2.0.0.0.0. Kombinatorika
Visi uzdevumi par kombinatoriku
- Objektu skaitīšana
- Grafu uzdevumi
- Spēles
- Kombinatoriskas struktūras
- Kombinatoriski algoritmi
- Loģikas uzdevumi
- Diskrētās varbūtības
LV.AMO.2003.5.4
Vai kvadrātā, kas sastāv no \(4 \times 4\) rūtiņām, var katrā rūtiņā ierakstīt naturālu skaitli no \(1\) līdz \(16\) (tiem visiem jābūt dažādiem) tā, lai nekādi divi skaitļi, kas ierakstīti rūtiņās ar kopīgu malu, abi vienlaicīgi nedalītos ne ar vienu citu naturālu skaitli kā \(1\)?
LV.AMO.2003.5.4
Vai kvadrātā, kas sastāv no \(4 \times 4\) rūtiņām, var katrā rūtiņā ierakstīt naturālu skaitli no \(1\) līdz \(16\) (tiem visiem jābūt dažādiem) tā, lai nekādi divi skaitļi, kas ierakstīti rūtiņās ar kopīgu malu, abi vienlaicīgi nedalītos ne ar vienu citu naturālu skaitli kā \(1\)?
LV.AMO.2003.5.4
Vai kvadrātā, kas sastāv no \(4 \times 4\) rūtiņām, var katrā rūtiņā ierakstīt naturālu skaitli no \(1\) līdz \(16\) (tiem visiem jābūt dažādiem) tā, lai nekādi divi skaitļi, kas ierakstīti rūtiņās ar kopīgu malu, abi vienlaicīgi nedalītos ne ar vienu citu naturālu skaitli kā \(1\)?
LV.AMO.2011.5.4
Vai naturālos skaitļus no \(1\) līdz \(12\), katru izmantojot tieši vienu reizi, var uzrakstīt pa apli tādā secībā, ka jebkuru divu blakus esošu skaitļu starpība ir
(A) \(2\) vai \(3\);
(B) \(3\) vai \(4\)?
LV.AMO.2011.5.4
Vai naturālos skaitļus no \(1\) līdz \(12\), katru izmantojot tieši vienu reizi, var uzrakstīt pa apli tādā secībā, ka jebkuru divu blakus esošu skaitļu starpība ir
(A) \(2\) vai \(3\);
(B) \(3\) vai \(4\)?
LV.AMO.2011.5.5
Kvadrātā ar izmēriem \(7 \times 7\) rūtiņas jāizvieto \(n\) "stūrīšus" (2.zīm. attēlotās figūras) tā, lai tajā vairāk nevarētu ievietot nevienu citu šādu "stūrīti". (Stūrīšu malām jāiet pa rūtiņu malām. Stūrīši var arī būt pagriezti citādāk.)
Parādi, kā to var izdarīt, ja
(A) \(n=9\);
(B) \(n=8\).
LV.AMO.2011.5.5
Kvadrātā ar izmēriem \(7 \times 7\) rūtiņas jāizvieto \(n\) "stūrīšus" (2.zīm. attēlotās figūras) tā, lai tajā vairāk nevarētu ievietot nevienu citu šādu "stūrīti". (Stūrīšu malām jāiet pa rūtiņu malām. Stūrīši var arī būt pagriezti citādāk.)
Parādi, kā to var izdarīt, ja
(A) \(n=9\);
(B) \(n=8\).
LV.AMO.2011.5.5
Kvadrātā ar izmēriem \(7 \times 7\) rūtiņas jāizvieto \(n\) "stūrīšus" (2.zīm. attēlotās figūras) tā, lai tajā vairāk nevarētu ievietot nevienu citu šādu "stūrīti". (Stūrīšu malām jāiet pa rūtiņu malām. Stūrīši var arī būt pagriezti citādāk.)
Parādi, kā to var izdarīt, ja
(A) \(n=9\);
(B) \(n=8\).
LV.AMO.2023.5.4
Dots kvadrāts ar izmēriem \(n \times n\) rūtiņas.
Vienā gājienā kauliņu var pārlikt tieši \(2\) rūtiņas uz priekšu pa jebkuru
no diagonālēm, kas iziet no tā lauciņa, kurā atrodas kauliņš (skat. 4. att.,
kur kauliņš apzīmēts ar "o" un ar "x"
atzīmētas tās rūtiņas, uz kurām to drīkst pārvietot). Vai, veicot vairākus gājienus,
kauliņu no kreisās apakšējās
rūtiņas var pārvietot uz kreiso augšējo rūtiņu, ja kvadrāta izmēri ir:
(A) \(9 \times 9\); (B) \(10 \times 10\); (C) \(11 \times 11\)?
LV.AMO.2023.5.4
Dots kvadrāts ar izmēriem \(n \times n\) rūtiņas.
Vienā gājienā kauliņu var pārlikt tieši \(2\) rūtiņas uz priekšu pa jebkuru
no diagonālēm, kas iziet no tā lauciņa, kurā atrodas kauliņš (skat. 4. att.,
kur kauliņš apzīmēts ar "o" un ar "x"
atzīmētas tās rūtiņas, uz kurām to drīkst pārvietot). Vai, veicot vairākus gājienus,
kauliņu no kreisās apakšējās
rūtiņas var pārvietot uz kreiso augšējo rūtiņu, ja kvadrāta izmēri ir:
(A) \(9 \times 9\); (B) \(10 \times 10\); (C) \(11 \times 11\)?
LV.AMO.2023.5.4
Dots kvadrāts ar izmēriem \(n \times n\) rūtiņas.
