visi tā cipari ir dažādi. Kāds ir lielākais ciparu skaits, kas var būt šajā skaitlī?
Zināms, ka skaitlis dalās ar \(2016\) un ka visi tā cipari ir dažādi. Kāds ir lielākais ciparu skaits, kas var būt šajā skaitlī?
Četrciparu skaitlim pārlika ciparus citā kārtībā. Pierādīt: sākotnējā un iegūtā skaitļa starpība dalās ar \(9\).
Četrciparu skaitlim pārlika ciparus citā kārtībā. Pierādīt: sākotnējā un iegūtā skaitļa starpība dalās ar \(9\).
Četrciparu skaitlim pārlika ciparus citā kārtībā. Pierādīt: sākotnējā un iegūtā skaitļa starpība dalās ar \(9\).
Piecciparu skaitlis \(B\) ir iegūts no mazāka piecciparu skaitļa \(A\), samainot vietām tā ciparus. Pierādīt, ka \(B-A\) dalās ar \(9\).
Piecciparu skaitlis \(B\) ir iegūts no mazāka piecciparu skaitļa \(A\), samainot vietām tā ciparus. Pierādīt, ka \(B-A\) dalās ar \(9\).
Piecciparu skaitlis \(B\) ir iegūts no mazāka piecciparu skaitļa \(A\), samainot vietām tā ciparus. Pierādīt, ka \(B-A\) dalās ar \(9\).
Vai naturāla skaitļa ciparu reizinājums var būt skaitlis \(\overline{aabbcc}\)? (Pieraksts \(\overline{kmn}\) nozīmē, ka skaitlī ir \(k\) simti, \(m\) desmiti un \(n\) vieni.)
Vai naturāla skaitļa ciparu reizinājums var būt skaitlis \(\overline{aabbcc}\)? (Pieraksts \(\overline{kmn}\) nozīmē, ka skaitlī ir \(k\) simti, \(m\) desmiti un \(n\) vieni.)
Karlīna uzrakstīja divus skaitļus, kuru pierakstā nav izmantots cipars \(0\). Katru ciparu viņa aizstāja ar burtu: dažādus ciparus - ar dažādiem burtiem, vienādus - ar vienādiem. Viens no uzrakstītajiem skaitļiem \(DUBĻUNNN\) dalās ar \(104\). Pierādi, ka otrais skaitlis \(BURBUĻUVANNA\) nedalās ar \(56\).
Karlīna uzrakstīja divus skaitļus, kuru pierakstā nav izmantots cipars \(0\). Katru ciparu viņa aizstāja ar burtu: dažādus ciparus - ar dažādiem burtiem, vienādus - ar vienādiem. Viens no uzrakstītajiem skaitļiem \(DUBĻUNNN\) dalās ar \(104\). Pierādi, ka otrais skaitlis \(BURBUĻUVANNA\) nedalās ar \(56\).
Vai var atrast tādus veselus skaitļus \(x, y\) un \(z\), ka \(x^{3}-2016xyz=120\) ?
Vai var atrast tādus veselus skaitļus \(x, y\) un \(z\), ka \(x^{3}-2016xyz=120\) ?
Pierādīt, ja \(x\) - naturāls skaitlis, tad \(x^{8}-x^{2}\) dalās ar \(252\).
Pierādīt, ja \(x\) - naturāls skaitlis, tad \(x^{8}-x^{2}\) dalās ar \(252\).
Ar naturālu skaitli atļauts veikt šādas darbības:
Vai, atkārtoti izpildot šīs darbības, no skaitļa \(30\) var iegūt skaitli \(2015\)?
Ar naturālu skaitli atļauts veikt šādas darbības:
Vai, atkārtoti izpildot šīs darbības, no skaitļa \(30\) var iegūt skaitli \(2015\)?
Desmitciparu skaitlī vienādus ciparus aizvietojot ar vienādiem burtiem, bet dažādus- ar dažādiem, ieguva vārdu MATEMĀTIKA (īsais " \(A\) " un garais " \(Ā\) " aizstāj atšķirīgus ciparus). Papildus zināms, ka skaitlis \(\overline{MA}\) dalās ar \(2\), \(\overline{MAT}\)- ar \(3\), \(\overline{MATE}\)- ar \(4\), \(\overline{\text { MATEM }}\)- ar \(5\), \(\overline{MATEM \bar{A}}\)- ar \(6\), \(\overline{MATEM \bar{A}T}\)- ar \(7\), \(\overline{MATEM \bar{A}TI}\)- ar \(8\), \(\overline{MATEM \bar{A}TIK}\)- ar \(9\), \(\overline{MATEM \bar{A}TIKA}\)- ar \(10\). Noteikt, kāds bija sākotnējais desmitciparu skaitlis!
Desmitciparu skaitlī vienādus ciparus aizvietojot ar vienādiem burtiem, bet dažādus- ar dažādiem, ieguva vārdu MATEMĀTIKA (īsais " \(A\) " un garais " \(Ā\) " aizstāj atšķirīgus ciparus). Papildus zināms, ka skaitlis \(\overline{MA}\) dalās ar \(2\), \(\overline{MAT}\)- ar \(3\), \(\overline{MATE}\)- ar \(4\), \(\overline{\text { MATEM }}\)- ar \(5\), \(\overline{MATEM \bar{A}}\)- ar \(6\), \(\overline{MATEM \bar{A}T}\)- ar \(7\), \(\overline{MATEM \bar{A}TI}\)- ar \(8\), \(\overline{MATEM \bar{A}TIK}\)- ar \(9\), \(\overline{MATEM \bar{A}TIKA}\)- ar \(10\). Noteikt, kāds bija sākotnējais desmitciparu skaitlis!
