4.4.0.0.0. Kongruence pēc moduļa
Modulārā aritmētika - saskaitīšana, atņemšana, reizināšana un kāpināšana pēc moduļa. Skaitļa multiplikatīvi inversais pēc dotā moduļa. Pazīstamas teorēmas par kongruencēm - M.Fermā teorēma, Eilera teorēma, Vilsona teorēma.
- Kongruences klases pēc fiksēta moduļa
- Aprēķini pēc moduļa
- Periodiskas atlikumu virknes
- Mazā Fermā un Eilera teorēmas
- Moduļa izvēle
- Lineāri kongruenču vienādojumi
- Ķīniešu atlikumu teorēma
LV.AMO.2014.5.2
Divu naturālu skaitļu pierakstā izmantoti tikai cipari \(2, 3, 7\) un \(8\). Vai var gadīties, ka viens skaitlis ir tieši trīs reizes lielāks nekā otrs skaitlis?
LV.AMO.2023.5.2
Doti divi skaitļi. Zināms, ka viens no tiem ir tieši septiņas reizes lielāks nekā otrs un katram no tiem ir vismaz divi cipari. Vai var gadīties, ka abu skaitļu pierakstā izmantoti tikai cipari (A) \(3\); \(4\); \(6\) un \(7\); (B) \(1\); \(2\) un \(3\)?
LV.AMO.2023.5.2
Doti divi skaitļi. Zināms, ka viens no tiem ir tieši septiņas reizes lielāks nekā otrs un katram no tiem ir vismaz divi cipari. Vai var gadīties, ka abu skaitļu pierakstā izmantoti tikai cipari (A) \(3\); \(4\); \(6\) un \(7\); (B) \(1\); \(2\) un \(3\)?
LV.AMO.2023.5.2
Doti divi skaitļi. Zināms, ka viens no tiem ir tieši septiņas reizes lielāks nekā otrs un katram no tiem ir vismaz divi cipari. Vai var gadīties, ka abu skaitļu pierakstā izmantoti tikai cipari (A) \(3\); \(4\); \(6\) un \(7\); (B) \(1\); \(2\) un \(3\)?
LV.AMO.2022B.6.3
On a dark autumn night, Maris decided to add up all the
positive integers from \(1\) to \(n\), where \(n\) is some positive integer.
Could it happen that Maris gets a sum whose last digit is
(A) \(8\), (B) \(9\)?
LV.AMO.2022B.6.3
Tumšā rudens vakarā Māris izdomāja saskaitīt visus naturālos skaitļus no \(1\) līdz \(n\), kur \(n\) ir kāds naturāls skaitlis. Vai var gadīties, ka Māris ieguva summu, kuras pēdējais cipars ir (A) \(8\), (B) \(9\)?
LV.AMO.2022B.6.3
On a dark autumn night, Maris decided to add up all the
positive integers from \(1\) to \(n\), where \(n\) is some positive integer.
Could it happen that Maris gets a sum whose last digit is
(A) \(8\), (B) \(9\)?
LV.AMO.2022B.6.3
Tumšā rudens vakarā Māris izdomāja saskaitīt visus naturālos skaitļus no \(1\) līdz \(n\), kur \(n\) ir kāds naturāls skaitlis. Vai var gadīties, ka Māris ieguva summu, kuras pēdējais cipars ir (A) \(8\), (B) \(9\)?
LV.AMO.2005.7.4
Triju veselu pozitīvu skaitļu summa ir \(407\). Ar kādu lielāko daudzumu nuļļu var beigties šo skaitļu reizinājums?
LV.AMO.2005.7.4
Triju veselu pozitīvu skaitļu summa ir \(407\). Ar kādu lielāko daudzumu nuļļu var beigties šo skaitļu reizinājums?
LV.AMO.2009.7.3
Tabula sastāv no \(3 \times 3\) rūtiņām. Rūtiņās ierakstīti naturāli skaitļi no \(1\) līdz \(9\) (katrā rūtiņā cits skaitlis). Skaitļu summas rindās un kolonnās visas ir dažādas.
Kāds lielākais daudzums šo summu var būt pirmskaitļi?
LV.AMO.2009.7.3
Tabula sastāv no \(3 \times 3\) rūtiņām. Rūtiņās ierakstīti naturāli skaitļi no \(1\) līdz \(9\) (katrā rūtiņā cits skaitlis). Skaitļu summas rindās un kolonnās visas ir dažādas.
Kāds lielākais daudzums šo summu var būt pirmskaitļi?