Vienā gājienā kauliņu var pārlikt tieši \(2\) rūtiņas uz priekšu pa jebkuru
no diagonālēm, kas iziet no tā lauciņa, kurā atrodas kauliņš (skat. 4. att.,
kur kauliņš apzīmēts ar "o" un ar "x"
atzīmētas tās rūtiņas, uz kurām to drīkst pārvietot). Vai, veicot vairākus gājienus,
kauliņu no kreisās apakšējās
rūtiņas var pārvietot uz kreiso augšējo rūtiņu, ja kvadrāta izmēri ir:
(A) \(9 \times 9\); (B) \(10 \times 10\); (C) \(11 \times 11\)?
LV.AMO.2023.5.4
Dots kvadrāts ar izmēriem \(n \times n\) rūtiņas.
Vienā gājienā kauliņu var pārlikt tieši \(2\) rūtiņas uz priekšu pa jebkuru
no diagonālēm, kas iziet no tā lauciņa, kurā atrodas kauliņš (skat. 4. att.,
kur kauliņš apzīmēts ar "o" un ar "x"
atzīmētas tās rūtiņas, uz kurām to drīkst pārvietot). Vai, veicot vairākus gājienus,
kauliņu no kreisās apakšējās
rūtiņas var pārvietot uz kreiso augšējo rūtiņu, ja kvadrāta izmēri ir:
(A) \(9 \times 9\); (B) \(10 \times 10\); (C) \(11 \times 11\)?
LV.AMO.2003.6.2
Kvadrāts sastāv no \(n \times n\) rūtiņām; viena stūra rūtiņa izgriezta. Rūtiņas malas garums ir \(1\). Atlikušo daļu jāsadala taisnstūros ar izmēriem \(1 \times 2\) tā, lai pusei no tiem garākā mala ietu vienā virzienā, bet pusei - otrā. Vai to var izdarīt, ja (A) \(n=5\), (B) \(n=7\)?
LV.AMO.2003.6.2
Kvadrāts sastāv no \(n \times n\) rūtiņām; viena stūra rūtiņa izgriezta. Rūtiņas malas garums ir \(1\). Atlikušo daļu jāsadala taisnstūros ar izmēriem \(1 \times 2\) tā, lai pusei no tiem garākā mala ietu vienā virzienā, bet pusei - otrā. Vai to var izdarīt, ja (A) \(n=5\), (B) \(n=7\)?
LV.AMO.2003.6.2
Kvadrāts sastāv no \(n \times n\) rūtiņām; viena stūra rūtiņa izgriezta. Rūtiņas malas garums ir \(1\). Atlikušo daļu jāsadala taisnstūros ar izmēriem \(1 \times 2\) tā, lai pusei no tiem garākā mala ietu vienā virzienā, bet pusei - otrā. Vai to var izdarīt, ja (A) \(n=5\), (B) \(n=7\)?
LV.AMO.2003.6.2
Kvadrāts sastāv no \(n \times n\) rūtiņām; viena stūra rūtiņa izgriezta. Rūtiņas malas garums ir \(1\). Atlikušo daļu jāsadala taisnstūros ar izmēriem \(1 \times 2\) tā, lai pusei no tiem garākā mala ietu vienā virzienā, bet pusei - otrā. Vai to var izdarīt, ja (A) \(n=5\), (B) \(n=7\)?
LV.AMO.2003.6.4
Šaha turnīrā katrs spēlētājs ar katru citu spēlēja vienu reizi. Par uzvaru iegūst \(1\) punktu, par neizšķirtu \(\frac{1}{2}\) punkta, par zaudējumu - \(0\) punktus. Jānis, Pēteris, Andris un Juris ieguva attiecīgi \(4 \frac{1}{2}\), \(3 \frac{1}{2}\), \(3\) un \(1 \frac{1}{2}\) punktus; neviens no citiem spēlētājiem neieguva vairāk punktu nekā Juris. Cik bija citu spēlētāju un cik punktus viņi ieguva?
LV.AMO.2003.6.4
Šaha turnīrā katrs spēlētājs ar katru citu spēlēja vienu reizi. Par uzvaru iegūst \(1\) punktu, par neizšķirtu \(\frac{1}{2}\) punkta, par zaudējumu - \(0\) punktus. Jānis, Pēteris, Andris un Juris ieguva attiecīgi \(4 \frac{1}{2}\), \(3 \frac{1}{2}\), \(3\) un \(1 \frac{1}{2}\) punktus; neviens no citiem spēlētājiem neieguva vairāk punktu nekā Juris. Cik bija citu spēlētāju un cik punktus viņi ieguva?
LV.AMO.2003.6.4
Šaha turnīrā katrs spēlētājs ar katru citu spēlēja vienu reizi. Par uzvaru iegūst \(1\) punktu, par neizšķirtu \(\frac{1}{2}\) punkta, par zaudējumu - \(0\) punktus. Jānis, Pēteris, Andris un Juris ieguva attiecīgi \(4 \frac{1}{2}\), \(3 \frac{1}{2}\), \(3\) un \(1 \frac{1}{2}\) punktus; neviens no citiem spēlētājiem neieguva vairāk punktu nekā Juris. Cik bija citu spēlētāju un cik punktus viņi ieguva?
LV.AMO.2022B.6.1
All positive integers from \(1\) to \(2022\) are written on a piece of paper, each appearing once. First, Amanda circled all the numbers divisible by \(3\) in red. She then circled all the numbers divisible by \(5\) in blue. Finally, she circled all the numbers divisible by \(7\) in green. How many numbers are circled with at least two different colors?
