Tēma

1.0.0.0.0. Algebra

Visi uzdevumi par algebru

LV.AMO.2011.5.2

Dotās \(3 \times 3\) rūtiņu tabulas katrā rūtiņā jāieraksta pa vienam naturālam skaitlim tā, lai katrā rindā, katrā kolonnā un katrā diagonālē ierakstīto trīs skaitļu summas būtu vienādas. Ir zināmi trīs rūtiņās ierakstītie skaitļi (skat. 1.zīm.). Aizpildi pārējās tabulas rūtiņas!

LV.AMO.2011.5.2

Dotās \(3 \times 3\) rūtiņu tabulas katrā rūtiņā jāieraksta pa vienam naturālam skaitlim tā, lai katrā rindā, katrā kolonnā un katrā diagonālē ierakstīto trīs skaitļu summas būtu vienādas. Ir zināmi trīs rūtiņās ierakstītie skaitļi (skat. 1.zīm.). Aizpildi pārējās tabulas rūtiņas!

LV.AMO.2014.5.1

Pūkainīšu ciemata bērniem Lieldienu zaķis atnesa olas. Katra no tām bija nokrāsota tieši vienā no krāsām- sarkanā, dzeltenā, zilā. Zināms, ka \(20 \%\) jeb \(40\) olas bija sarkanas, \(\frac{3}{4}\) no atlikušajām bija dzeltenas, bet pārējās- zilas. Aprēķini:

(A) Cik olas bija zilā krāsā?
(B) Kāda daļa no visām olām bija zilas?
(C) Cik procenti no visām olām bija dzeltenas?

LV.AMO.2014.5.1

Pūkainīšu ciemata bērniem Lieldienu zaķis atnesa olas. Katra no tām bija nokrāsota tieši vienā no krāsām- sarkanā, dzeltenā, zilā. Zināms, ka \(20 \%\) jeb \(40\) olas bija sarkanas, \(\frac{3}{4}\) no atlikušajām bija dzeltenas, bet pārējās- zilas. Aprēķini:

(A) Cik olas bija zilā krāsā?
(B) Kāda daļa no visām olām bija zilas?
(C) Cik procenti no visām olām bija dzeltenas?

LV.AMO.2022B.5.4

The balance scales (a), (b) and (c) are all in equilibrium. How many arrows should be put in the place of the question mark so that the balance scale (d) is also in equilibrium? Justify your answer!

LV.AMO.2022B.5.4

Zināms, ka svari (a), (b) un (c) atrodas līdzsvarā. Cik bultiņu jāliek jautājuma zīmes vietā, lai svari (d) atrastos līdzsvarā? Atbildi pamatot!

LV.AMO.2022B.5.4

The balance scales (a), (b) and (c) are all in equilibrium. How many arrows should be put in the place of the question mark so that the balance scale (d) is also in equilibrium? Justify your answer!

LV.AMO.2022B.5.4

Zināms, ka svari (a), (b) un (c) atrodas līdzsvarā. Cik bultiņu jāliek jautājuma zīmes vietā, lai svari (d) atrastos līdzsvarā? Atbildi pamatot!

LV.AMO.2022B.5.4

The balance scales (a), (b) and (c) are all in equilibrium. How many arrows should be put in the place of the question mark so that the balance scale (d) is also in equilibrium? Justify your answer!

LV.AMO.2022B.5.4

Zināms, ka svari (a), (b) un (c) atrodas līdzsvarā. Cik bultiņu jāliek jautājuma zīmes vietā, lai svari (d) atrastos līdzsvarā? Atbildi pamatot!

LV.AMO.2022B.5.4

The balance scales (a), (b) and (c) are all in equilibrium. How many arrows should be put in the place of the question mark so that the balance scale (d) is also in equilibrium? Justify your answer!

LV.AMO.2022B.5.4

Zināms, ka svari (a), (b) un (c) atrodas līdzsvarā. Cik bultiņu jāliek jautājuma zīmes vietā, lai svari (d) atrastos līdzsvarā? Atbildi pamatot!

LV.AMO.2022B.5.5

Each of the three girls, Elina, Guna and Maruta likes some color - either green, yellow, or orange. Each girl likes a different color, and dislikes the remaining two colors. Exactly one of the following claims is known to be true:

Guna doesn't like orange;
Elina doesn't like green;
Elina doesn't like orange.

What colour does every girl like? Justify your answer!

LV.AMO.2022B.5.5

Katrai no trīs meitenēm Elīnai, Gunai un Marutai patīk viena no krāsām: zaļa, dzeltena, oranža (katrai cita krāsa), bet abas pārējās krāsas nepatīk. Zināms, ka tieši viens no apgalvojumiem ir patiess:

Gunai nepatīk oranža krāsa;
Elīnai nepatīk zaļa krāsa;
Elīnai nepatīk oranža krāsa.

Kāda krāsa patīk katrai meitenei? Atbildi pamatot!

LV.AMO.2022B.5.5

Each of the three girls, Elina, Guna and Maruta likes some color - either green, yellow, or orange. Each girl likes a different color, and dislikes the remaining two colors. Exactly one of the following claims is known to be true:

Guna doesn't like orange;
Elina doesn't like green;
Elina doesn't like orange.

What colour does every girl like? Justify your answer!

LV.AMO.2022B.5.5

Katrai no trīs meitenēm Elīnai, Gunai un Marutai patīk viena no krāsām: zaļa, dzeltena, oranža (katrai cita krāsa), bet abas pārējās krāsas nepatīk. Zināms, ka tieši viens no apgalvojumiem ir patiess:

Gunai nepatīk oranža krāsa;
Elīnai nepatīk zaļa krāsa;
Elīnai nepatīk oranža krāsa.

Kāda krāsa patīk katrai meitenei? Atbildi pamatot!

LV.AMO.2022B.5.5

Each of the three girls, Elina, Guna and Maruta likes some color - either green, yellow, or orange. Each girl likes a different color, and dislikes the remaining two colors. Exactly one of the following claims is known to be true:

Guna doesn't like orange;
Elina doesn't like green;
Elina doesn't like orange.

What colour does every girl like? Justify your answer!

LV.AMO.2022B.5.5

Katrai no trīs meitenēm Elīnai, Gunai un Marutai patīk viena no krāsām: zaļa, dzeltena, oranža (katrai cita krāsa), bet abas pārējās krāsas nepatīk. Zināms, ka tieši viens no apgalvojumiem ir patiess:

Gunai nepatīk oranža krāsa;
Elīnai nepatīk zaļa krāsa;
Elīnai nepatīk oranža krāsa.

Kāda krāsa patīk katrai meitenei? Atbildi pamatot!

LV.AMO.2023.5.1

Skaitļus no \(1\) līdz \(9\) ieraksti 1. att. redzamajos mazajos trijstūros (katrā trijstūrī citu naturālo skaitli) tā, lai blakus trijstūros ierakstītie skaitļi neatšķiras vairāk kā par \(3\).
Piezīme. Par blakus trijstūriem sauksim trijstūrus, kam ir kopīga mala.

LV.AMO.2023.5.1

Skaitļus no \(1\) līdz \(9\) ieraksti 1. att. redzamajos mazajos trijstūros (katrā trijstūrī citu naturālo skaitli) tā, lai blakus trijstūros ierakstītie skaitļi neatšķiras vairāk kā par \(3\).
Piezīme. Par blakus trijstūriem sauksim trijstūrus, kam ir kopīga mala.

LV.AMO.2023.5.1

Skaitļus no \(1\) līdz \(9\) ieraksti 1. att. redzamajos mazajos trijstūros (katrā trijstūrī citu naturālo skaitli) tā, lai blakus trijstūros ierakstītie skaitļi neatšķiras vairāk kā par \(3\).
Piezīme. Par blakus trijstūriem sauksim trijstūrus, kam ir kopīga mala.

LV.AMO.2023.5.1

Skaitļus no \(1\) līdz \(9\) ieraksti 1. att. redzamajos mazajos trijstūros (katrā trijstūrī citu naturālo skaitli) tā, lai blakus trijstūros ierakstītie skaitļi neatšķiras vairāk kā par \(3\).
Piezīme. Par blakus trijstūriem sauksim trijstūrus, kam ir kopīga mala.

LV.AMO.2023.5.5

Gunai bija četru veidu konfektes: 8 “Serenādes”, 14 “Lācīši Ķepainīši”, 20 “Vāverītes” un 26 “Sarkanās magones”. Katru no saviem dzimšanas dienas viesiem viņa uzcienāja ar tieši 3 dažādām konfektēm. Kāds ir lielākais iespējamais viesu skaits, kas bija ieradušies uz Gunas dzimšanas dienas svinībām?

LV.AMO.2023.5.5

Gunai bija četru veidu konfektes: 8 “Serenādes”, 14 “Lācīši Ķepainīši”, 20 “Vāverītes” un 26 “Sarkanās magones”. Katru no saviem dzimšanas dienas viesiem viņa uzcienāja ar tieši 3 dažādām konfektēm. Kāds ir lielākais iespējamais viesu skaits, kas bija ieradušies uz Gunas dzimšanas dienas svinībām?

LV.AMO.2023.5.5

Gunai bija četru veidu konfektes: 8 “Serenādes”, 14 “Lācīši Ķepainīši”, 20 “Vāverītes” un 26 “Sarkanās magones”. Katru no saviem dzimšanas dienas viesiem viņa uzcienāja ar tieši 3 dažādām konfektēm. Kāds ir lielākais iespējamais viesu skaits, kas bija ieradušies uz Gunas dzimšanas dienas svinībām?

LV.AMO.2011.6.5

Betai bija \(50\) konfektes, bet Almai un Danai bija vienāds konfekšu skaits. Beta pazaudēja vienu konfekti un noskuma. Almai kļuva Betas žēl, un viņa atdeva māsai pusi no savām konfektēm. Beta nomierinājās un nolēma, ka viņai tagad konfekšu ir par daudz un atdeva pusi no savām Danai. Arī Dana izlēma padalīties ar Almu un atdeva pusi no savām konfektēm Almai. Tagad Almai un Betai ir vienāds konfekšu skaits. Cik konfekšu sākumā bija katrai no māsām?

LV.AMO.2011.6.5

Betai bija \(50\) konfektes, bet Almai un Danai bija vienāds konfekšu skaits. Beta pazaudēja vienu konfekti un noskuma. Almai kļuva Betas žēl, un viņa atdeva māsai pusi no savām konfektēm. Beta nomierinājās un nolēma, ka viņai tagad konfekšu ir par daudz un atdeva pusi no savām Danai. Arī Dana izlēma padalīties ar Almu un atdeva pusi no savām konfektēm Almai. Tagad Almai un Betai ir vienāds konfekšu skaits. Cik konfekšu sākumā bija katrai no māsām?

LV.AMO.2022B.6.3

On a dark autumn night, Maris decided to add up all the positive integers from \(1\) to \(n\), where \(n\) is some positive integer. Could it happen that Maris gets a sum whose last digit is
(A) \(8\), (B) \(9\)?

