Virkne ir definēta šādi:
\(\(x_1 = 9,\;x_2 = 161,\;x_{n+1}=18x_n - x_{n-1},\;\mbox{ja \)n \geq 2\(}.\)\( Pierādiet, ka skaitlis \)x_n^2 - 1\( dalās ar \)5\( visiem naturāliem skaitļiem \)n\).
Virkne ir definēta šādi:
\(\(a_0=a_1 = 1,\;a_{n+1}=a_{n-1}a_n + 1,\;\mbox{ja \)n \geq 1\(}.\)\( Pierādiet, ka skaitlis \)a_{1964}\( nedalās ar \)4\).
Skaitļu virkne ir definēta ar formulu \(a_n = 3(n^2+n)+7\). Pierādiet, ka no jebkuriem pieciem pēc kārtas ņemtiem virknes locekļiem tieši viens dalās ar \(5\).
Pierādiet, ka Fibonači virknes
\(\(u_1=u_2=1,\;u_{n+2}=u_{n+1}+u_n,\;\mbox{ja \)n \geq 1\(}\)\( loceklis \)u_{5k}\( dalās ar \)5\( jebkurai naturālai \)k\) vērtībai.
Skaitļu virknē pirmais un otrais loceklis abi ir \(1\),
bet katrs nākošais vienāds ar abu iepriekšējo summu.
Vai ar \(5\) dalās šīs virknes
(A) \(21\)-ais,
(B) \(2000\)-ais loceklis?
Skaitļu virkni veido šādi:
\[a_1=1,\;a_{n+1}=3a_n+1,\;n=1,2,3,\ldots.\]
Noskaidrot, vai \(a_{1000}\) dalās ar \(11\).Atrast visus naturālos skaitļus \(n\), kuriem
(A) skaitlis \(2^n-1\) dalās ar \(7\);
(B) skaitlis \(2^n+1\) dalās ar 7.
Pierādiet, ka četri pēdējie skaitļa \(5^n\) cipari veido periodisku virkni, un atrodiet šīs virknes periodu. Vai šī virkne ir tīri periodiska?
Pieņemsim, ka \(2^n = 10a+b\), kur \(n,a,b \in \mathbb{N}\) un \(b < 10\). Pierādīt, ka skaitlis \(ab\) dalās ar \(6\).
Cik daudz ir tādu naturālu skaitļu \(x\), kuri nepārsniedz \(10000\), un, kuriem skaitlis \(2^x - x^2\) dalās ar \(7\)?
Vai skaitļa \(n^2 - 2^n\) pēdējais cipars var būt \(5\)?
Ciparu virkni veido sekojoši: divi pirmie cipari tajā ir \(2\) un \(3\), un ar katru kārtējo gājienu aprēķina abu pēdējo virknes ciparu reizinājumu un tā ciparus pievieno virknei. Tātad virknes sākums ir šāds:
\[2,\;3,\;6,\;1,\;8,\;8,\;6,\;4,\ldots\]
Vai šajā virknē ir sastopams cipars \(7\)?Naturālu skaitļu virkni \((a_n)\) definē šādi:
Pierādīt, ka šajā virknē
(A) bezgalīgi daudzi locekļi nedalās ar \(3\),
(B) bezgalīgi daudzi locekļi dalās ar \(3\).
Ar kādu ciparu beidzas visu naturālo skaitļu summa
(A) no \(1\) līdz \(9\) ieskaitot,
(B) no \(1\) līdz \(99\) ieskaitot?
Virknē izrakstīti \(1994\) cipari. Katru divu blakus uzrakstītu ciparu veidotais skaitlis dalās vai nu ar \(19\), vai ar \(21\). Pirmais cipars ir \(7\). Kāds ir pēdējais?
Vai, saskaitot visus naturālos skaitļus no \(1\)
līdz kādai vietai (nevienu neizlaižot),
var iegūt summu, kuras pēdējais cipars ir
(A) \(8\),
(B) \(7\)?
Dota virkne \(a_1=19\), \(a_2=98\), \(a_{n+2}\)
ir skaitļa \(a_{n+1}+a_n\) atlikums, dalot ar \(100\).
Aprēķināt skaitļa \(a_1^2+a_2^2+\ldots+a_{1998}^2\)
atlikumu, dalot ar \(8\).
Dots, ka \(n\)-ciparu skaitlis
\(\overline{a_1a_2a_3\ldots{}a_{n-1}a_n}\),
starp kura cipariem nav nuļļu, ir pirmskaitlis.
Ne visi tā cipari ir vienādi. Pierādīt, ka visi \(n\) skaitļi
\[\overline{a_1a_2a_3\ldots{}a_{n-1}a_n}, \overline{a_2a_3\ldots{}a_{n-1}a_na_1}, \overline{a_3\ldots{}a_{n-1}a_na_1a_2},\]
\[\ldots,\overline{a_{n-1}a_na_1a_2\ldots{}a_{n-2}}, \overline{a_na_1a_2\ldots{}a_{n-1}}\]
ir dažādi.Apzīmēsim ar \(x_n\) skaitļa \(n^n\) pēdējo ciparu. Pierādiet, ka virkne \((x_n)\) ir periodiska.
Apzīmēsim ar \(x_n\) skaitļa \(n^{n^n}\) pēdējo ciparu. Pierādiet, ka virkne \((x_n)\) ir periodiska, un atrodiet tās perioda garumu. Vai šī virkne ir tīri periodiska?
Atrodiet skaitļu \(1^8 - 1^2\), \(2^8 - 2^2\), \(\ldots\), \(n^8 - n^2\), \(\ldots\) lielāko kopīgo dalītāju.
Pierādiet, ka skaitļu virknē \(x_n = 2^n-3\) ir bezgalīgi daudz skaitļu, kas dalās ar \(5\), un bezgalīgi daudz skaitļu, kas dalās ar \(13\), bet virknē nav skaitļu, kas dalās ar \(65\).
Pierādiet, ka skaitlis \(20^{15}-1\) dalās ar \(11 \cdot 31 \cdot 61\).
Pierādiet apgalvojumu: ja \(a\) ir nepāra cipars, tad \(a^{36}\) dalās ar \(1976\).
Pierādiet apgalvojumu: ja \(p\) ir nepāra pirmskaitlis, tad visi skaitļa \(2^p-1\) naturālie dalītāji ir uzrakstāmi formā \(2pr+1\), \(r \in \mathbb{Z}\).
Pierādiet apgalvojumu: ja \(p\) ir pirmskaitlis, tad visi skaitļa \(2^p+1\) pirmreizinātāji, izņemot skaitli \(3\), ir uzrakstāmi formā \(2pr+1\), \(r \in \mathbb{Z}\).
Pierādiet, ka visi skaitļa \(2^{2^n}\) dalītāji ir izsakāmi formā
\(2^{n+1}r+1\), \(r \in \mathbb{Z}\).
Pierādiet, ka neeksistē tāds naturāls skaitlis \(n>1\), kuram \(2^n-1\) dalās ar \(n\).
Pierādiet, ka jebkuram naturālam \(n\) skaitļi \(n\) un \(2^{2^n}+1\) ir savstarpēji pirmskaitļi.