LV.AMO.2022B.6.1
Uz papīra lapas uzrakstīti visi naturālie skaitļi no \(1\) līdz \(2022\) (katrs vienu reizi). Vispirms Amanda ar sarkanu zīmuli apvilka visus skaitļus, kas dalās ar \(3\). Tad viņa ar zilu zīmuli apvilka visus skaitļus, kas dalās ar \(5\). Un visbeidzot viņa ar zaļu zīmuli apvilka visus skaitļus, kas dalās ar \(7\). Cik ir tādu skaitļu, kas ir apvilkti ar vismaz divām dažādām krāsām?
LV.AMO.2022B.6.1
All positive integers from \(1\) to \(2022\) are written on a piece of paper, each appearing once. First, Amanda circled all the numbers divisible by \(3\) in red. She then circled all the numbers divisible by \(5\) in blue. Finally, she circled all the numbers divisible by \(7\) in green. How many numbers are circled with at least two different colors?
LV.AMO.2022B.6.1
Uz papīra lapas uzrakstīti visi naturālie skaitļi no \(1\) līdz \(2022\) (katrs vienu reizi). Vispirms Amanda ar sarkanu zīmuli apvilka visus skaitļus, kas dalās ar \(3\). Tad viņa ar zilu zīmuli apvilka visus skaitļus, kas dalās ar \(5\). Un visbeidzot viņa ar zaļu zīmuli apvilka visus skaitļus, kas dalās ar \(7\). Cik ir tādu skaitļu, kas ir apvilkti ar vismaz divām dažādām krāsām?
LV.AMO.2022B.6.1
All positive integers from \(1\) to \(2022\) are written on a piece of paper, each appearing once. First, Amanda circled all the numbers divisible by \(3\) in red. She then circled all the numbers divisible by \(5\) in blue. Finally, she circled all the numbers divisible by \(7\) in green. How many numbers are circled with at least two different colors?
LV.AMO.2022B.6.1
Uz papīra lapas uzrakstīti visi naturālie skaitļi no \(1\) līdz \(2022\) (katrs vienu reizi). Vispirms Amanda ar sarkanu zīmuli apvilka visus skaitļus, kas dalās ar \(3\). Tad viņa ar zilu zīmuli apvilka visus skaitļus, kas dalās ar \(5\). Un visbeidzot viņa ar zaļu zīmuli apvilka visus skaitļus, kas dalās ar \(7\). Cik ir tādu skaitļu, kas ir apvilkti ar vismaz divām dažādām krāsām?
LV.AMO.2022B.6.1
All positive integers from \(1\) to \(2022\) are written on a piece of paper, each appearing once. First, Amanda circled all the numbers divisible by \(3\) in red. She then circled all the numbers divisible by \(5\) in blue. Finally, she circled all the numbers divisible by \(7\) in green. How many numbers are circled with at least two different colors?
LV.AMO.2022B.6.1
Uz papīra lapas uzrakstīti visi naturālie skaitļi no \(1\) līdz \(2022\) (katrs vienu reizi). Vispirms Amanda ar sarkanu zīmuli apvilka visus skaitļus, kas dalās ar \(3\). Tad viņa ar zilu zīmuli apvilka visus skaitļus, kas dalās ar \(5\). Un visbeidzot viņa ar zaļu zīmuli apvilka visus skaitļus, kas dalās ar \(7\). Cik ir tādu skaitļu, kas ir apvilkti ar vismaz divām dažādām krāsām?
LV.AMO.2022B.6.5
Some of \(273\) villagers always tell the truth, the remaining ones lie all the time. Each of the villagers has exactly one favourite day of the week. There was a poll of all the villagers, and they were asked to answer seven questions with either "Yes" or "No":
| Question | ||
|---|---|---|
| Is Monday your favorite day? | \(\square\) Yes | \(\square\) No |
| Is Tuesday your favorite day? | \(\square\) Yes | \(\square\) No |
| Is Wednesday your favorite day? | \(\square\) Yes | \(\square\) No |
| Is Thursday your favorite day? | \(\square\) Yes | \(\square\) No |
| Is Friday your favorite day? | \(\square\) Yes | \(\square\) No |
| Is Saturday your favorite day? | \(\square\) Yes | \(\square\) No |
| Is Sunday your favorite day? | \(\square\) Yes | \(\square\) No |
The number of "Yes" answers received to each question was as follows: Monday - \(51\), Tuesday - \(52\), Wednesday - \(53\), Thursday - \(55\), Friday - \(54\), Saturday - \(56\), Sunday - \(57\). How many villagers lie all the time?
LV.AMO.2022B.6.5
Daži no 273 ciema iedzīvotājiem visu laiku saka patiesību,
pārējie visu laiku melo. Katram no ciema iedzīvotājiem
ir tieši viena mīļākā nedēļas diena. Aptaujājot iedzīvotājus,
viņiem tika lūgts atbildēt uz septiņiem jautājumiem,
katrā no tiem izvēloties vienu no dotajām atbildēm:
Uz katru jautājumu saņemto apstiprinošo ("jā") atbilžu skaits bija šāds:
pirmdiena – \(51\), otrdiena – \(52\),
trešdiena – \(53\), ceturtdiena – \(54\), piektdiena – \(55\),
sestdiena – \(56\), svētdiena – \(57\). Cik ciema iedzīvotāji visu laiku melo?