LV.AMO.2022B.6.3

Tumšā rudens vakarā Māris izdomāja saskaitīt visus naturālos skaitļus no \(1\) līdz \(n\), kur \(n\) ir kāds naturāls skaitlis. Vai var gadīties, ka Māris ieguva summu, kuras pēdējais cipars ir (A) \(8\), (B) \(9\)?

LV.AMO.2022B.6.3

On a dark autumn night, Maris decided to add up all the positive integers from \(1\) to \(n\), where \(n\) is some positive integer. Could it happen that Maris gets a sum whose last digit is
(A) \(8\), (B) \(9\)?

LV.AMO.2022B.6.3

Tumšā rudens vakarā Māris izdomāja saskaitīt visus naturālos skaitļus no \(1\) līdz \(n\), kur \(n\) ir kāds naturāls skaitlis. Vai var gadīties, ka Māris ieguva summu, kuras pēdējais cipars ir (A) \(8\), (B) \(9\)?

LV.AMO.2022B.6.3

On a dark autumn night, Maris decided to add up all the positive integers from \(1\) to \(n\), where \(n\) is some positive integer. Could it happen that Maris gets a sum whose last digit is
(A) \(8\), (B) \(9\)?

LV.AMO.2022B.6.3

Tumšā rudens vakarā Māris izdomāja saskaitīt visus naturālos skaitļus no \(1\) līdz \(n\), kur \(n\) ir kāds naturāls skaitlis. Vai var gadīties, ka Māris ieguva summu, kuras pēdējais cipars ir (A) \(8\), (B) \(9\)?

LV.AMO.2022B.6.3

On a dark autumn night, Maris decided to add up all the positive integers from \(1\) to \(n\), where \(n\) is some positive integer. Could it happen that Maris gets a sum whose last digit is
(A) \(8\), (B) \(9\)?

LV.AMO.2022B.6.3

Tumšā rudens vakarā Māris izdomāja saskaitīt visus naturālos skaitļus no \(1\) līdz \(n\), kur \(n\) ir kāds naturāls skaitlis. Vai var gadīties, ka Māris ieguva summu, kuras pēdējais cipars ir (A) \(8\), (B) \(9\)?

LV.AMO.2022B.6.3

On a dark autumn night, Maris decided to add up all the positive integers from \(1\) to \(n\), where \(n\) is some positive integer. Could it happen that Maris gets a sum whose last digit is
(A) \(8\), (B) \(9\)?

LV.AMO.2022B.6.3

Tumšā rudens vakarā Māris izdomāja saskaitīt visus naturālos skaitļus no \(1\) līdz \(n\), kur \(n\) ir kāds naturāls skaitlis. Vai var gadīties, ka Māris ieguva summu, kuras pēdējais cipars ir (A) \(8\), (B) \(9\)?

LV.AMO.2022B.6.4

The balance scales (a), (b) and (c) are known to be in equilibirum. How many circles should you put in place of the question mark so that the balance scale (d) is also in equilibrium? Justify your answer!

LV.AMO.2022B.6.4

Zināms, ka svari (a), (b) un (c) atrodas līdzsvarā. Cik aplīšu jāliek jautājuma zīmes vietā, lai svari (d) atrastos līdzsvarā? Atbildi pamatot!

LV.AMO.2022B.6.4

The balance scales (a), (b) and (c) are known to be in equilibirum. How many circles should you put in place of the question mark so that the balance scale (d) is also in equilibrium? Justify your answer!

LV.AMO.2022B.6.4

Zināms, ka svari (a), (b) un (c) atrodas līdzsvarā. Cik aplīšu jāliek jautājuma zīmes vietā, lai svari (d) atrastos līdzsvarā? Atbildi pamatot!

LV.AMO.2022B.6.4

The balance scales (a), (b) and (c) are known to be in equilibirum. How many circles should you put in place of the question mark so that the balance scale (d) is also in equilibrium? Justify your answer!

LV.AMO.2022B.6.4

Zināms, ka svari (a), (b) un (c) atrodas līdzsvarā. Cik aplīšu jāliek jautājuma zīmes vietā, lai svari (d) atrastos līdzsvarā? Atbildi pamatot!

LV.AMO.2022B.6.4

The balance scales (a), (b) and (c) are known to be in equilibirum. How many circles should you put in place of the question mark so that the balance scale (d) is also in equilibrium? Justify your answer!

LV.AMO.2022B.6.4

Zināms, ka svari (a), (b) un (c) atrodas līdzsvarā. Cik aplīšu jāliek jautājuma zīmes vietā, lai svari (d) atrastos līdzsvarā? Atbildi pamatot!

LV.AMO.2022B.6.5

Some of \(273\) villagers always tell the truth, the remaining ones lie all the time. Each of the villagers has exactly one favourite day of the week. There was a poll of all the villagers, and they were asked to answer seven questions with either "Yes" or "No":

Question
Is Monday your favorite day?	\(\square\) Yes	\(\square\) No
Is Tuesday your favorite day?	\(\square\) Yes	\(\square\) No
Is Wednesday your favorite day?	\(\square\) Yes	\(\square\) No
Is Thursday your favorite day?	\(\square\) Yes	\(\square\) No
Is Friday your favorite day?	\(\square\) Yes	\(\square\) No
Is Saturday your favorite day?	\(\square\) Yes	\(\square\) No
Is Sunday your favorite day?	\(\square\) Yes	\(\square\) No

The number of "Yes" answers received to each question was as follows: Monday - \(51\), Tuesday - \(52\), Wednesday - \(53\), Thursday - \(55\), Friday - \(54\), Saturday - \(56\), Sunday - \(57\). How many villagers lie all the time?

LV.AMO.2022B.6.5

Daži no 273 ciema iedzīvotājiem visu laiku saka patiesību, pārējie visu laiku melo. Katram no ciema iedzīvotājiem ir tieši viena mīļākā nedēļas diena. Aptaujājot iedzīvotājus, viņiem tika lūgts atbildēt uz septiņiem jautājumiem, katrā no tiem izvēloties vienu no dotajām atbildēm:
bilde
Uz katru jautājumu saņemto apstiprinošo ("jā") atbilžu skaits bija šāds: pirmdiena – \(51\), otrdiena – \(52\), trešdiena – \(53\), ceturtdiena – \(54\), piektdiena – \(55\), sestdiena – \(56\), svētdiena – \(57\). Cik ciema iedzīvotāji visu laiku melo?

LV.AMO.2022B.6.5

Some of \(273\) villagers always tell the truth, the remaining ones lie all the time. Each of the villagers has exactly one favourite day of the week. There was a poll of all the villagers, and they were asked to answer seven questions with either "Yes" or "No":

Question
Is Monday your favorite day?	\(\square\) Yes	\(\square\) No
Is Tuesday your favorite day?	\(\square\) Yes	\(\square\) No
Is Wednesday your favorite day?	\(\square\) Yes	\(\square\) No
Is Thursday your favorite day?	\(\square\) Yes	\(\square\) No
Is Friday your favorite day?	\(\square\) Yes	\(\square\) No
Is Saturday your favorite day?	\(\square\) Yes	\(\square\) No
Is Sunday your favorite day?	\(\square\) Yes	\(\square\) No

The number of "Yes" answers received to each question was as follows: Monday - \(51\), Tuesday - \(52\), Wednesday - \(53\), Thursday - \(55\), Friday - \(54\), Saturday - \(56\), Sunday - \(57\). How many villagers lie all the time?

LV.AMO.2022B.6.5

Daži no 273 ciema iedzīvotājiem visu laiku saka patiesību, pārējie visu laiku melo. Katram no ciema iedzīvotājiem ir tieši viena mīļākā nedēļas diena. Aptaujājot iedzīvotājus, viņiem tika lūgts atbildēt uz septiņiem jautājumiem, katrā no tiem izvēloties vienu no dotajām atbildēm:
bilde
Uz katru jautājumu saņemto apstiprinošo ("jā") atbilžu skaits bija šāds: pirmdiena – \(51\), otrdiena – \(52\), trešdiena – \(53\), ceturtdiena – \(54\), piektdiena – \(55\), sestdiena – \(56\), svētdiena – \(57\). Cik ciema iedzīvotāji visu laiku melo?

LV.AMO.2022B.6.5

Some of \(273\) villagers always tell the truth, the remaining ones lie all the time. Each of the villagers has exactly one favourite day of the week. There was a poll of all the villagers, and they were asked to answer seven questions with either "Yes" or "No":

Question
Is Monday your favorite day?	\(\square\) Yes	\(\square\) No
Is Tuesday your favorite day?	\(\square\) Yes	\(\square\) No
Is Wednesday your favorite day?	\(\square\) Yes	\(\square\) No
Is Thursday your favorite day?	\(\square\) Yes	\(\square\) No
Is Friday your favorite day?	\(\square\) Yes	\(\square\) No
Is Saturday your favorite day?	\(\square\) Yes	\(\square\) No
Is Sunday your favorite day?	\(\square\) Yes	\(\square\) No

The number of "Yes" answers received to each question was as follows: Monday - \(51\), Tuesday - \(52\), Wednesday - \(53\), Thursday - \(55\), Friday - \(54\), Saturday - \(56\), Sunday - \(57\). How many villagers lie all the time?

LV.AMO.2022B.6.5

Daži no 273 ciema iedzīvotājiem visu laiku saka patiesību, pārējie visu laiku melo. Katram no ciema iedzīvotājiem ir tieši viena mīļākā nedēļas diena. Aptaujājot iedzīvotājus, viņiem tika lūgts atbildēt uz septiņiem jautājumiem, katrā no tiem izvēloties vienu no dotajām atbildēm:
bilde
Uz katru jautājumu saņemto apstiprinošo ("jā") atbilžu skaits bija šāds: pirmdiena – \(51\), otrdiena – \(52\), trešdiena – \(53\), ceturtdiena – \(54\), piektdiena – \(55\), sestdiena – \(56\), svētdiena – \(57\). Cik ciema iedzīvotāji visu laiku melo?

LV.AMO.2003.7.1

Dots, ka \(|x+y|+|x-y|=10\). Kāda ir lielākā iespējamā \(x\) vērtība?

LV.AMO.2003.7.1

Dots, ka \(|x+y|+|x-y|=10\). Kāda ir lielākā iespējamā \(x\) vērtība?

LV.AMO.2003.7.1

Dots, ka \(|x+y|+|x-y|=10\). Kāda ir lielākā iespējamā \(x\) vērtība?

LV.AMO.2006.7.1

Vilcienā Rīga-Mehiko vietas numurētas ar naturāliem skaitļiem, sākot ar \(1\) (numerācija ir vienota visam vilcienam, t.i., ir tikai viena vieta ar numuru \(1\), viena vieta ar numuru \(2\) utt; numuri piešķirti virzienā no lokomotīves uz vilciena "asti"). Visos vagonos ir vienāds vietu skaits. Vietas ar numuriem \(1996\) un \(2015\) ir vienā vagonā, bet vietas ar numuriem \(630\) un \(652\) - dažādos vagonos, kas pie tam nav blakus viens otram. Cik vietu ir katrā vagonā?