LV.AMO.2009.7.3
Tabula sastāv no \(3 \times 3\) rūtiņām. Rūtiņās ierakstīti naturāli skaitļi no \(1\) līdz \(9\) (katrā rūtiņā cits skaitlis). Skaitļu summas rindās un kolonnās visas ir dažādas.
Kāds lielākais daudzums šo summu var būt pirmskaitļi?
LV.AMO.2011.7.3
Atrodi naturālu skaitli, kuru, dalot ar \(2010\), atlikumā iegūst \(13\), bet, dalot ar \(2011\), atlikumā iegūst \(3\).
LV.AMO.2011.7.3
Atrodi naturālu skaitli, kuru, dalot ar \(2010\), atlikumā iegūst \(13\), bet, dalot ar \(2011\), atlikumā iegūst \(3\).
LV.AMO.2012.7.1
Vai var atrast tādus veselus skaitļus \(a\) un \(b\), kuriem izpildās vienādība
\[ab(3a+5b)=1234567\]
?LV.AMO.2012.7.1
Vai var atrast tādus veselus skaitļus \(a\) un \(b\), kuriem izpildās vienādība
\[ab(3a+5b)=1234567\]
?LV.AMO.2012.7.1
Vai var atrast tādus veselus skaitļus \(a\) un \(b\), kuriem izpildās vienādība
\[ab(3a+5b)=1234567\]
?LV.AMO.2014.7.2
Vai var atrast tādus veselus skaitļus \(a\) un \(b\), kuriem izpildās vienādība
\[a \cdot(3a+5b) \cdot 7b=7654321\]
?LV.AMO.2014.7.2
Vai var atrast tādus veselus skaitļus \(a\) un \(b\), kuriem izpildās vienādība
\[a \cdot(3a+5b) \cdot 7b=7654321\]
?LV.AMO.2014.7.2
Vai var atrast tādus veselus skaitļus \(a\) un \(b\), kuriem izpildās vienādība
\[a \cdot(3a+5b) \cdot 7b=7654321\]
?LV.NOL.2005.7.4
Naturālu skaitli \(n\) sauc par īpašu, ja tas ir vienāds ar četru savu dažādu dalītāju summu.
(A) atrodiet kaut vienu īpašu skaitli,
(B) pierādiet, ka īpašu skaitļu ir bezgalīgi daudz,
(C) pierādiet, ka visi īpaši skaitļi ir pāra.
LV.NOL.2005.7.4
Naturālu skaitli \(n\) sauc par īpašu, ja tas ir vienāds ar četru savu dažādu dalītāju summu.
(A) atrodiet kaut vienu īpašu skaitli,
(B) pierādiet, ka īpašu skaitļu ir bezgalīgi daudz,
(C) pierādiet, ka visi īpaši skaitļi ir pāra.
LV.NOL.2005.7.4
Naturālu skaitli \(n\) sauc par īpašu, ja tas ir vienāds ar četru savu dažādu dalītāju summu.
(A) atrodiet kaut vienu īpašu skaitli,
(B) pierādiet, ka īpašu skaitļu ir bezgalīgi daudz,
(C) pierādiet, ka visi īpaši skaitļi ir pāra.
LV.NOL.2011.7.1
Atrodiet skaitļa \(1^{2}+2^{2}+\cdots+99^{2}\) pēdējo ciparu.
LV.NOL.2011.7.1
Atrodiet skaitļa \(1^{2}+2^{2}+\cdots+99^{2}\) pēdējo ciparu.
LV.NOL.2015.7.3
Tabulā, kuras izmēri ir \(3 \times 3\) rūtiņas, katrā rūtiņā ierakstīts viens naturāls skaitlis, kas nepārsniedz \(10\), visi ierakstītie skaitļi ir dažādi. Katrām divām rūtiņām ar kopīgu malu aprēķina tajos ierakstīto skaitļu summu. Vai iespējams, ka visas iegūtās summas ir pirmskaitļi?
LV.NOL.2015.7.3
Tabulā, kuras izmēri ir \(3 \times 3\) rūtiņas, katrā rūtiņā ierakstīts viens naturāls skaitlis, kas nepārsniedz \(10\), visi ierakstītie skaitļi ir dažādi. Katrām divām rūtiņām ar kopīgu malu aprēķina tajos ierakstīto skaitļu summu. Vai iespējams, ka visas iegūtās summas ir pirmskaitļi?