LV.AMO.2022B.6.5
Some of \(273\) villagers always tell the truth, the remaining ones lie all the time. Each of the villagers has exactly one favourite day of the week. There was a poll of all the villagers, and they were asked to answer seven questions with either "Yes" or "No":
| Question | ||
|---|---|---|
| Is Monday your favorite day? | \(\square\) Yes | \(\square\) No |
| Is Tuesday your favorite day? | \(\square\) Yes | \(\square\) No |
| Is Wednesday your favorite day? | \(\square\) Yes | \(\square\) No |
| Is Thursday your favorite day? | \(\square\) Yes | \(\square\) No |
| Is Friday your favorite day? | \(\square\) Yes | \(\square\) No |
| Is Saturday your favorite day? | \(\square\) Yes | \(\square\) No |
| Is Sunday your favorite day? | \(\square\) Yes | \(\square\) No |
The number of "Yes" answers received to each question was as follows: Monday - \(51\), Tuesday - \(52\), Wednesday - \(53\), Thursday - \(55\), Friday - \(54\), Saturday - \(56\), Sunday - \(57\). How many villagers lie all the time?
LV.AMO.2022B.6.5
Daži no 273 ciema iedzīvotājiem visu laiku saka patiesību,
pārējie visu laiku melo. Katram no ciema iedzīvotājiem
ir tieši viena mīļākā nedēļas diena. Aptaujājot iedzīvotājus,
viņiem tika lūgts atbildēt uz septiņiem jautājumiem,
katrā no tiem izvēloties vienu no dotajām atbildēm:
Uz katru jautājumu saņemto apstiprinošo ("jā") atbilžu skaits bija šāds:
pirmdiena – \(51\), otrdiena – \(52\),
trešdiena – \(53\), ceturtdiena – \(54\), piektdiena – \(55\),
sestdiena – \(56\), svētdiena – \(57\). Cik ciema iedzīvotāji visu laiku melo?
LV.AMO.2022B.6.5
Some of \(273\) villagers always tell the truth, the remaining ones lie all the time. Each of the villagers has exactly one favourite day of the week. There was a poll of all the villagers, and they were asked to answer seven questions with either "Yes" or "No":
| Question | ||
|---|---|---|
| Is Monday your favorite day? | \(\square\) Yes | \(\square\) No |
| Is Tuesday your favorite day? | \(\square\) Yes | \(\square\) No |
| Is Wednesday your favorite day? | \(\square\) Yes | \(\square\) No |
| Is Thursday your favorite day? | \(\square\) Yes | \(\square\) No |
| Is Friday your favorite day? | \(\square\) Yes | \(\square\) No |
| Is Saturday your favorite day? | \(\square\) Yes | \(\square\) No |
| Is Sunday your favorite day? | \(\square\) Yes | \(\square\) No |
The number of "Yes" answers received to each question was as follows: Monday - \(51\), Tuesday - \(52\), Wednesday - \(53\), Thursday - \(55\), Friday - \(54\), Saturday - \(56\), Sunday - \(57\). How many villagers lie all the time?
LV.AMO.2022B.6.5
Daži no 273 ciema iedzīvotājiem visu laiku saka patiesību,
pārējie visu laiku melo. Katram no ciema iedzīvotājiem
ir tieši viena mīļākā nedēļas diena. Aptaujājot iedzīvotājus,
viņiem tika lūgts atbildēt uz septiņiem jautājumiem,
katrā no tiem izvēloties vienu no dotajām atbildēm:
Uz katru jautājumu saņemto apstiprinošo ("jā") atbilžu skaits bija šāds:
pirmdiena – \(51\), otrdiena – \(52\),
trešdiena – \(53\), ceturtdiena – \(54\), piektdiena – \(55\),
sestdiena – \(56\), svētdiena – \(57\). Cik ciema iedzīvotāji visu laiku melo?
LV.AMO.2003.7.3
Divi spēlētāji pamīšus raksta uz tāfeles pa vienam naturālam skaitlim no \(1\) līdz \(9\) ieskaitot. Nedrīkst rakstīt skaitļus, ar kuriem dalās kaut viens jau uzrakstīts skaitlis. Kas nevar izdarīt gājienu, zaudē.
Parādiet, kā tas, kas izdara pirmo gājienu, var uzvarēt.
LV.AMO.2003.7.3
Divi spēlētāji pamīšus raksta uz tāfeles pa vienam naturālam skaitlim no \(1\) līdz \(9\) ieskaitot. Nedrīkst rakstīt skaitļus, ar kuriem dalās kaut viens jau uzrakstīts skaitlis. Kas nevar izdarīt gājienu, zaudē.
Parādiet, kā tas, kas izdara pirmo gājienu, var uzvarēt.
LV.AMO.2003.7.3
Divi spēlētāji pamīšus raksta uz tāfeles pa vienam naturālam skaitlim no \(1\) līdz \(9\) ieskaitot. Nedrīkst rakstīt skaitļus, ar kuriem dalās kaut viens jau uzrakstīts skaitlis. Kas nevar izdarīt gājienu, zaudē.
Parādiet, kā tas, kas izdara pirmo gājienu, var uzvarēt.
LV.AMO.2007.7.1
Kādu lielāko daudzumu dažādu ciparu var izrakstīt pa apli tā, lai katri divi blakus uzrakstīti cipari, lasot tos vienalga kādā virzienā, veidotu pirmskaitļa pierakstu?
LV.AMO.2007.7.1
Kādu lielāko daudzumu dažādu ciparu var izrakstīt pa apli tā, lai katri divi blakus uzrakstīti cipari, lasot tos vienalga kādā virzienā, veidotu pirmskaitļa pierakstu?
LV.AMO.2007.7.1
Kādu lielāko daudzumu dažādu ciparu var izrakstīt pa apli tā, lai katri divi blakus uzrakstīti cipari, lasot tos vienalga kādā virzienā, veidotu pirmskaitļa pierakstu?
LV.AMO.2007.7.1
Kādu lielāko daudzumu dažādu ciparu var izrakstīt pa apli tā, lai katri divi blakus uzrakstīti cipari, lasot tos vienalga kādā virzienā, veidotu pirmskaitļa pierakstu?