LV.AMO.2006.7.1

Vilcienā Rīga-Mehiko vietas numurētas ar naturāliem skaitļiem, sākot ar \(1\) (numerācija ir vienota visam vilcienam, t.i., ir tikai viena vieta ar numuru \(1\), viena vieta ar numuru \(2\) utt; numuri piešķirti virzienā no lokomotīves uz vilciena "asti"). Visos vagonos ir vienāds vietu skaits. Vietas ar numuriem \(1996\) un \(2015\) ir vienā vagonā, bet vietas ar numuriem \(630\) un \(652\) - dažādos vagonos, kas pie tam nav blakus viens otram. Cik vietu ir katrā vagonā?

LV.AMO.2006.7.1

Vilcienā Rīga-Mehiko vietas numurētas ar naturāliem skaitļiem, sākot ar \(1\) (numerācija ir vienota visam vilcienam, t.i., ir tikai viena vieta ar numuru \(1\), viena vieta ar numuru \(2\) utt; numuri piešķirti virzienā no lokomotīves uz vilciena "asti"). Visos vagonos ir vienāds vietu skaits. Vietas ar numuriem \(1996\) un \(2015\) ir vienā vagonā, bet vietas ar numuriem \(630\) un \(652\) - dažādos vagonos, kas pie tam nav blakus viens otram. Cik vietu ir katrā vagonā?

LV.AMO.2006.7.1

Vilcienā Rīga-Mehiko vietas numurētas ar naturāliem skaitļiem, sākot ar \(1\) (numerācija ir vienota visam vilcienam, t.i., ir tikai viena vieta ar numuru \(1\), viena vieta ar numuru \(2\) utt; numuri piešķirti virzienā no lokomotīves uz vilciena "asti"). Visos vagonos ir vienāds vietu skaits. Vietas ar numuriem \(1996\) un \(2015\) ir vienā vagonā, bet vietas ar numuriem \(630\) un \(652\) - dažādos vagonos, kas pie tam nav blakus viens otram. Cik vietu ir katrā vagonā?

LV.AMO.2006.7.1

Vilcienā Rīga-Mehiko vietas numurētas ar naturāliem skaitļiem, sākot ar \(1\) (numerācija ir vienota visam vilcienam, t.i., ir tikai viena vieta ar numuru \(1\), viena vieta ar numuru \(2\) utt; numuri piešķirti virzienā no lokomotīves uz vilciena "asti"). Visos vagonos ir vienāds vietu skaits. Vietas ar numuriem \(1996\) un \(2015\) ir vienā vagonā, bet vietas ar numuriem \(630\) un \(652\) - dažādos vagonos, kas pie tam nav blakus viens otram. Cik vietu ir katrā vagonā?

LV.AMO.2007.7.3

Uz tāfeles sākumā uzrakstīti \(6\) divciparu naturāli skaitļi. Andris ar savu gājienu var pieskaitīt dažiem skaitļiem \(1\), bet pārējiem skaitļiem \(2\). (Var arī pieskaitīt visiem skaitļiem \(1\) vai visiem skaitļiem \(2\).) Pēc tam Maija ar savu gājienu var nodzēst jebkuru skaitli, kas dalās ar \(7\) vai kam ciparu summa dalās ar \(7\). Pēc tam gājienu izdara Andris, pēc tam - Maija, utt. Pierādīt, ka Maija var panākt, lai skaitļu uz tāfeles vairs nebūtu (pieņemsim, ka tiek spēlēts pietiekoši ilgi).

LV.AMO.2007.7.3

Uz tāfeles sākumā uzrakstīti \(6\) divciparu naturāli skaitļi. Andris ar savu gājienu var pieskaitīt dažiem skaitļiem \(1\), bet pārējiem skaitļiem \(2\). (Var arī pieskaitīt visiem skaitļiem \(1\) vai visiem skaitļiem \(2\).) Pēc tam Maija ar savu gājienu var nodzēst jebkuru skaitli, kas dalās ar \(7\) vai kam ciparu summa dalās ar \(7\). Pēc tam gājienu izdara Andris, pēc tam - Maija, utt. Pierādīt, ka Maija var panākt, lai skaitļu uz tāfeles vairs nebūtu (pieņemsim, ka tiek spēlēts pietiekoši ilgi).

LV.AMO.2007.7.3

Uz tāfeles sākumā uzrakstīti \(6\) divciparu naturāli skaitļi. Andris ar savu gājienu var pieskaitīt dažiem skaitļiem \(1\), bet pārējiem skaitļiem \(2\). (Var arī pieskaitīt visiem skaitļiem \(1\) vai visiem skaitļiem \(2\).) Pēc tam Maija ar savu gājienu var nodzēst jebkuru skaitli, kas dalās ar \(7\) vai kam ciparu summa dalās ar \(7\). Pēc tam gājienu izdara Andris, pēc tam - Maija, utt. Pierādīt, ka Maija var panākt, lai skaitļu uz tāfeles vairs nebūtu (pieņemsim, ka tiek spēlēts pietiekoši ilgi).

LV.AMO.2007.7.3

Uz tāfeles sākumā uzrakstīti \(6\) divciparu naturāli skaitļi. Andris ar savu gājienu var pieskaitīt dažiem skaitļiem \(1\), bet pārējiem skaitļiem \(2\). (Var arī pieskaitīt visiem skaitļiem \(1\) vai visiem skaitļiem \(2\).) Pēc tam Maija ar savu gājienu var nodzēst jebkuru skaitli, kas dalās ar \(7\) vai kam ciparu summa dalās ar \(7\). Pēc tam gājienu izdara Andris, pēc tam - Maija, utt. Pierādīt, ka Maija var panākt, lai skaitļu uz tāfeles vairs nebūtu (pieņemsim, ka tiek spēlēts pietiekoši ilgi).

LV.AMO.2008.7.2

Dots, ka \(x\) un \(y\) - tādi naturāli skaitļi, ka \(x \cdot y=10^{12}\). Vai var būt, ka ne \(x\), ne \(y\) nesatur savā pierakstā nevienu ciparu \(0\)?

LV.AMO.2008.7.2

Dots, ka \(x\) un \(y\) - tādi naturāli skaitļi, ka \(x \cdot y=10^{12}\). Vai var būt, ka ne \(x\), ne \(y\) nesatur savā pierakstā nevienu ciparu \(0\)?

LV.AMO.2008.7.2

Dots, ka \(x\) un \(y\) - tādi naturāli skaitļi, ka \(x \cdot y=10^{12}\). Vai var būt, ka ne \(x\), ne \(y\) nesatur savā pierakstā nevienu ciparu \(0\)?

LV.AMO.2008.7.2

Dots, ka \(x\) un \(y\) - tādi naturāli skaitļi, ka \(x \cdot y=10^{12}\). Vai var būt, ka ne \(x\), ne \(y\) nesatur savā pierakstā nevienu ciparu \(0\)?

LV.AMO.2009.7.3

Tabula sastāv no \(3 \times 3\) rūtiņām. Rūtiņās ierakstīti naturāli skaitļi no \(1\) līdz \(9\) (katrā rūtiņā cits skaitlis). Skaitļu summas rindās un kolonnās visas ir dažādas.

Kāds lielākais daudzums šo summu var būt pirmskaitļi?

LV.AMO.2009.7.3

Tabula sastāv no \(3 \times 3\) rūtiņām. Rūtiņās ierakstīti naturāli skaitļi no \(1\) līdz \(9\) (katrā rūtiņā cits skaitlis). Skaitļu summas rindās un kolonnās visas ir dažādas.

Kāds lielākais daudzums šo summu var būt pirmskaitļi?

LV.AMO.2009.7.3

Tabula sastāv no \(3 \times 3\) rūtiņām. Rūtiņās ierakstīti naturāli skaitļi no \(1\) līdz \(9\) (katrā rūtiņā cits skaitlis). Skaitļu summas rindās un kolonnās visas ir dažādas.

Kāds lielākais daudzums šo summu var būt pirmskaitļi?

LV.AMO.2009.7.3

Tabula sastāv no \(3 \times 3\) rūtiņām. Rūtiņās ierakstīti naturāli skaitļi no \(1\) līdz \(9\) (katrā rūtiņā cits skaitlis). Skaitļu summas rindās un kolonnās visas ir dažādas.

Kāds lielākais daudzums šo summu var būt pirmskaitļi?

LV.AMO.2010.7.3

Ieraksti tabulas ar izmēriem \(4 \times 4\) rūtiņas katrā rūtiņā vienu naturālu skaitli tā, lai vienlaicīgi izpildītos šādas divas īpašības:

visi ierakstītie skaitļi ir dažādi;
jebkuru četru skaitļu, nekādi divi no kuriem neatrodas ne vienā rindā, nedz vienā kolonnā, summa ir \(2010\).

Pietiek parādīt vienu veidu, kā to var izdarīt.

LV.AMO.2010.7.3

Ieraksti tabulas ar izmēriem \(4 \times 4\) rūtiņas katrā rūtiņā vienu naturālu skaitli tā, lai vienlaicīgi izpildītos šādas divas īpašības:

visi ierakstītie skaitļi ir dažādi;
jebkuru četru skaitļu, nekādi divi no kuriem neatrodas ne vienā rindā, nedz vienā kolonnā, summa ir \(2010\).

Pietiek parādīt vienu veidu, kā to var izdarīt.

LV.AMO.2010.7.3

Ieraksti tabulas ar izmēriem \(4 \times 4\) rūtiņas katrā rūtiņā vienu naturālu skaitli tā, lai vienlaicīgi izpildītos šādas divas īpašības:

visi ierakstītie skaitļi ir dažādi;
jebkuru četru skaitļu, nekādi divi no kuriem neatrodas ne vienā rindā, nedz vienā kolonnā, summa ir \(2010\).

Pietiek parādīt vienu veidu, kā to var izdarīt.

LV.AMO.2010.7.3

Ieraksti tabulas ar izmēriem \(4 \times 4\) rūtiņas katrā rūtiņā vienu naturālu skaitli tā, lai vienlaicīgi izpildītos šādas divas īpašības:

visi ierakstītie skaitļi ir dažādi;
jebkuru četru skaitļu, nekādi divi no kuriem neatrodas ne vienā rindā, nedz vienā kolonnā, summa ir \(2010\).

Pietiek parādīt vienu veidu, kā to var izdarīt.

LV.AMO.2013.7.3

Pierādīt, ka skaitlis \(1234567891011\ldots175176\) (pēc kārtas uzrakstīti visi naturālie skaitļi no \(1\) līdz \(176\)) nav naturāla skaitļa kvadrāts. (Skaitļa kvadrāts ir skaitļa reizinājums pašam ar sevi.)