LV.NOL.2015.7.3
Tabulā, kuras izmēri ir \(3 \times 3\) rūtiņas, katrā rūtiņā ierakstīts viens naturāls skaitlis, kas nepārsniedz \(10\), visi ierakstītie skaitļi ir dažādi. Katrām divām rūtiņām ar kopīgu malu aprēķina tajos ierakstīto skaitļu summu. Vai iespējams, ka visas iegūtās summas ir pirmskaitļi?
LV.AMO.2012.8.4
Pa apli uzrakstīti \(11\) veseli skaitļi. Jebkuru trīs pēc kārtas ņemtu skaitļu summa dalās ar \(5\). Pierādi, ka visi uzrakstītie skaitļi dalās ar \(5\) .
LV.AMO.2012.8.4
Pa apli uzrakstīti \(11\) veseli skaitļi. Jebkuru trīs pēc kārtas ņemtu skaitļu summa dalās ar \(5\). Pierādi, ka visi uzrakstītie skaitļi dalās ar \(5\) .
LV.AMO.2014.8.1
Skaitli \(\frac{1}{13}\) pārveidoja par bezgalīgu decimāldaļu un tajā izsvītroja \(2014.\) ciparu aiz komata.
Kurš skaitlis lielāks- sākotnējais vai iegūtais?
LV.AMO.2014.8.1
Skaitli \(\frac{1}{13}\) pārveidoja par bezgalīgu decimāldaļu un tajā izsvītroja \(2014.\) ciparu aiz komata.
Kurš skaitlis lielāks- sākotnējais vai iegūtais?
LV.AMO.2016.8.2
Vai var atrast tādus veselus skaitļus \(a\) un \(b\), ka \(ab(a+43b)=434343\) ?
LV.AMO.2016.8.2
Vai var atrast tādus veselus skaitļus \(a\) un \(b\), ka \(ab(a+43b)=434343\) ?
LV.AMO.2016.8.2
Vai var atrast tādus veselus skaitļus \(a\) un \(b\), ka \(ab(a+43b)=434343\) ?
LV.NOL.2006.8.3
Vai var izrakstīt rindā visus naturālos skaitļus no \(1\) līdz \(2006\) ieskaitot katru vienu reizi tā, lai katru \(3\) pēc kārtas uzrakstīto skaitļu summa dalītos ar \(4\)?
LV.NOL.2006.8.3
Vai var izrakstīt rindā visus naturālos skaitļus no \(1\) līdz \(2006\) ieskaitot katru vienu reizi tā, lai katru \(3\) pēc kārtas uzrakstīto skaitļu summa dalītos ar \(4\)?
LV.NOL.2006.8.3
Vai var izrakstīt rindā visus naturālos skaitļus no \(1\) līdz \(2006\) ieskaitot katru vienu reizi tā, lai katru \(3\) pēc kārtas uzrakstīto skaitļu summa dalītos ar \(4\)?
LV.NOL.2009.8.1
Tabulā (skat. 4.zīm.) Katrīnai jāizvēlas \(4\) rūtiņas tā, ka katrā rindā un katrā kolonnā tika izvēlēta tieši viena rūtiņa. Pierādiet: neatkarīgi no tā, kuras \(4\) rūtiņas saskaņā ar šiem noteikumiem Katrīna izvēlēsies, tajās ierakstīto skaitļu summa būs \(64\).
LV.NOL.2009.8.1
Tabulā (skat. 4.zīm.) Katrīnai jāizvēlas \(4\) rūtiņas tā, ka katrā rindā un katrā kolonnā tika izvēlēta tieši viena rūtiņa. Pierādiet: neatkarīgi no tā, kuras \(4\) rūtiņas saskaņā ar šiem noteikumiem Katrīna izvēlēsies, tajās ierakstīto skaitļu summa būs \(64\).
LV.NOL.2009.8.3
Atrodiet skaitļa \(113^{113}-19^{19}\) pēdējo ciparu.
LV.NOL.2009.8.3
Atrodiet skaitļa \(113^{113}-19^{19}\) pēdējo ciparu.
LV.NOL.2009.8.3
Atrodiet skaitļa \(113^{113}-19^{19}\) pēdējo ciparu.
LV.NOL.2015.8.1
Pierādi, \(ka\) (A) \(49^{5}+7^{9}\) dalās ar \(2\); (B) \(49^{5}-7^{9}\) dalās ar \(6\).
LV.NOL.2015.8.1
Pierādi, \(ka\) (A) \(49^{5}+7^{9}\) dalās ar \(2\); (B) \(49^{5}-7^{9}\) dalās ar \(6\).
LV.AMO.2012.9.1
Atrodi vienu skaitli, kuram ir tieši \(12\) veseli pozitīvi dalītāji.