LV.NOL.2015.7.3
Tabulā, kuras izmēri ir \(3 \times 3\) rūtiņas, katrā rūtiņā ierakstīts viens naturāls skaitlis, kas nepārsniedz \(10\), visi ierakstītie skaitļi ir dažādi. Katrām divām rūtiņām ar kopīgu malu aprēķina tajos ierakstīto skaitļu summu. Vai iespējams, ka visas iegūtās summas ir pirmskaitļi?
LV.NOL.2015.7.3
Tabulā, kuras izmēri ir \(3 \times 3\) rūtiņas, katrā rūtiņā ierakstīts viens naturāls skaitlis, kas nepārsniedz \(10\), visi ierakstītie skaitļi ir dažādi. Katrām divām rūtiņām ar kopīgu malu aprēķina tajos ierakstīto skaitļu summu. Vai iespējams, ka visas iegūtās summas ir pirmskaitļi?
LV.NOL.2015.7.3
Tabulā, kuras izmēri ir \(3 \times 3\) rūtiņas, katrā rūtiņā ierakstīts viens naturāls skaitlis, kas nepārsniedz \(10\), visi ierakstītie skaitļi ir dažādi. Katrām divām rūtiņām ar kopīgu malu aprēķina tajos ierakstīto skaitļu summu. Vai iespējams, ka visas iegūtās summas ir pirmskaitļi?
LV.NOL.2015.7.3
Tabulā, kuras izmēri ir \(3 \times 3\) rūtiņas, katrā rūtiņā ierakstīts viens naturāls skaitlis, kas nepārsniedz \(10\), visi ierakstītie skaitļi ir dažādi. Katrām divām rūtiņām ar kopīgu malu aprēķina tajos ierakstīto skaitļu summu. Vai iespējams, ka visas iegūtās summas ir pirmskaitļi?
LV.AMO.2004.8.5
Virknē augošā kārtībā izrakstīti naturālie skaitļi no \(1\) līdz \(2004\) ieskaitot, katrs vienu reizi. Izsvītrojam no tās skaitļus, kas atrodas \(1.,\ 4.,\ 7.,\ 10.,\ \ldots\) vietās. No palikušās virknes atkal izsvītrojam skaitļus, kas tajā atrodas \(1.,\ 4.,\ 7.,\ \ldots\) vietās. Ar iegūto virkni rīkojamies tāpat, utt., kamēr paliek neizsvītrots viens skaitlis. Kurš tas ir?
LV.AMO.2004.8.5
Virknē augošā kārtībā izrakstīti naturālie skaitļi no \(1\) līdz \(2004\) ieskaitot, katrs vienu reizi. Izsvītrojam no tās skaitļus, kas atrodas \(1.,\ 4.,\ 7.,\ 10.,\ \ldots\) vietās. No palikušās virknes atkal izsvītrojam skaitļus, kas tajā atrodas \(1.,\ 4.,\ 7.,\ \ldots\) vietās. Ar iegūto virkni rīkojamies tāpat, utt., kamēr paliek neizsvītrots viens skaitlis. Kurš tas ir?
LV.AMO.2004.8.5
Virknē augošā kārtībā izrakstīti naturālie skaitļi no \(1\) līdz \(2004\) ieskaitot, katrs vienu reizi. Izsvītrojam no tās skaitļus, kas atrodas \(1.,\ 4.,\ 7.,\ 10.,\ \ldots\) vietās. No palikušās virknes atkal izsvītrojam skaitļus, kas tajā atrodas \(1.,\ 4.,\ 7.,\ \ldots\) vietās. Ar iegūto virkni rīkojamies tāpat, utt., kamēr paliek neizsvītrots viens skaitlis. Kurš tas ir?
LV.AMO.2004.8.5
Virknē augošā kārtībā izrakstīti naturālie skaitļi no \(1\) līdz \(2004\) ieskaitot, katrs vienu reizi. Izsvītrojam no tās skaitļus, kas atrodas \(1.,\ 4.,\ 7.,\ 10.,\ \ldots\) vietās. No palikušās virknes atkal izsvītrojam skaitļus, kas tajā atrodas \(1.,\ 4.,\ 7.,\ \ldots\) vietās. Ar iegūto virkni rīkojamies tāpat, utt., kamēr paliek neizsvītrots viens skaitlis. Kurš tas ir?
LV.AMO.2011.8.5
Jānis un Anna spēlē šādu spēli. Uz tāfeles ir uzrakstīts naturāls skaitlis. Spēlētāji pēc kārtas veic gājienu: no uzrakstītā skaitļa atnem kādu šī skaitļa ciparu (izņemot \(0\)), nodzēš uz tāfeles esošo skaitli un tā vietā uzraksta iegūto starpību. Uzvar tas, kurš pēc sava gājiena iegūst nulli.
Sākumā ir uzrakstīts skaitlis \(2011\), pirmo gājienu izdara Anna. Kurš no spēlētājiem, pareizi spēlējot, uzvarēs? Apraksti, kā uzvarētājam jārīkojas!
LV.AMO.2011.8.5
Jānis un Anna spēlē šādu spēli. Uz tāfeles ir uzrakstīts naturāls skaitlis. Spēlētāji pēc kārtas veic gājienu: no uzrakstītā skaitļa atnem kādu šī skaitļa ciparu (izņemot \(0\)), nodzēš uz tāfeles esošo skaitli un tā vietā uzraksta iegūto starpību. Uzvar tas, kurš pēc sava gājiena iegūst nulli.
Sākumā ir uzrakstīts skaitlis \(2011\), pirmo gājienu izdara Anna. Kurš no spēlētājiem, pareizi spēlējot, uzvarēs? Apraksti, kā uzvarētājam jārīkojas!