LV.AMO.2013.7.3

Pierādīt, ka skaitlis \(1234567891011\ldots175176\) (pēc kārtas uzrakstīti visi naturālie skaitļi no \(1\) līdz \(176\)) nav naturāla skaitļa kvadrāts. (Skaitļa kvadrāts ir skaitļa reizinājums pašam ar sevi.)

LV.AMO.2013.7.3

Pierādīt, ka skaitlis \(1234567891011\ldots175176\) (pēc kārtas uzrakstīti visi naturālie skaitļi no \(1\) līdz \(176\)) nav naturāla skaitļa kvadrāts. (Skaitļa kvadrāts ir skaitļa reizinājums pašam ar sevi.)

LV.AMO.2013.7.3

Pierādīt, ka skaitlis \(1234567891011\ldots175176\) (pēc kārtas uzrakstīti visi naturālie skaitļi no \(1\) līdz \(176\)) nav naturāla skaitļa kvadrāts. (Skaitļa kvadrāts ir skaitļa reizinājums pašam ar sevi.)

LV.AMO.2022B.7.2

Do there exist (A) \(5\); (B) \(15\) positive integers (some of them may be equal) such that their sum equals their product?

LV.AMO.2022B.7.2

Vai var atrast (A) \(5\); (B) \(15\) naturālus skaitļus (ne obligāti dažādus), kuru summa ir vienāda ar to reizinājumu?

LV.AMO.2022B.7.2

Do there exist (A) \(5\); (B) \(15\) positive integers (some of them may be equal) such that their sum equals their product?

LV.AMO.2022B.7.2

Vai var atrast (A) \(5\); (B) \(15\) naturālus skaitļus (ne obligāti dažādus), kuru summa ir vienāda ar to reizinājumu?

LV.AMO.2022B.7.2

Do there exist (A) \(5\); (B) \(15\) positive integers (some of them may be equal) such that their sum equals their product?

LV.AMO.2022B.7.2

Vai var atrast (A) \(5\); (B) \(15\) naturālus skaitļus (ne obligāti dažādus), kuru summa ir vienāda ar to reizinājumu?

LV.AMO.2022B.7.2

Do there exist (A) \(5\); (B) \(15\) positive integers (some of them may be equal) such that their sum equals their product?

LV.AMO.2022B.7.2

Vai var atrast (A) \(5\); (B) \(15\) naturālus skaitļus (ne obligāti dažādus), kuru summa ir vienāda ar to reizinājumu?

LV.AMO.2022B.7.2

Do there exist (A) \(5\); (B) \(15\) positive integers (some of them may be equal) such that their sum equals their product?

LV.AMO.2022B.7.2

Vai var atrast (A) \(5\); (B) \(15\) naturālus skaitļus (ne obligāti dažādus), kuru summa ir vienāda ar to reizinājumu?

LV.NOL.2007.7.1

Kurus naturālos skaitļus \(n\) var izsacīt formā \(n=\frac{x}{y}\), kur \(x=a^{5},\ y=b^{3}\), \(a\) un \(b\) - naturāli skaitļi?

LV.NOL.2007.7.1

Kurus naturālos skaitļus \(n\) var izsacīt formā \(n=\frac{x}{y}\), kur \(x=a^{5},\ y=b^{3}\), \(a\) un \(b\) - naturāli skaitļi?

LV.NOL.2007.7.1

Kurus naturālos skaitļus \(n\) var izsacīt formā \(n=\frac{x}{y}\), kur \(x=a^{5},\ y=b^{3}\), \(a\) un \(b\) - naturāli skaitļi?

LV.NOL.2007.7.1

Kurus naturālos skaitļus \(n\) var izsacīt formā \(n=\frac{x}{y}\), kur \(x=a^{5},\ y=b^{3}\), \(a\) un \(b\) - naturāli skaitļi?

LV.NOL.2008.7.1

Kurus naturālos skaitļus \(n\) var izsacīt formā \(n=\frac{x}{y}\), kur \(x=a^{3},\ y=b^{4},\ a\) un \(b\) - naturāli skaitļi?

LV.NOL.2008.7.1

Kurus naturālos skaitļus \(n\) var izsacīt formā \(n=\frac{x}{y}\), kur \(x=a^{3},\ y=b^{4},\ a\) un \(b\) - naturāli skaitļi?

LV.NOL.2008.7.1

Kurus naturālos skaitļus \(n\) var izsacīt formā \(n=\frac{x}{y}\), kur \(x=a^{3},\ y=b^{4},\ a\) un \(b\) - naturāli skaitļi?

LV.NOL.2008.7.1

Kurus naturālos skaitļus \(n\) var izsacīt formā \(n=\frac{x}{y}\), kur \(x=a^{3},\ y=b^{4},\ a\) un \(b\) - naturāli skaitļi?

LV.NOL.2009.7.1

Kurus naturālos skaitļus \(n\) var izsacīt formā \(n=\frac{x}{y}\), kur \(x=a^{3}, y=b^{5}\), \(a\) un \(b\) naturāli skaitļi?

LV.NOL.2009.7.1

Kurus naturālos skaitļus \(n\) var izsacīt formā \(n=\frac{x}{y}\), kur \(x=a^{3}, y=b^{5}\), \(a\) un \(b\) naturāli skaitļi?

LV.NOL.2009.7.1

Kurus naturālos skaitļus \(n\) var izsacīt formā \(n=\frac{x}{y}\), kur \(x=a^{3}, y=b^{5}\), \(a\) un \(b\) naturāli skaitļi?

LV.NOL.2009.7.1

Kurus naturālos skaitļus \(n\) var izsacīt formā \(n=\frac{x}{y}\), kur \(x=a^{3}, y=b^{5}\), \(a\) un \(b\) naturāli skaitļi?

LV.NOL.2011.7.1

Atrodiet skaitļa \(1^{2}+2^{2}+\cdots+99^{2}\) pēdējo ciparu.

LV.NOL.2011.7.1

Atrodiet skaitļa \(1^{2}+2^{2}+\cdots+99^{2}\) pēdējo ciparu.

LV.NOL.2011.7.1

Atrodiet skaitļa \(1^{2}+2^{2}+\cdots+99^{2}\) pēdējo ciparu.

LV.NOL.2016.7.5

(A) Vai var atrast dažādus veselus skaitļus \(a, b, c\) un \(d\) tādus, ka izpildās vienādības \(a+b=cd\) un \(ab=c+d\) ?

(B) Vai šādus skaitļus var atrast, ja papildus zināms, ka \(a>2016\)?

LV.NOL.2016.7.5

(A) Vai var atrast dažādus veselus skaitļus \(a, b, c\) un \(d\) tādus, ka izpildās vienādības \(a+b=cd\) un \(ab=c+d\) ?

(B) Vai šādus skaitļus var atrast, ja papildus zināms, ka \(a>2016\)?

LV.NOL.2016.7.5

(A) Vai var atrast dažādus veselus skaitļus \(a, b, c\) un \(d\) tādus, ka izpildās vienādības \(a+b=cd\) un \(ab=c+d\) ?

(B) Vai šādus skaitļus var atrast, ja papildus zināms, ka \(a>2016\)?

LV.NOL.2024.7.5

Konditorejā nopērkamas \(10\) tortes, to cena ir attiecīgi \(20\); \(21\); \(22\); \(23\); \(24\); \(25\); \(26\); \(27\); \(28\); \(29\) eiro (katra torte ir tieši vienā eksemplārā). Konditorejā viens pēc otra iegriezās \(3\) gardēži, katrs no tiem nopirka sev dažas tortes, turklāt katrs iztērēja ne vairāk kā \(85\) eiro. Pierādīt, ka pēc gardēžu apmeklējuma vismaz viena torte vēl palika nenopirkta!

LV.NOL.2024.7.5

Konditorejā nopērkamas \(10\) tortes, to cena ir attiecīgi \(20\); \(21\); \(22\); \(23\); \(24\); \(25\); \(26\); \(27\); \(28\); \(29\) eiro (katra torte ir tieši vienā eksemplārā). Konditorejā viens pēc otra iegriezās \(3\) gardēži, katrs no tiem nopirka sev dažas tortes, turklāt katrs iztērēja ne vairāk kā \(85\) eiro. Pierādīt, ka pēc gardēžu apmeklējuma vismaz viena torte vēl palika nenopirkta!

LV.NOL.2024.7.5

Konditorejā nopērkamas \(10\) tortes, to cena ir attiecīgi \(20\); \(21\); \(22\); \(23\); \(24\); \(25\); \(26\); \(27\); \(28\); \(29\) eiro (katra torte ir tieši vienā eksemplārā). Konditorejā viens pēc otra iegriezās \(3\) gardēži, katrs no tiem nopirka sev dažas tortes, turklāt katrs iztērēja ne vairāk kā \(85\) eiro. Pierādīt, ka pēc gardēžu apmeklējuma vismaz viena torte vēl palika nenopirkta!

LV.AMO.2003.8.1

Vienādojumiem \(x^{2}+p_{1}x+q_{1}=0\), \(x^{2}+p_{2}x+q_{2}=0\) un \(x^{2}+p_{3}x+q_{3}=0\) ir attiecīgi saknes \(x_{0}\) un \(x_{1}\), \(x_{0}\) un \(x_{2}\), \(x_{0}\) un \(x_{3}\). Izteikt vienādojuma \(x^{2}+\frac{p_{1}+p_{2}+p_{3}}{3} x+\frac{q_{1}+q_{2}+q_{3}}{3}=0\) saknes ar \(x_{0},\ x_{1},\ x_{2}\) un \(x_{3}\), nelietojot kvadrātsaknes zīmi.

LV.AMO.2003.8.1

Vienādojumiem \(x^{2}+p_{1}x+q_{1}=0\), \(x^{2}+p_{2}x+q_{2}=0\) un \(x^{2}+p_{3}x+q_{3}=0\) ir attiecīgi saknes \(x_{0}\) un \(x_{1}\), \(x_{0}\) un \(x_{2}\), \(x_{0}\) un \(x_{3}\). Izteikt vienādojuma \(x^{2}+\frac{p_{1}+p_{2}+p_{3}}{3} x+\frac{q_{1}+q_{2}+q_{3}}{3}=0\) saknes ar \(x_{0},\ x_{1},\ x_{2}\) un \(x_{3}\), nelietojot kvadrātsaknes zīmi.

LV.AMO.2003.8.1

Vienādojumiem \(x^{2}+p_{1}x+q_{1}=0\), \(x^{2}+p_{2}x+q_{2}=0\) un \(x^{2}+p_{3}x+q_{3}=0\) ir attiecīgi saknes \(x_{0}\) un \(x_{1}\), \(x_{0}\) un \(x_{2}\), \(x_{0}\) un \(x_{3}\). Izteikt vienādojuma \(x^{2}+\frac{p_{1}+p_{2}+p_{3}}{3} x+\frac{q_{1}+q_{2}+q_{3}}{3}=0\) saknes ar \(x_{0},\ x_{1},\ x_{2}\) un \(x_{3}\), nelietojot kvadrātsaknes zīmi.