LV.AMO.2012.9.1
Atrodi vienu skaitli, kuram ir tieši \(12\) veseli pozitīvi dalītāji.
LV.AMO.2012.9.3
Kvadrātvienādojuma \(x^{2}-507x+a=0\) saknes ir \(p^{2}\) un \(q\), kur \(p\) un \(q\) ir pirmskaitļi. Aprēķini \(a\) skaitlisko vērtību.
LV.AMO.2012.9.3
Kvadrātvienādojuma \(x^{2}-507x+a=0\) saknes ir \(p^{2}\) un \(q\), kur \(p\) un \(q\) ir pirmskaitļi. Aprēķini \(a\) skaitlisko vērtību.
LV.AMO.2012.9.4
Uz tāfeles uzrakstītas deviņas zvaigznītes * * * * *. Jānis ieraksta kādas zvaigznītes vietā jebkuru ciparu no \(1\) līdz \(9\). Pēc tam Pēteris jebkuru divu citu zvaigznīšu vietā ieraksta divus ciparus (tie var arī atkārtoties). Pēc tam vēl divas reizes viņi atkārto šo darbību. Pēteris uzvar, ja iegūtais deviņciparu skaitlis dalās ar \(37\). Vai Pēteris vienmēr var uzvarēt?
LV.AMO.2012.9.4
Uz tāfeles uzrakstītas deviņas zvaigznītes * * * * *. Jānis ieraksta kādas zvaigznītes vietā jebkuru ciparu no \(1\) līdz \(9\). Pēc tam Pēteris jebkuru divu citu zvaigznīšu vietā ieraksta divus ciparus (tie var arī atkārtoties). Pēc tam vēl divas reizes viņi atkārto šo darbību. Pēteris uzvar, ja iegūtais deviņciparu skaitlis dalās ar \(37\). Vai Pēteris vienmēr var uzvarēt?
LV.AMO.2012.10.1
Pierādi: ja \(p\) un \(14p^{2}+1\) ir pirmskaitļi, tad \(14p^{2}-1\) ir naturāla skaitļa kubs.
LV.AMO.2012.10.1
Pierādi: ja \(p\) un \(14p^{2}+1\) ir pirmskaitļi, tad \(14p^{2}-1\) ir naturāla skaitļa kubs.
LV.AMO.2014.10.4
Doti septiņi dažādi naturāli skaitļi; katriem diviem no dotajiem skaitļiem aprēķināja to summu. Kāds lielākais skaits no šīm summām var būt pirmskaitļi?
LV.AMO.2014.10.4
Doti septiņi dažādi naturāli skaitļi; katriem diviem no dotajiem skaitļiem aprēķināja to summu. Kāds lielākais skaits no šīm summām var būt pirmskaitļi?
LV.AMO.2014.10.4
Doti septiņi dažādi naturāli skaitļi; katriem diviem no dotajiem skaitļiem aprēķināja to summu. Kāds lielākais skaits no šīm summām var būt pirmskaitļi?
LV.AMO.2016.10.2
Vai var atrast tādus veselus skaitļus \(x, y\) un \(z\), ka \(x^{3}-2016xyz=120\) ?
LV.AMO.2016.10.2
Vai var atrast tādus veselus skaitļus \(x, y\) un \(z\), ka \(x^{3}-2016xyz=120\) ?
LV.AMO.2016.10.2
Vai var atrast tādus veselus skaitļus \(x, y\) un \(z\), ka \(x^{3}-2016xyz=120\) ?
LV.AMO.2016.10.2
Vai var atrast tādus veselus skaitļus \(x, y\) un \(z\), ka \(x^{3}-2016xyz=120\) ?
LV.AMO.2018.10.4
Pierādīt, ja \(x\) - naturāls skaitlis, tad \(x^{8}-x^{2}\) dalās ar \(252\).
LV.AMO.2018.10.4
Pierādīt, ja \(x\) - naturāls skaitlis, tad \(x^{8}-x^{2}\) dalās ar \(252\).
LV.NOL.2010.10.4
Atrisināt naturālos skaitļos vienādojumu \(x^{3}=y!+2\).
LV.NOL.2010.10.4
Atrisināt naturālos skaitļos vienādojumu \(x^{3}=y!+2\).
LV.NOL.2010.10.4
Atrisināt naturālos skaitļos vienādojumu \(x^{3}=y!+2\).