LV.AMO.2011.8.5
Jānis un Anna spēlē šādu spēli. Uz tāfeles ir uzrakstīts naturāls skaitlis. Spēlētāji pēc kārtas veic gājienu: no uzrakstītā skaitļa atnem kādu šī skaitļa ciparu (izņemot \(0\)), nodzēš uz tāfeles esošo skaitli un tā vietā uzraksta iegūto starpību. Uzvar tas, kurš pēc sava gājiena iegūst nulli.
Sākumā ir uzrakstīts skaitlis \(2011\), pirmo gājienu izdara Anna. Kurš no spēlētājiem, pareizi spēlējot, uzvarēs? Apraksti, kā uzvarētājam jārīkojas!
LV.AMO.2022B.8.4
Is it possible to arrange the numbers
(A) \(0;\;1;\;2;\;3;\;4;\;5;\;6;\;7;\;8;\;9\)
(B) \(0;\;1;\;2;\;3;\;4;\;5;\;6;\;7;\;8;\;9;\;10;\;11;\;12;\;13\)
around a circle so that any two adjacent numbers differ by \(3\), \(4\), or \(5\)?
LV.AMO.2022B.8.4
Vai pa apli var uzrakstīt skaitļus
(A) \(0;\;1;\;2;\;3;\;4;\;5;\;6;\;7;\;8;\;9\);
(B) \(0;\;1;\;2;\;3;\;4;\;5;\;6;\;7;\;8;\;9;\;10;\;11;\;12;\;13\);
tā, lai katri divi blakus esoši skaitļi atšķirtos par \(3\); \(4\) vai \(5\)?
LV.AMO.2022B.8.4
Is it possible to arrange the numbers
(A) \(0;\;1;\;2;\;3;\;4;\;5;\;6;\;7;\;8;\;9\)
(B) \(0;\;1;\;2;\;3;\;4;\;5;\;6;\;7;\;8;\;9;\;10;\;11;\;12;\;13\)
around a circle so that any two adjacent numbers differ by \(3\), \(4\), or \(5\)?
LV.AMO.2022B.8.4
Vai pa apli var uzrakstīt skaitļus
(A) \(0;\;1;\;2;\;3;\;4;\;5;\;6;\;7;\;8;\;9\);
(B) \(0;\;1;\;2;\;3;\;4;\;5;\;6;\;7;\;8;\;9;\;10;\;11;\;12;\;13\);
tā, lai katri divi blakus esoši skaitļi atšķirtos par \(3\); \(4\) vai \(5\)?
LV.AMO.2022B.8.4
Is it possible to arrange the numbers
(A) \(0;\;1;\;2;\;3;\;4;\;5;\;6;\;7;\;8;\;9\)
(B) \(0;\;1;\;2;\;3;\;4;\;5;\;6;\;7;\;8;\;9;\;10;\;11;\;12;\;13\)
around a circle so that any two adjacent numbers differ by \(3\), \(4\), or \(5\)?
LV.AMO.2022B.8.4
Vai pa apli var uzrakstīt skaitļus
(A) \(0;\;1;\;2;\;3;\;4;\;5;\;6;\;7;\;8;\;9\);
(B) \(0;\;1;\;2;\;3;\;4;\;5;\;6;\;7;\;8;\;9;\;10;\;11;\;12;\;13\);
tā, lai katri divi blakus esoši skaitļi atšķirtos par \(3\); \(4\) vai \(5\)?
LV.AMO.2022B.8.4
Is it possible to arrange the numbers
(A) \(0;\;1;\;2;\;3;\;4;\;5;\;6;\;7;\;8;\;9\)
(B) \(0;\;1;\;2;\;3;\;4;\;5;\;6;\;7;\;8;\;9;\;10;\;11;\;12;\;13\)
around a circle so that any two adjacent numbers differ by \(3\), \(4\), or \(5\)?
LV.AMO.2022B.8.4
Vai pa apli var uzrakstīt skaitļus
(A) \(0;\;1;\;2;\;3;\;4;\;5;\;6;\;7;\;8;\;9\);
(B) \(0;\;1;\;2;\;3;\;4;\;5;\;6;\;7;\;8;\;9;\;10;\;11;\;12;\;13\);
tā, lai katri divi blakus esoši skaitļi atšķirtos par \(3\); \(4\) vai \(5\)?
LV.NOL.2013.8.3
Cik ir tādu četrciparu skaitļu, kuru pierakstā ir vismaz viens pāra cipars?
LV.NOL.2013.8.3
Cik ir tādu četrciparu skaitļu, kuru pierakstā ir vismaz viens pāra cipars?
LV.NOL.2013.8.3
Cik ir tādu četrciparu skaitļu, kuru pierakstā ir vismaz viens pāra cipars?
LV.NOL.2013.8.3
Cik ir tādu četrciparu skaitļu, kuru pierakstā ir vismaz viens pāra cipars?
LV.NOL.2014.8.3
Cik ir tādu piecciparu skaitļu, kuru pierakstā ir vismaz viens nepāra cipars?
LV.NOL.2014.8.3
Cik ir tādu piecciparu skaitļu, kuru pierakstā ir vismaz viens nepāra cipars?
LV.NOL.2014.8.3
Cik ir tādu piecciparu skaitļu, kuru pierakstā ir vismaz viens nepāra cipars?
LV.NOL.2014.8.3
Cik ir tādu piecciparu skaitļu, kuru pierakstā ir vismaz viens nepāra cipars?