LV.AMO.2003.8.1

Vienādojumiem \(x^{2}+p_{1}x+q_{1}=0\), \(x^{2}+p_{2}x+q_{2}=0\) un \(x^{2}+p_{3}x+q_{3}=0\) ir attiecīgi saknes \(x_{0}\) un \(x_{1}\), \(x_{0}\) un \(x_{2}\), \(x_{0}\) un \(x_{3}\). Izteikt vienādojuma \(x^{2}+\frac{p_{1}+p_{2}+p_{3}}{3} x+\frac{q_{1}+q_{2}+q_{3}}{3}=0\) saknes ar \(x_{0},\ x_{1},\ x_{2}\) un \(x_{3}\), nelietojot kvadrātsaknes zīmi.

LV.AMO.2003.8.5

Uz katras no divām lapām jāuzraksta pa \(n\) veseliem pozitīviem skaitļiem. Visiem \(2n\) uzrakstītajiem skaitļiem jābūt dažādiem. Pie tam uz lapām uzrakstīto skaitļu summām jābūt vienādām savā starpā, un uzrakstīto skaitļu kvadrātu summām arī jābūt vienādām savā starpā.

Vai tas iespējams, ja (A) \(n=3\), (B) \(n=4\), (C) \(n=2003\)?

LV.AMO.2003.8.5

Uz katras no divām lapām jāuzraksta pa \(n\) veseliem pozitīviem skaitļiem. Visiem \(2n\) uzrakstītajiem skaitļiem jābūt dažādiem. Pie tam uz lapām uzrakstīto skaitļu summām jābūt vienādām savā starpā, un uzrakstīto skaitļu kvadrātu summām arī jābūt vienādām savā starpā.

Vai tas iespējams, ja (A) \(n=3\), (B) \(n=4\), (C) \(n=2003\)?

LV.AMO.2003.8.5

Uz katras no divām lapām jāuzraksta pa \(n\) veseliem pozitīviem skaitļiem. Visiem \(2n\) uzrakstītajiem skaitļiem jābūt dažādiem. Pie tam uz lapām uzrakstīto skaitļu summām jābūt vienādām savā starpā, un uzrakstīto skaitļu kvadrātu summām arī jābūt vienādām savā starpā.

Vai tas iespējams, ja (A) \(n=3\), (B) \(n=4\), (C) \(n=2003\)?

LV.AMO.2003.8.5

Uz katras no divām lapām jāuzraksta pa \(n\) veseliem pozitīviem skaitļiem. Visiem \(2n\) uzrakstītajiem skaitļiem jābūt dažādiem. Pie tam uz lapām uzrakstīto skaitļu summām jābūt vienādām savā starpā, un uzrakstīto skaitļu kvadrātu summām arī jābūt vienādām savā starpā.

Vai tas iespējams, ja (A) \(n=3\), (B) \(n=4\), (C) \(n=2003\)?

LV.AMO.2004.8.5

Virknē augošā kārtībā izrakstīti naturālie skaitļi no \(1\) līdz \(2004\) ieskaitot, katrs vienu reizi. Izsvītrojam no tās skaitļus, kas atrodas \(1.,\ 4.,\ 7.,\ 10.,\ \ldots\) vietās. No palikušās virknes atkal izsvītrojam skaitļus, kas tajā atrodas \(1.,\ 4.,\ 7.,\ \ldots\) vietās. Ar iegūto virkni rīkojamies tāpat, utt., kamēr paliek neizsvītrots viens skaitlis. Kurš tas ir?

LV.AMO.2004.8.5

Virknē augošā kārtībā izrakstīti naturālie skaitļi no \(1\) līdz \(2004\) ieskaitot, katrs vienu reizi. Izsvītrojam no tās skaitļus, kas atrodas \(1.,\ 4.,\ 7.,\ 10.,\ \ldots\) vietās. No palikušās virknes atkal izsvītrojam skaitļus, kas tajā atrodas \(1.,\ 4.,\ 7.,\ \ldots\) vietās. Ar iegūto virkni rīkojamies tāpat, utt., kamēr paliek neizsvītrots viens skaitlis. Kurš tas ir?

LV.AMO.2004.8.5

Virknē augošā kārtībā izrakstīti naturālie skaitļi no \(1\) līdz \(2004\) ieskaitot, katrs vienu reizi. Izsvītrojam no tās skaitļus, kas atrodas \(1.,\ 4.,\ 7.,\ 10.,\ \ldots\) vietās. No palikušās virknes atkal izsvītrojam skaitļus, kas tajā atrodas \(1.,\ 4.,\ 7.,\ \ldots\) vietās. Ar iegūto virkni rīkojamies tāpat, utt., kamēr paliek neizsvītrots viens skaitlis. Kurš tas ir?

LV.AMO.2004.8.5

Virknē augošā kārtībā izrakstīti naturālie skaitļi no \(1\) līdz \(2004\) ieskaitot, katrs vienu reizi. Izsvītrojam no tās skaitļus, kas atrodas \(1.,\ 4.,\ 7.,\ 10.,\ \ldots\) vietās. No palikušās virknes atkal izsvītrojam skaitļus, kas tajā atrodas \(1.,\ 4.,\ 7.,\ \ldots\) vietās. Ar iegūto virkni rīkojamies tāpat, utt., kamēr paliek neizsvītrots viens skaitlis. Kurš tas ir?

LV.AMO.2008.8.3

Dots, ka \(n>1\) - naturāls skaitlis, kas nav pirmskaitlis. Pierādīt, ka var atrast vismaz trīs dažādus naturālus skaitļus \(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{k}\), kas apmierina sakarību \(a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{k}=n \cdot\left(\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\ldots+\frac{1}{a_{k}}\right)\).

LV.AMO.2008.8.3

Dots, ka \(n>1\) - naturāls skaitlis, kas nav pirmskaitlis. Pierādīt, ka var atrast vismaz trīs dažādus naturālus skaitļus \(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{k}\), kas apmierina sakarību \(a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{k}=n \cdot\left(\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\ldots+\frac{1}{a_{k}}\right)\).

LV.AMO.2008.8.3

Dots, ka \(n>1\) - naturāls skaitlis, kas nav pirmskaitlis. Pierādīt, ka var atrast vismaz trīs dažādus naturālus skaitļus \(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{k}\), kas apmierina sakarību \(a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{k}=n \cdot\left(\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\ldots+\frac{1}{a_{k}}\right)\).

LV.AMO.2008.8.3

Dots, ka \(n>1\) - naturāls skaitlis, kas nav pirmskaitlis. Pierādīt, ka var atrast vismaz trīs dažādus naturālus skaitļus \(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{k}\), kas apmierina sakarību \(a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{k}=n \cdot\left(\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\ldots+\frac{1}{a_{k}}\right)\).

LV.AMO.2015.8.1

Nosaki, vai izteiksmes \(\sqrt{6+2 \sqrt{5}}-\sqrt{6-2 \sqrt{5}}\) vērtība ir racionāls skaitlis!

LV.AMO.2015.8.1

Nosaki, vai izteiksmes \(\sqrt{6+2 \sqrt{5}}-\sqrt{6-2 \sqrt{5}}\) vērtība ir racionāls skaitlis!

LV.AMO.2015.8.1

Nosaki, vai izteiksmes \(\sqrt{6+2 \sqrt{5}}-\sqrt{6-2 \sqrt{5}}\) vērtība ir racionāls skaitlis!

LV.AMO.2015.8.1

Nosaki, vai izteiksmes \(\sqrt{6+2 \sqrt{5}}-\sqrt{6-2 \sqrt{5}}\) vērtība ir racionāls skaitlis!

LV.AMO.2015.8.3

Atrast vienu naturālu skaitli, kas lielāks nekā \(2015\) un ko nevar izteikt kā naturāla skaitļa kvadrāta un pirmskaitļa summu.

LV.AMO.2015.8.3

Atrast vienu naturālu skaitli, kas lielāks nekā \(2015\) un ko nevar izteikt kā naturāla skaitļa kvadrāta un pirmskaitļa summu.

LV.AMO.2015.8.3

Atrast vienu naturālu skaitli, kas lielāks nekā \(2015\) un ko nevar izteikt kā naturāla skaitļa kvadrāta un pirmskaitļa summu.

LV.AMO.2015.8.3

Atrast vienu naturālu skaitli, kas lielāks nekā \(2015\) un ko nevar izteikt kā naturāla skaitļa kvadrāta un pirmskaitļa summu.

LV.AMO.2016.8.1

Aprēķini dotās izteiksmes vērtību!

\[\frac{2000016 \cdot 1999984}{5^{12} \cdot 2^{13}-128}\]

LV.AMO.2016.8.1

Aprēķini dotās izteiksmes vērtību!

\[\frac{2000016 \cdot 1999984}{5^{12} \cdot 2^{13}-128}\]

LV.AMO.2016.8.1

Aprēķini dotās izteiksmes vērtību!

\[\frac{2000016 \cdot 1999984}{5^{12} \cdot 2^{13}-128}\]

LV.AMO.2016.8.1

Aprēķini dotās izteiksmes vērtību!

\[\frac{2000016 \cdot 1999984}{5^{12} \cdot 2^{13}-128}\]

LV.NOL.2004.8.2

Ir zināms, ka skaitļa \(2^{200}\) decimālajā pierakstā ir \(61\) cipars. Cik daudziem no skaitļiem \(2^{1};\ 2^{2};\ 2^{3};\ \ldots;\ 2^{199};\ 2^{200}\) decimālais pieraksts sākas ar ciparu \(1\)?

LV.NOL.2004.8.2

Ir zināms, ka skaitļa \(2^{200}\) decimālajā pierakstā ir \(61\) cipars. Cik daudziem no skaitļiem \(2^{1};\ 2^{2};\ 2^{3};\ \ldots;\ 2^{199};\ 2^{200}\) decimālais pieraksts sākas ar ciparu \(1\)?

LV.NOL.2004.8.2

Ir zināms, ka skaitļa \(2^{200}\) decimālajā pierakstā ir \(61\) cipars. Cik daudziem no skaitļiem \(2^{1};\ 2^{2};\ 2^{3};\ \ldots;\ 2^{199};\ 2^{200}\) decimālais pieraksts sākas ar ciparu \(1\)?

LV.NOL.2004.8.2

Ir zināms, ka skaitļa \(2^{200}\) decimālajā pierakstā ir \(61\) cipars. Cik daudziem no skaitļiem \(2^{1};\ 2^{2};\ 2^{3};\ \ldots;\ 2^{199};\ 2^{200}\) decimālais pieraksts sākas ar ciparu \(1\)?

LV.NOL.2005.8.1

Ir zināms, ka skaitļa \(2^{100}\) decimālajā pierakstā ir \(31\) cipars. Cik daudziem no skaitļiem \(2^{1};\ 2^{2};\ 2^{3};\ \ldots;\ 2^{99};\ 2^{100}\) decimālais pieraksts sākas ar ciparu \(1\)?