LV.NOL.2015.10.4
Vai eksistē tāds vesels skaitlis \(x\), ka visi skaitļi
(A) \(x,\ x+23,\ x+45,\ x+121\);
(B) \(x,\ x+23,\ x+46,\ x+121\)
ir veselu skaitļu pakāpes ar naturālu kāpinātāju, kas lielāks nekā \(1\) (kāpinātāji var būt dažādi)?
LV.NOL.2015.10.4
Vai eksistē tāds vesels skaitlis \(x\), ka visi skaitļi
(A) \(x,\ x+23,\ x+45,\ x+121\);
(B) \(x,\ x+23,\ x+46,\ x+121\)
ir veselu skaitļu pakāpes ar naturālu kāpinātāju, kas lielāks nekā \(1\) (kāpinātāji var būt dažādi)?
LV.NOL.2015.10.4
Vai eksistē tāds vesels skaitlis \(x\), ka visi skaitļi
(A) \(x,\ x+23,\ x+45,\ x+121\);
(B) \(x,\ x+23,\ x+46,\ x+121\)
ir veselu skaitļu pakāpes ar naturālu kāpinātāju, kas lielāks nekā \(1\) (kāpinātāji var būt dažādi)?
LV.NOL.2016.10.2
Pierādīt, ka no jebkuriem trim naturālu skaitļu kvadrātiem var izvēlēties divus tā, ka to summa vai starpība dalās ar \(5\).
LV.NOL.2016.10.2
Pierādīt, ka no jebkuriem trim naturālu skaitļu kvadrātiem var izvēlēties divus tā, ka to summa vai starpība dalās ar \(5\).
LV.VOL.2013.10.4
Dota Fibonači skaitļu virkne \(x_{1}=x_{2}=1, x_{i+2}=x_{i}+x_{i+1}\).
Pierādīt, ka šajā virknē ir bezgalīgi daudz skaitļu, kas nav naturāla skaitļa kvadrāti.
LV.VOL.2013.10.4
Dota Fibonači skaitļu virkne \(x_{1}=x_{2}=1, x_{i+2}=x_{i}+x_{i+1}\).
Pierādīt, ka šajā virknē ir bezgalīgi daudz skaitļu, kas nav naturāla skaitļa kvadrāti.
LV.VOL.2013.10.4
Dota Fibonači skaitļu virkne \(x_{1}=x_{2}=1, x_{i+2}=x_{i}+x_{i+1}\).
Pierādīt, ka šajā virknē ir bezgalīgi daudz skaitļu, kas nav naturāla skaitļa kvadrāti.
LV.VOL.2015.10.2
Pierādīt, ka katram naturālam \(n\) izteiksme \(3n^{5}+5n^{4}-8n\) dalās ar \(10\).
LV.VOL.2015.10.2
Pierādīt, ka katram naturālam \(n\) izteiksme \(3n^{5}+5n^{4}-8n\) dalās ar \(10\).
LV.VOL.2015.10.2
Pierādīt, ka katram naturālam \(n\) izteiksme \(3n^{5}+5n^{4}-8n\) dalās ar \(10\).
LV.VOL.2017.10.2
Dots pirmskaitlis, kas satur vismaz \(4\) dažādus ciparus. Pierādīt, ka tā ciparus var pārkārtot citā secībā tā, lai jauniegūtais skaitlis nebūtu pirmskaitlis!
LV.VOL.2017.10.2
Dots pirmskaitlis, kas satur vismaz \(4\) dažādus ciparus. Pierādīt, ka tā ciparus var pārkārtot citā secībā tā, lai jauniegūtais skaitlis nebūtu pirmskaitlis!
LV.VOL.2019.10.1
Pierādīt, ka visus naturālos skaitļus, kas lielāki nekā \(100\), var izteikt kā pirmskaitļa un salikta skaitļa summu!
LV.VOL.2019.10.1
Pierādīt, ka visus naturālos skaitļus, kas lielāki nekā \(100\), var izteikt kā pirmskaitļa un salikta skaitļa summu!
LV.VOL.2019.10.1
Pierādīt, ka visus naturālos skaitļus, kas lielāki nekā \(100\), var izteikt kā pirmskaitļa un salikta skaitļa summu!
LV.VOL.2019.10.3
Pierādīt, ka nevienai naturālai \(n\) vērtībai izteiksmes \(13^{n}+7^{n}+2019\) vērtība nav naturāla skaitļa kvadrāts!
LV.VOL.2019.10.3
Pierādīt, ka nevienai naturālai \(n\) vērtībai izteiksmes \(13^{n}+7^{n}+2019\) vērtība nav naturāla skaitļa kvadrāts!