LV.AMO.2003.9.5
Uz galda atrodas \(k\) konfektes. Andris un Juris pamīšus izdara gājienus: Andris - pirmo, trešo, piekto, \(\ldots\), Juris - otro, ceturto, sesto, \(\ldots\) . Ar \(n\)-to gājienu \((n=1,\ 2,\ 3,\ \ldots)\) jāapēd vismaz viena, bet ne vairāk par \(n\) konfektēm. Kas apēd pēdējo konfekti, uzvar.
Kurš uzvar, pareizi spēlējot, ja (A) \(k=8\), (B) \(k=64\)?
LV.AMO.2003.9.5
Uz galda atrodas \(k\) konfektes. Andris un Juris pamīšus izdara gājienus: Andris - pirmo, trešo, piekto, \(\ldots\), Juris - otro, ceturto, sesto, \(\ldots\) . Ar \(n\)-to gājienu \((n=1,\ 2,\ 3,\ \ldots)\) jāapēd vismaz viena, bet ne vairāk par \(n\) konfektēm. Kas apēd pēdējo konfekti, uzvar.
Kurš uzvar, pareizi spēlējot, ja (A) \(k=8\), (B) \(k=64\)?
LV.AMO.2003.9.5
Uz galda atrodas \(k\) konfektes. Andris un Juris pamīšus izdara gājienus: Andris - pirmo, trešo, piekto, \(\ldots\), Juris - otro, ceturto, sesto, \(\ldots\) . Ar \(n\)-to gājienu \((n=1,\ 2,\ 3,\ \ldots)\) jāapēd vismaz viena, bet ne vairāk par \(n\) konfektēm. Kas apēd pēdējo konfekti, uzvar.
Kurš uzvar, pareizi spēlējot, ja (A) \(k=8\), (B) \(k=64\)?
LV.AMO.2022B.9.4
Is it possible to arrange the numbers
(A) \(1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13\);
(B) \(1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14\)
on a circle so that any two adjacent numbers differ by \(3\); \(4\) or \(5\)?
LV.AMO.2022B.9.4
Vai pa apli var uzrakstīt skaitļus
(A) 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13;
(B) 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14;
tā, lai katri divi blakus esoši skaitļi atšķirtos par \(3\); \(4\) vai \(5\)?
LV.AMO.2022B.9.4
Is it possible to arrange the numbers
(A) \(1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13\);
(B) \(1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14\)
on a circle so that any two adjacent numbers differ by \(3\); \(4\) or \(5\)?
LV.AMO.2022B.9.4
Vai pa apli var uzrakstīt skaitļus
(A) 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13;
(B) 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14;
tā, lai katri divi blakus esoši skaitļi atšķirtos par \(3\); \(4\) vai \(5\)?
LV.AMO.2022B.9.4
Is it possible to arrange the numbers
(A) \(1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13\);
(B) \(1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14\)
on a circle so that any two adjacent numbers differ by \(3\); \(4\) or \(5\)?
LV.AMO.2022B.9.4
Vai pa apli var uzrakstīt skaitļus
(A) 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13;
(B) 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14;
tā, lai katri divi blakus esoši skaitļi atšķirtos par \(3\); \(4\) vai \(5\)?
LV.AMO.2022B.9.4
Is it possible to arrange the numbers
(A) \(1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13\);
(B) \(1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14\)
on a circle so that any two adjacent numbers differ by \(3\); \(4\) or \(5\)?
LV.AMO.2022B.9.4
Vai pa apli var uzrakstīt skaitļus
(A) 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13;
(B) 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14;
tā, lai katri divi blakus esoši skaitļi atšķirtos par \(3\); \(4\) vai \(5\)?
LV.AMO.2003.10.4
Rindā ir \(12\) krēslu; uz katra no tiem sēž pa skolēnam. Skolēniem vienu reizi atļauts piecelties un apsēsties citā kārtībā, pie tam katrs drīkst apsēsties vai nu iepriekšējā vietā, vai tieši blakus iepriekšējai vietai.
Cik dažādi skolēnu izvietojumi iespējami pēc pārkārtošanās?
LV.AMO.2003.10.4
Rindā ir \(12\) krēslu; uz katra no tiem sēž pa skolēnam. Skolēniem vienu reizi atļauts piecelties un apsēsties citā kārtībā, pie tam katrs drīkst apsēsties vai nu iepriekšējā vietā, vai tieši blakus iepriekšējai vietai.
Cik dažādi skolēnu izvietojumi iespējami pēc pārkārtošanās?
LV.AMO.2003.10.4
Rindā ir \(12\) krēslu; uz katra no tiem sēž pa skolēnam. Skolēniem vienu reizi atļauts piecelties un apsēsties citā kārtībā, pie tam katrs drīkst apsēsties vai nu iepriekšējā vietā, vai tieši blakus iepriekšējai vietai.
Cik dažādi skolēnu izvietojumi iespējami pēc pārkārtošanās?
LV.AMO.2003.10.4
Rindā ir \(12\) krēslu; uz katra no tiem sēž pa skolēnam. Skolēniem vienu reizi atļauts piecelties un apsēsties citā kārtībā, pie tam katrs drīkst apsēsties vai nu iepriekšējā vietā, vai tieši blakus iepriekšējai vietai.
Cik dažādi skolēnu izvietojumi iespējami pēc pārkārtošanās?
LV.NOL.2010.10.4
Atrisināt naturālos skaitļos vienādojumu \(x^{3}=y!+2\).
LV.NOL.2010.10.4
Atrisināt naturālos skaitļos vienādojumu \(x^{3}=y!+2\).
LV.NOL.2013.10.4
Ansītis aprēķināja skaitļu \(2^{2013}\) un \(5^{2013}\) vērtības un iegūtos skaitļus uzrakstīja vienu aiz otra. Cik cipari uzrakstīti?