LV.NOL.2005.8.1

Ir zināms, ka skaitļa \(2^{100}\) decimālajā pierakstā ir \(31\) cipars. Cik daudziem no skaitļiem \(2^{1};\ 2^{2};\ 2^{3};\ \ldots;\ 2^{99};\ 2^{100}\) decimālais pieraksts sākas ar ciparu \(1\)?

LV.NOL.2005.8.1

Ir zināms, ka skaitļa \(2^{100}\) decimālajā pierakstā ir \(31\) cipars. Cik daudziem no skaitļiem \(2^{1};\ 2^{2};\ 2^{3};\ \ldots;\ 2^{99};\ 2^{100}\) decimālais pieraksts sākas ar ciparu \(1\)?

LV.NOL.2005.8.1

Ir zināms, ka skaitļa \(2^{100}\) decimālajā pierakstā ir \(31\) cipars. Cik daudziem no skaitļiem \(2^{1};\ 2^{2};\ 2^{3};\ \ldots;\ 2^{99};\ 2^{100}\) decimālais pieraksts sākas ar ciparu \(1\)?

LV.NOL.2006.8.1

Ir zināms, ka visiem \(x\) pastāv vienādība \(x^{4}+64=\left(x^{2}-4x+8\right) \cdot A\), kur \(A\) ir izteiksme, kas izveidota no \(x\) un naturāliem skaitļiem ar saskaitīšanas, atņemšanas un reizināšanas operāciju palīdzību. Atrast \(A\).

LV.NOL.2006.8.1

Ir zināms, ka visiem \(x\) pastāv vienādība \(x^{4}+64=\left(x^{2}-4x+8\right) \cdot A\), kur \(A\) ir izteiksme, kas izveidota no \(x\) un naturāliem skaitļiem ar saskaitīšanas, atņemšanas un reizināšanas operāciju palīdzību. Atrast \(A\).

LV.NOL.2006.8.1

Ir zināms, ka visiem \(x\) pastāv vienādība \(x^{4}+64=\left(x^{2}-4x+8\right) \cdot A\), kur \(A\) ir izteiksme, kas izveidota no \(x\) un naturāliem skaitļiem ar saskaitīšanas, atņemšanas un reizināšanas operāciju palīdzību. Atrast \(A\).

LV.NOL.2006.8.1

Ir zināms, ka visiem \(x\) pastāv vienādība \(x^{4}+64=\left(x^{2}-4x+8\right) \cdot A\), kur \(A\) ir izteiksme, kas izveidota no \(x\) un naturāliem skaitļiem ar saskaitīšanas, atņemšanas un reizināšanas operāciju palīdzību. Atrast \(A\).

LV.NOL.2008.8.1

Sešciparu naturālu skaitli sauc par laimīgu, ja kaut kādu \(3\) ciparu summa vienāda ar pārējo \(3\) ciparu summu. Divi viens otram sekojoši skaitļi ir laimīgi. Pierādīt, ka viens no tiem dalās ar \(10\).

LV.NOL.2008.8.1

Sešciparu naturālu skaitli sauc par laimīgu, ja kaut kādu \(3\) ciparu summa vienāda ar pārējo \(3\) ciparu summu. Divi viens otram sekojoši skaitļi ir laimīgi. Pierādīt, ka viens no tiem dalās ar \(10\).

LV.NOL.2008.8.1

Sešciparu naturālu skaitli sauc par laimīgu, ja kaut kādu \(3\) ciparu summa vienāda ar pārējo \(3\) ciparu summu. Divi viens otram sekojoši skaitļi ir laimīgi. Pierādīt, ka viens no tiem dalās ar \(10\).

LV.NOL.2008.8.1

Sešciparu naturālu skaitli sauc par laimīgu, ja kaut kādu \(3\) ciparu summa vienāda ar pārējo \(3\) ciparu summu. Divi viens otram sekojoši skaitļi ir laimīgi. Pierādīt, ka viens no tiem dalās ar \(10\).

LV.NOL.2009.8.1

Tabulā (skat. 4.zīm.) Katrīnai jāizvēlas \(4\) rūtiņas tā, ka katrā rindā un katrā kolonnā tika izvēlēta tieši viena rūtiņa. Pierādiet: neatkarīgi no tā, kuras \(4\) rūtiņas saskaņā ar šiem noteikumiem Katrīna izvēlēsies, tajās ierakstīto skaitļu summa būs \(64\).

LV.NOL.2009.8.1

Tabulā (skat. 4.zīm.) Katrīnai jāizvēlas \(4\) rūtiņas tā, ka katrā rindā un katrā kolonnā tika izvēlēta tieši viena rūtiņa. Pierādiet: neatkarīgi no tā, kuras \(4\) rūtiņas saskaņā ar šiem noteikumiem Katrīna izvēlēsies, tajās ierakstīto skaitļu summa būs \(64\).

LV.NOL.2009.8.1

Tabulā (skat. 4.zīm.) Katrīnai jāizvēlas \(4\) rūtiņas tā, ka katrā rindā un katrā kolonnā tika izvēlēta tieši viena rūtiņa. Pierādiet: neatkarīgi no tā, kuras \(4\) rūtiņas saskaņā ar šiem noteikumiem Katrīna izvēlēsies, tajās ierakstīto skaitļu summa būs \(64\).

LV.NOL.2009.8.1

Tabulā (skat. 4.zīm.) Katrīnai jāizvēlas \(4\) rūtiņas tā, ka katrā rindā un katrā kolonnā tika izvēlēta tieši viena rūtiņa. Pierādiet: neatkarīgi no tā, kuras \(4\) rūtiņas saskaņā ar šiem noteikumiem Katrīna izvēlēsies, tajās ierakstīto skaitļu summa būs \(64\).

LV.NOL.2010.8.1

Kuru no skaitļiem \(102^{2} \cdot 103^{2} \cdot \ldots \cdot 199^{2}\) un \(\left(102^{2}-1\right)\left(103^{2}-1\right) \ldots\left(199^{2}-1\right)\) sadalot pirmskaitļu reizinājumā, iegūst vairāk dažādu pirmskaitļu? Par cik vairāk?

(Paskaidrojums: \(24=2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3\) satur divus dažādus pirmskaitļus- \(2\) un \(3\).)

LV.NOL.2010.8.1

Kuru no skaitļiem \(102^{2} \cdot 103^{2} \cdot \ldots \cdot 199^{2}\) un \(\left(102^{2}-1\right)\left(103^{2}-1\right) \ldots\left(199^{2}-1\right)\) sadalot pirmskaitļu reizinājumā, iegūst vairāk dažādu pirmskaitļu? Par cik vairāk?

(Paskaidrojums: \(24=2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3\) satur divus dažādus pirmskaitļus- \(2\) un \(3\).)

LV.NOL.2010.8.1

Kuru no skaitļiem \(102^{2} \cdot 103^{2} \cdot \ldots \cdot 199^{2}\) un \(\left(102^{2}-1\right)\left(103^{2}-1\right) \ldots\left(199^{2}-1\right)\) sadalot pirmskaitļu reizinājumā, iegūst vairāk dažādu pirmskaitļu? Par cik vairāk?

(Paskaidrojums: \(24=2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3\) satur divus dažādus pirmskaitļus- \(2\) un \(3\).)

LV.NOL.2010.8.1

Kuru no skaitļiem \(102^{2} \cdot 103^{2} \cdot \ldots \cdot 199^{2}\) un \(\left(102^{2}-1\right)\left(103^{2}-1\right) \ldots\left(199^{2}-1\right)\) sadalot pirmskaitļu reizinājumā, iegūst vairāk dažādu pirmskaitļu? Par cik vairāk?

(Paskaidrojums: \(24=2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3\) satur divus dažādus pirmskaitļus- \(2\) un \(3\).)

LV.NOL.2010.8.1

Kuru no skaitļiem \(102^{2} \cdot 103^{2} \cdot \ldots \cdot 199^{2}\) un \(\left(102^{2}-1\right)\left(103^{2}-1\right) \ldots\left(199^{2}-1\right)\) sadalot pirmskaitļu reizinājumā, iegūst vairāk dažādu pirmskaitļu? Par cik vairāk?

(Paskaidrojums: \(24=2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3\) satur divus dažādus pirmskaitļus- \(2\) un \(3\).)

LV.NOL.2010.8.1

Kuru no skaitļiem \(102^{2} \cdot 103^{2} \cdot \ldots \cdot 199^{2}\) un \(\left(102^{2}-1\right)\left(103^{2}-1\right) \ldots\left(199^{2}-1\right)\) sadalot pirmskaitļu reizinājumā, iegūst vairāk dažādu pirmskaitļu? Par cik vairāk?

(Paskaidrojums: \(24=2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3\) satur divus dažādus pirmskaitļus- \(2\) un \(3\).)

LV.NOL.2010.8.1

Kuru no skaitļiem \(102^{2} \cdot 103^{2} \cdot \ldots \cdot 199^{2}\) un \(\left(102^{2}-1\right)\left(103^{2}-1\right) \ldots\left(199^{2}-1\right)\) sadalot pirmskaitļu reizinājumā, iegūst vairāk dažādu pirmskaitļu? Par cik vairāk?

(Paskaidrojums: \(24=2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3\) satur divus dažādus pirmskaitļus- \(2\) un \(3\).)

LV.NOL.2012.8.1

Skaitli \(3999991\) uzrakstīt kā divu veselu skaitļu reizinājumu tā, lai katrs no reizinātājiem ir lielāks nekā \(1\).

LV.NOL.2012.8.1

Skaitli \(3999991\) uzrakstīt kā divu veselu skaitļu reizinājumu tā, lai katrs no reizinātājiem ir lielāks nekā \(1\).

LV.NOL.2012.8.1

Skaitli \(3999991\) uzrakstīt kā divu veselu skaitļu reizinājumu tā, lai katrs no reizinātājiem ir lielāks nekā \(1\).

LV.NOL.2012.8.1

Skaitli \(3999991\) uzrakstīt kā divu veselu skaitļu reizinājumu tā, lai katrs no reizinātājiem ir lielāks nekā \(1\).

LV.NOL.2013.8.1

Skaitli \(8999999\) uzraksti kā divu veselu skaitļu reizinājumu tā, lai katrs no reizinātājiem ir lielāks nekā \(1\).

LV.NOL.2013.8.1

Skaitli \(8999999\) uzraksti kā divu veselu skaitļu reizinājumu tā, lai katrs no reizinātājiem ir lielāks nekā \(1\).

LV.NOL.2013.8.1

Skaitli \(8999999\) uzraksti kā divu veselu skaitļu reizinājumu tā, lai katrs no reizinātājiem ir lielāks nekā \(1\).

LV.NOL.2013.8.1

Skaitli \(8999999\) uzraksti kā divu veselu skaitļu reizinājumu tā, lai katrs no reizinātājiem ir lielāks nekā \(1\).