Desmitciparu skaitlī vienādus ciparus aizvietojot ar vienādiem burtiem, bet dažādus- ar dažādiem, ieguva vārdu MATEMĀTIKA (īsais " \(A\) " un garais " \(Ā\) " aizstāj atšķirīgus ciparus). Papildus zināms, ka skaitlis \(\overline{MA}\) dalās ar \(2\), \(\overline{MAT}\)- ar \(3\), \(\overline{MATE}\)- ar \(4\), \(\overline{\text { MATEM }}\)- ar \(5\), \(\overline{MATEM \bar{A}}\)- ar \(6\), \(\overline{MATEM \bar{A}T}\)- ar \(7\), \(\overline{MATEM \bar{A}TI}\)- ar \(8\), \(\overline{MATEM \bar{A}TIK}\)- ar \(9\), \(\overline{MATEM \bar{A}TIKA}\)- ar \(10\). Noteikt, kāds bija sākotnējais desmitciparu skaitlis!
Desmitciparu skaitlī vienādus ciparus aizvietojot ar vienādiem burtiem, bet dažādus- ar dažādiem, ieguva vārdu MATEMĀTIKA (īsais " \(A\) " un garais " \(Ā\) " aizstāj atšķirīgus ciparus). Papildus zināms, ka skaitlis \(\overline{MA}\) dalās ar \(2\), \(\overline{MAT}\)- ar \(3\), \(\overline{MATE}\)- ar \(4\), \(\overline{\text { MATEM }}\)- ar \(5\), \(\overline{MATEM \bar{A}}\)- ar \(6\), \(\overline{MATEM \bar{A}T}\)- ar \(7\), \(\overline{MATEM \bar{A}TI}\)- ar \(8\), \(\overline{MATEM \bar{A}TIK}\)- ar \(9\), \(\overline{MATEM \bar{A}TIKA}\)- ar \(10\). Noteikt, kāds bija sākotnējais desmitciparu skaitlis!
Desmitciparu skaitlī vienādus ciparus aizvietojot ar vienādiem burtiem, bet dažādus- ar dažādiem, ieguva vārdu MATEMĀTIKA (īsais " \(A\) " un garais " \(Ā\) " aizstāj atšķirīgus ciparus). Papildus zināms, ka skaitlis \(\overline{MA}\) dalās ar \(2\), \(\overline{MAT}\)- ar \(3\), \(\overline{MATE}\)- ar \(4\), \(\overline{\text { MATEM }}\)- ar \(5\), \(\overline{MATEM \bar{A}}\)- ar \(6\), \(\overline{MATEM \bar{A}T}\)- ar \(7\), \(\overline{MATEM \bar{A}TI}\)- ar \(8\), \(\overline{MATEM \bar{A}TIK}\)- ar \(9\), \(\overline{MATEM \bar{A}TIKA}\)- ar \(10\). Noteikt, kāds bija sākotnējais desmitciparu skaitlis!
No cipariem \(1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9\), katru izmantojot divas reizes, izveidoti trīs sešciparu skaitļi. Ar kādu lielāko nuļļu skaitu var beigties trīs izveidoto skaitļu summa?
No cipariem \(1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9\), katru izmantojot divas reizes, izveidoti trīs sešciparu skaitļi. Ar kādu lielāko nuļļu skaitu var beigties trīs izveidoto skaitļu summa?
Atrast visus pirmskaitļu pārus \((m, n)\), kuriem \(20m+18n=2018\).
Atrast visus pirmskaitļu pārus \((m, n)\), kuriem \(20m+18n=2018\).
Dots pirmskaitlis, kas satur vismaz \(4\) dažādus ciparus. Pierādīt, ka tā ciparus var pārkārtot citā secībā tā, lai jauniegūtais skaitlis nebūtu pirmskaitlis!
Dots pirmskaitlis, kas satur vismaz \(4\) dažādus ciparus. Pierādīt, ka tā ciparus var pārkārtot citā secībā tā, lai jauniegūtais skaitlis nebūtu pirmskaitlis!
Skaitļus \(a,\ b,\ c\) sauksim par skaistu trijnieku, ja tiem piemīt šādas īpašības:
Piemēram, skaists trijnieks ir \(8,\ 9,\ 10\).
(A) Atrast tādu skaistu trijnieku, kurā mazākais skaitlis ir lielāks nekā \(10\).
(B) Pierādīt, ka eksistē bezgalīgi daudz skaistu trijnieku!
Skaitļus \(a,\ b,\ c\) sauksim par skaistu trijnieku, ja tiem piemīt šādas īpašības:
Piemēram, skaists trijnieks ir \(8,\ 9,\ 10\).
(A) Atrast tādu skaistu trijnieku, kurā mazākais skaitlis ir lielāks nekā \(10\).
(B) Pierādīt, ka eksistē bezgalīgi daudz skaistu trijnieku!
Skaitļus \(a,\ b,\ c\) sauksim par skaistu trijnieku, ja tiem piemīt šādas īpašības:
Piemēram, skaists trijnieks ir \(8,\ 9,\ 10\).
(A) Atrast tādu skaistu trijnieku, kurā mazākais skaitlis ir lielāks nekā \(10\).
(B) Pierādīt, ka eksistē bezgalīgi daudz skaistu trijnieku!
Pierādīt, ka nevienai naturālai \(n\) vērtībai izteiksmes \(13^{n}+7^{n}+2019\) vērtība nav naturāla skaitļa kvadrāts!
Pierādīt, ka nevienai naturālai \(n\) vērtībai izteiksmes \(13^{n}+7^{n}+2019\) vērtība nav naturāla skaitļa kvadrāts!