LV.NOL.2013.10.4
Ansītis aprēķināja skaitļu \(2^{2013}\) un \(5^{2013}\) vērtības un iegūtos skaitļus uzrakstīja vienu aiz otra. Cik cipari uzrakstīti?
LV.NOL.2015.10.4
Vai eksistē tāds vesels skaitlis \(x\), ka visi skaitļi
(A) \(x,\ x+23,\ x+45,\ x+121\);
(B) \(x,\ x+23,\ x+46,\ x+121\)
ir veselu skaitļu pakāpes ar naturālu kāpinātāju, kas lielāks nekā \(1\) (kāpinātāji var būt dažādi)?
LV.NOL.2015.10.4
Vai eksistē tāds vesels skaitlis \(x\), ka visi skaitļi
(A) \(x,\ x+23,\ x+45,\ x+121\);
(B) \(x,\ x+23,\ x+46,\ x+121\)
ir veselu skaitļu pakāpes ar naturālu kāpinātāju, kas lielāks nekā \(1\) (kāpinātāji var būt dažādi)?
LV.NOL.2018.10.4
No cipariem \(1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9\), katru izmantojot divas reizes, izveidoti trīs sešciparu skaitļi. Ar kādu lielāko nuļļu skaitu var beigties trīs izveidoto skaitļu summa?
LV.NOL.2018.10.4
No cipariem \(1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9\), katru izmantojot divas reizes, izveidoti trīs sešciparu skaitļi. Ar kādu lielāko nuļļu skaitu var beigties trīs izveidoto skaitļu summa?
LV.NOL.2018.10.4
No cipariem \(1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9\), katru izmantojot divas reizes, izveidoti trīs sešciparu skaitļi. Ar kādu lielāko nuļļu skaitu var beigties trīs izveidoto skaitļu summa?
LV.VOL.2013.10.1
Pierādīt, ka vienādojumam \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{a^{2}+b^{2}}=\frac{1}{2}\) nav atrisinājuma naturālos skaitļos.
LV.VOL.2013.10.1
Pierādīt, ka vienādojumam \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{a^{2}+b^{2}}=\frac{1}{2}\) nav atrisinājuma naturālos skaitļos.
LV.VOL.2013.10.1
Pierādīt, ka vienādojumam \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{a^{2}+b^{2}}=\frac{1}{2}\) nav atrisinājuma naturālos skaitļos.
LV.AMO.2019.11.2
Divi spēlētāji pamīšus raksta uz tāfeles skaitļa \(216\) naturālos dalītājus. Katrā gājienā jāievēro šādi noteikumi:
- nedrīkst atkārtoti rakstīt jau uzrakstītu dalītāju;
- nedrīkst rakstīt dalītāju, kurš ir tieši \(2\) vai \(3\) reizes lielāks vai mazāks nekā kāds jau uzrakstītais dalītājs.
Zaudē tas spēlētājs, kurš nevar izdarīt gājienu. Kurš spēlētājs - pirmais vai otrais - vienmēr var uzvarēt?
LV.AMO.2019.11.2
Divi spēlētāji pamīšus raksta uz tāfeles skaitļa \(216\) naturālos dalītājus. Katrā gājienā jāievēro šādi noteikumi:
- nedrīkst atkārtoti rakstīt jau uzrakstītu dalītāju;
- nedrīkst rakstīt dalītāju, kurš ir tieši \(2\) vai \(3\) reizes lielāks vai mazāks nekā kāds jau uzrakstītais dalītājs.
Zaudē tas spēlētājs, kurš nevar izdarīt gājienu. Kurš spēlētājs - pirmais vai otrais - vienmēr var uzvarēt?
LV.AMO.2019.11.2
Divi spēlētāji pamīšus raksta uz tāfeles skaitļa \(216\) naturālos dalītājus. Katrā gājienā jāievēro šādi noteikumi:
- nedrīkst atkārtoti rakstīt jau uzrakstītu dalītāju;
- nedrīkst rakstīt dalītāju, kurš ir tieši \(2\) vai \(3\) reizes lielāks vai mazāks nekā kāds jau uzrakstītais dalītājs.
Zaudē tas spēlētājs, kurš nevar izdarīt gājienu. Kurš spēlētājs - pirmais vai otrais - vienmēr var uzvarēt?
LV.AMO.2019.12.4
Sporta nometnē ir \(100\) skolēni. Ar \(N\) apzīmējam, cik veidos šos \(100\) skolēnus var sadalīt \(50\) pāros (pāru secība un arī skolēnu secība pārī nav svarīga). Ar kādu lielāko trijnieka pakāpi dalās \(N\)?
LV.AMO.2019.12.4
Sporta nometnē ir \(100\) skolēni. Ar \(N\) apzīmējam, cik veidos šos \(100\) skolēnus var sadalīt \(50\) pāros (pāru secība un arī skolēnu secība pārī nav svarīga). Ar kādu lielāko trijnieka pakāpi dalās \(N\)?
LV.AMO.2019.12.4
Sporta nometnē ir \(100\) skolēni. Ar \(N\) apzīmējam, cik veidos šos \(100\) skolēnus var sadalīt \(50\) pāros (pāru secība un arī skolēnu secība pārī nav svarīga). Ar kādu lielāko trijnieka pakāpi dalās \(N\)?
LV.AMO.2019.12.4
Sporta nometnē ir \(100\) skolēni. Ar \(N\) apzīmējam, cik veidos šos \(100\) skolēnus var sadalīt \(50\) pāros (pāru secība un arī skolēnu secība pārī nav svarīga). Ar kādu lielāko trijnieka pakāpi dalās \(N\)?