LV.NOL.2013.8.4

Kvadrātā \(3 \times 3\) rūtiņas ieraksti deviņus dažādus naturālus skaitļus tā, lai katrā rindiņā ierakstīto skaitļu reizinājums un katrā kolonnā ierakstīto skaitļu reizinājums būtu viens un tas pats.

LV.NOL.2013.8.4

Kvadrātā \(3 \times 3\) rūtiņas ieraksti deviņus dažādus naturālus skaitļus tā, lai katrā rindiņā ierakstīto skaitļu reizinājums un katrā kolonnā ierakstīto skaitļu reizinājums būtu viens un tas pats.

LV.NOL.2013.8.4

Kvadrātā \(3 \times 3\) rūtiņas ieraksti deviņus dažādus naturālus skaitļus tā, lai katrā rindiņā ierakstīto skaitļu reizinājums un katrā kolonnā ierakstīto skaitļu reizinājums būtu viens un tas pats.

LV.NOL.2013.8.4

Kvadrātā \(3 \times 3\) rūtiņas ieraksti deviņus dažādus naturālus skaitļus tā, lai katrā rindiņā ierakstīto skaitļu reizinājums un katrā kolonnā ierakstīto skaitļu reizinājums būtu viens un tas pats.

LV.AMO.2003.9.2

Kvadrāts sastāv no \(4 \times 4\) rūtiņām. Vai var tajās ierakstīt naturālus skaitļus no \(1\) līdz \(16\) (katrā rūtiņā - citu skaitli) tā, lai skaitļu summas visās rindās un kolonnās būtu dažādas un visas dalītos ar (A) \(4\), (B) \(8\)?

LV.AMO.2003.9.2

Kvadrāts sastāv no \(4 \times 4\) rūtiņām. Vai var tajās ierakstīt naturālus skaitļus no \(1\) līdz \(16\) (katrā rūtiņā - citu skaitli) tā, lai skaitļu summas visās rindās un kolonnās būtu dažādas un visas dalītos ar (A) \(4\), (B) \(8\)?

LV.AMO.2003.9.2

Kvadrāts sastāv no \(4 \times 4\) rūtiņām. Vai var tajās ierakstīt naturālus skaitļus no \(1\) līdz \(16\) (katrā rūtiņā - citu skaitli) tā, lai skaitļu summas visās rindās un kolonnās būtu dažādas un visas dalītos ar (A) \(4\), (B) \(8\)?

LV.AMO.2003.10.1

Vai noteikti \(x+\frac{4}{x}>y+\frac{4}{y}\), ja

(A) \(x>y>0\), (B) \(x>y>2\)?

LV.AMO.2003.10.1

Vai noteikti \(x+\frac{4}{x}>y+\frac{4}{y}\), ja

(A) \(x>y>0\), (B) \(x>y>2\)?

LV.AMO.2003.10.1

Vai noteikti \(x+\frac{4}{x}>y+\frac{4}{y}\), ja

(A) \(x>y>0\), (B) \(x>y>2\)?

LV.AMO.2003.10.3

Dots, ka \(n\) - vesels pozitīvs skaitlis un skaitļi \(2n+1\) un \(3n+1\) ir veselu skaitļu kvadrāti.

(A) atrodiet kaut vienu tādu \(n\),

(B) vai \(5n+3\) var būt pirmskaitlis?

LV.AMO.2003.10.3

Dots, ka \(n\) - vesels pozitīvs skaitlis un skaitļi \(2n+1\) un \(3n+1\) ir veselu skaitļu kvadrāti.

(A) atrodiet kaut vienu tādu \(n\),

(B) vai \(5n+3\) var būt pirmskaitlis?

LV.AMO.2010.10.4

Cik dažādos veidos skaitli \(2010\) var izteikt kā vismaz divu pēc kārtas sekojošu naturālu skaitļu summu? Saskaitāmo secība nav svarīga.

LV.AMO.2010.10.4

Cik dažādos veidos skaitli \(2010\) var izteikt kā vismaz divu pēc kārtas sekojošu naturālu skaitļu summu? Saskaitāmo secība nav svarīga.

LV.AMO.2010.10.4

Cik dažādos veidos skaitli \(2010\) var izteikt kā vismaz divu pēc kārtas sekojošu naturālu skaitļu summu? Saskaitāmo secība nav svarīga.

LV.AMO.2010.10.4

Cik dažādos veidos skaitli \(2010\) var izteikt kā vismaz divu pēc kārtas sekojošu naturālu skaitļu summu? Saskaitāmo secība nav svarīga.

LV.AMO.2013.10.4

No pirmajiem \(100\) naturālajiem skaitļiem izvēlēts \(51\) skaitlis. Pierādīt, ka no tiem var izvēlēties divus, no kuriem viens dalās ar otru.

LV.AMO.2013.10.4

No pirmajiem \(100\) naturālajiem skaitļiem izvēlēts \(51\) skaitlis. Pierādīt, ka no tiem var izvēlēties divus, no kuriem viens dalās ar otru.

LV.AMO.2013.10.4

No pirmajiem \(100\) naturālajiem skaitļiem izvēlēts \(51\) skaitlis. Pierādīt, ka no tiem var izvēlēties divus, no kuriem viens dalās ar otru.

LV.AMO.2015.10.3

Atrast visus naturālos skaitļus, kas ir vienādi ar savu ciparu reizinājumu. (Par viencipara skaitļa ciparu reizinājumu sauc tā vienīgo ciparu.)

LV.AMO.2015.10.3

Atrast visus naturālos skaitļus, kas ir vienādi ar savu ciparu reizinājumu. (Par viencipara skaitļa ciparu reizinājumu sauc tā vienīgo ciparu.)

LV.AMO.2015.10.3

Atrast visus naturālos skaitļus, kas ir vienādi ar savu ciparu reizinājumu. (Par viencipara skaitļa ciparu reizinājumu sauc tā vienīgo ciparu.)

LV.AMO.2016.10.3

Aritmētiskās progresijas četri pēc kārtas ņemti locekļi ir veseli skaitļi \(A, B, C\) un \(D\). Pierādīt, ka \(A^{2}+2B^{2}+3C^{2}+4D^{2}\) var izteikt kā divu veselu skaitļu kvadrātu summu!

LV.AMO.2016.10.3

Aritmētiskās progresijas četri pēc kārtas ņemti locekļi ir veseli skaitļi \(A, B, C\) un \(D\). Pierādīt, ka \(A^{2}+2B^{2}+3C^{2}+4D^{2}\) var izteikt kā divu veselu skaitļu kvadrātu summu!

LV.AMO.2016.10.3

Aritmētiskās progresijas četri pēc kārtas ņemti locekļi ir veseli skaitļi \(A, B, C\) un \(D\). Pierādīt, ka \(A^{2}+2B^{2}+3C^{2}+4D^{2}\) var izteikt kā divu veselu skaitļu kvadrātu summu!

LV.AMO.2016.10.3

Aritmētiskās progresijas četri pēc kārtas ņemti locekļi ir veseli skaitļi \(A, B, C\) un \(D\). Pierādīt, ka \(A^{2}+2B^{2}+3C^{2}+4D^{2}\) var izteikt kā divu veselu skaitļu kvadrātu summu!

LV.AMO.2016.10.3

Aritmētiskās progresijas četri pēc kārtas ņemti locekļi ir veseli skaitļi \(A, B, C\) un \(D\). Pierādīt, ka \(A^{2}+2B^{2}+3C^{2}+4D^{2}\) var izteikt kā divu veselu skaitļu kvadrātu summu!

LV.AMO.2016.10.3

Aritmētiskās progresijas četri pēc kārtas ņemti locekļi ir veseli skaitļi \(A, B, C\) un \(D\). Pierādīt, ka \(A^{2}+2B^{2}+3C^{2}+4D^{2}\) var izteikt kā divu veselu skaitļu kvadrātu summu!

LV.AMO.2016.10.3

Aritmētiskās progresijas četri pēc kārtas ņemti locekļi ir veseli skaitļi \(A, B, C\) un \(D\). Pierādīt, ka \(A^{2}+2B^{2}+3C^{2}+4D^{2}\) var izteikt kā divu veselu skaitļu kvadrātu summu!

LV.AMO.2016.10.3

Aritmētiskās progresijas četri pēc kārtas ņemti locekļi ir veseli skaitļi \(A, B, C\) un \(D\). Pierādīt, ka \(A^{2}+2B^{2}+3C^{2}+4D^{2}\) var izteikt kā divu veselu skaitļu kvadrātu summu!

LV.AMO.2019.10.4

Kādām naturālām \(n\) vērtībām izteiksme \(n^{2}+n+19\) ir kāda naturāla skaitļa kvadrāts?

LV.AMO.2019.10.4

Kādām naturālām \(n\) vērtībām izteiksme \(n^{2}+n+19\) ir kāda naturāla skaitļa kvadrāts?

LV.AMO.2019.10.4

Kādām naturālām \(n\) vērtībām izteiksme \(n^{2}+n+19\) ir kāda naturāla skaitļa kvadrāts?

LV.AMO.2019.10.4

Kādām naturālām \(n\) vērtībām izteiksme \(n^{2}+n+19\) ir kāda naturāla skaitļa kvadrāts?

LV.NOL.2008.10.1

Atrodiet mazāko naturālo skaitli, ko var izsacīt gan kā \(15\), gan kā \(16\), gan kā \(17\) pēc kārtas ņemtu naturālu skaitļu summu.

LV.NOL.2008.10.1

Atrodiet mazāko naturālo skaitli, ko var izsacīt gan kā \(15\), gan kā \(16\), gan kā \(17\) pēc kārtas ņemtu naturālu skaitļu summu.

LV.NOL.2008.10.1

Atrodiet mazāko naturālo skaitli, ko var izsacīt gan kā \(15\), gan kā \(16\), gan kā \(17\) pēc kārtas ņemtu naturālu skaitļu summu.

LV.NOL.2008.10.1

Atrodiet mazāko naturālo skaitli, ko var izsacīt gan kā \(15\), gan kā \(16\), gan kā \(17\) pēc kārtas ņemtu naturālu skaitļu summu.

LV.NOL.2008.10.1

Atrodiet mazāko naturālo skaitli, ko var izsacīt gan kā \(15\), gan kā \(16\), gan kā \(17\) pēc kārtas ņemtu naturālu skaitļu summu.

LV.NOL.2010.10.2

Dots, ka \(a\) un \(b\) ir naturāli skaitļi, \(a^{2}\) dalās ar \(b\) un \(b^{2}\) dalās ar \(a\). Pierādīt, ka \((a-b)^{3}\) dalās ar \(a \cdot b\). Vai noteikti \((a-b)^{2}\) dalās ar \(a \cdot b\)?

LV.NOL.2010.10.2

Dots, ka \(a\) un \(b\) ir naturāli skaitļi, \(a^{2}\) dalās ar \(b\) un \(b^{2}\) dalās ar \(a\). Pierādīt, ka \((a-b)^{3}\) dalās ar \(a \cdot b\). Vai noteikti \((a-b)^{2}\) dalās ar \(a \cdot b\)?

LV.NOL.2010.10.2

Dots, ka \(a\) un \(b\) ir naturāli skaitļi, \(a^{2}\) dalās ar \(b\) un \(b^{2}\) dalās ar \(a\). Pierādīt, ka \((a-b)^{3}\) dalās ar \(a \cdot b\). Vai noteikti \((a-b)^{2}\) dalās ar \(a \cdot b\)?

LV.NOL.2010.10.2

Dots, ka \(a\) un \(b\) ir naturāli skaitļi, \(a^{2}\) dalās ar \(b\) un \(b^{2}\) dalās ar \(a\). Pierādīt, ka \((a-b)^{3}\) dalās ar \(a \cdot b\). Vai noteikti \((a-b)^{2}\) dalās ar \(a \cdot b\)?

LV.NOL.2010.10.4

Atrisināt naturālos skaitļos vienādojumu \(x^{3}=y!+2\).

LV.NOL.2010.10.4

Atrisināt naturālos skaitļos vienādojumu \(x^{3}=y!+2\).

LV.NOL.2010.10.4

Atrisināt naturālos skaitļos vienādojumu \(x^{3}=y!+2\).

LV.NOL.2010.10.4

Atrisināt naturālos skaitļos vienādojumu \(x^{3}=y!+2\).

LV.NOL.2014.10.2

Pierādīt, ka, izvēloties \(52\) no aritmētiskās progresijas \(1,\ 4,\ 7,\ 10,\ \ldots\) locekļiem, kas nepārsniedz \(300\), vienmēr starp šiem skaitļiem var atrast divus skaitļus, kuru summa ir \(302\).

LV.NOL.2014.10.2

Pierādīt, ka, izvēloties \(52\) no aritmētiskās progresijas \(1,\ 4,\ 7,\ 10,\ \ldots\) locekļiem, kas nepārsniedz \(300\), vienmēr starp šiem skaitļiem var atrast divus skaitļus, kuru summa ir \(302\).

LV.NOL.2014.10.2

Pierādīt, ka, izvēloties \(52\) no aritmētiskās progresijas \(1,\ 4,\ 7,\ 10,\ \ldots\) locekļiem, kas nepārsniedz \(300\), vienmēr starp šiem skaitļiem var atrast divus skaitļus, kuru summa ir \(302\).

LV.NOL.2014.10.2

Pierādīt, ka, izvēloties \(52\) no aritmētiskās progresijas \(1,\ 4,\ 7,\ 10,\ \ldots\) locekļiem, kas nepārsniedz \(300\), vienmēr starp šiem skaitļiem var atrast divus skaitļus, kuru summa ir \(302\).

LV.NOL.2015.10.3

Vairāku pēc kārtas sekojošu naturālu skaitļu summa ir \(177\). Kādas vērtības var pieņemt mazākais no šiem saskaitāmajiem?

LV.NOL.2015.10.3

Vairāku pēc kārtas sekojošu naturālu skaitļu summa ir \(177\). Kādas vērtības var pieņemt mazākais no šiem saskaitāmajiem?

LV.NOL.2015.10.3

Vairāku pēc kārtas sekojošu naturālu skaitļu summa ir \(177\). Kādas vērtības var pieņemt mazākais no šiem saskaitāmajiem?

LV.NOL.2015.10.3

Vairāku pēc kārtas sekojošu naturālu skaitļu summa ir \(177\). Kādas vērtības var pieņemt mazākais no šiem saskaitāmajiem?

LV.NOL.2016.10.1

Pierādīt, ka katram naturālam \(n\) ir patiesa vienādība \(1 \cdot 4+2 \cdot 7+3 \cdot 10+\cdots+n \cdot(3n+1)=n(n+1)^{2}\).

LV.NOL.2016.10.1

Pierādīt, ka katram naturālam \(n\) ir patiesa vienādība \(1 \cdot 4+2 \cdot 7+3 \cdot 10+\cdots+n \cdot(3n+1)=n(n+1)^{2}\).

LV.NOL.2016.10.1

Pierādīt, ka katram naturālam \(n\) ir patiesa vienādība \(1 \cdot 4+2 \cdot 7+3 \cdot 10+\cdots+n \cdot(3n+1)=n(n+1)^{2}\).

LV.NOL.2016.10.1

Pierādīt, ka katram naturālam \(n\) ir patiesa vienādība \(1 \cdot 4+2 \cdot 7+3 \cdot 10+\cdots+n \cdot(3n+1)=n(n+1)^{2}\).

LV.VOL.2011.10.4

Dots polinoms \(f(x)\) ar veseliem koeficientiem. Vai iespējams, ka \(f(2011)=100\), bet \(f(11)=1000\)?

LV.VOL.2011.10.4

Dots polinoms \(f(x)\) ar veseliem koeficientiem. Vai iespējams, ka \(f(2011)=100\), bet \(f(11)=1000\)?

LV.VOL.2011.10.4

Dots polinoms \(f(x)\) ar veseliem koeficientiem. Vai iespējams, ka \(f(2011)=100\), bet \(f(11)=1000\)?

LV.VOL.2011.10.4

Dots polinoms \(f(x)\) ar veseliem koeficientiem. Vai iespējams, ka \(f(2011)=100\), bet \(f(11)=1000\)?

LV.VOL.2012.10.3

Naturāla skaitļa \(N\) decimālajā pierakstā izmantots tikai cipars \(6\). Pierādīt, ka skaitļa \(N^{2}\) decimālajā pierakstā nav cipara \(0\).

LV.VOL.2012.10.3

Naturāla skaitļa \(N\) decimālajā pierakstā izmantots tikai cipars \(6\). Pierādīt, ka skaitļa \(N^{2}\) decimālajā pierakstā nav cipara \(0\).

LV.VOL.2012.10.3

Naturāla skaitļa \(N\) decimālajā pierakstā izmantots tikai cipars \(6\). Pierādīt, ka skaitļa \(N^{2}\) decimālajā pierakstā nav cipara \(0\).

LV.VOL.2012.10.3

Naturāla skaitļa \(N\) decimālajā pierakstā izmantots tikai cipars \(6\). Pierādīt, ka skaitļa \(N^{2}\) decimālajā pierakstā nav cipara \(0\).

LV.VOL.2013.10.4

Dota Fibonači skaitļu virkne \(x_{1}=x_{2}=1, x_{i+2}=x_{i}+x_{i+1}\).

Pierādīt, ka šajā virknē ir bezgalīgi daudz skaitļu, kas nav naturāla skaitļa kvadrāti.

LV.VOL.2013.10.4

Dota Fibonači skaitļu virkne \(x_{1}=x_{2}=1, x_{i+2}=x_{i}+x_{i+1}\).

Pierādīt, ka šajā virknē ir bezgalīgi daudz skaitļu, kas nav naturāla skaitļa kvadrāti.

LV.VOL.2013.10.4

Dota Fibonači skaitļu virkne \(x_{1}=x_{2}=1, x_{i+2}=x_{i}+x_{i+1}\).

Pierādīt, ka šajā virknē ir bezgalīgi daudz skaitļu, kas nav naturāla skaitļa kvadrāti.

LV.VOL.2013.10.4

Dota Fibonači skaitļu virkne \(x_{1}=x_{2}=1, x_{i+2}=x_{i}+x_{i+1}\).

Pierādīt, ka šajā virknē ir bezgalīgi daudz skaitļu, kas nav naturāla skaitļa kvadrāti.

LV.AMO.2003.11.1

Dots, ka \(x,\ y,\ z\) - reāli skaitļi un

\[|x+y-z|+|x-y+z|+|-x+y+z|=2003\]

Kāda ir lielākā iespējamā \(z\) vērtība?

LV.AMO.2003.11.1

Dots, ka \(x,\ y,\ z\) - reāli skaitļi un

\[|x+y-z|+|x-y+z|+|-x+y+z|=2003\]

Kāda ir lielākā iespējamā \(z\) vērtība?

LV.AMO.2003.11.1

Dots, ka \(x,\ y,\ z\) - reāli skaitļi un

\[|x+y-z|+|x-y+z|+|-x+y+z|=2003\]

Kāda ir lielākā iespējamā \(z\) vērtība?

LV.AMO.2019.11.4

Zināms, ka vairāku naturālu skaitļu summa ir (A) \(2019\), (B) \(2020\). Kāds ir lielākais iespējamais šo skaitļu reizinājums?

LV.AMO.2019.11.4

Zināms, ka vairāku naturālu skaitļu summa ir (A) \(2019\), (B) \(2020\). Kāds ir lielākais iespējamais šo skaitļu reizinājums?

LV.AMO.2019.11.4

Zināms, ka vairāku naturālu skaitļu summa ir (A) \(2019\), (B) \(2020\). Kāds ir lielākais iespējamais šo skaitļu reizinājums?

LV.AMO.2023.11.1

Mārim bija četru veidu konfektes: 15 “Serenādes”, 25 “Lācīši Ķepainīši”, 35 “Vāverītes” un 45 “Sarkanās magones”. Katru no saviem dzimšanas dienas viesiem viņš uzcienāja ar tieši 3 dažādām konfektēm. Kāds ir lielākais iespējamais viesu skaits, kas bija ieradušies uz Māra dzimšanas dienas svinībām?

LV.AMO.2023.11.1

Mārim bija četru veidu konfektes: 15 “Serenādes”, 25 “Lācīši Ķepainīši”, 35 “Vāverītes” un 45 “Sarkanās magones”. Katru no saviem dzimšanas dienas viesiem viņš uzcienāja ar tieši 3 dažādām konfektēm. Kāds ir lielākais iespējamais viesu skaits, kas bija ieradušies uz Māra dzimšanas dienas svinībām?

LV.AMO.2023.11.1

Mārim bija četru veidu konfektes: 15 “Serenādes”, 25 “Lācīši Ķepainīši”, 35 “Vāverītes” un 45 “Sarkanās magones”. Katru no saviem dzimšanas dienas viesiem viņš uzcienāja ar tieši 3 dažādām konfektēm. Kāds ir lielākais iespējamais viesu skaits, kas bija ieradušies uz Māra dzimšanas dienas svinībām?

LV.VOL.2016.11.3

Pierādīt, ka katram naturālam skaitlim \(n(n>1)\) var atrast tādus naturālus skaitļus \(x\) un \(y(x \leq y)\), ka

\[\frac{1}{n}=\frac{1}{x(x+1)}+\frac{1}{(x+1)(x+2)}+\cdots+\frac{1}{y(y+1)}\]

LV.VOL.2016.11.3

Pierādīt, ka katram naturālam skaitlim \(n(n>1)\) var atrast tādus naturālus skaitļus \(x\) un \(y(x \leq y)\), ka

\[\frac{1}{n}=\frac{1}{x(x+1)}+\frac{1}{(x+1)(x+2)}+\cdots+\frac{1}{y(y+1)}\]

LV.VOL.2016.11.3

Pierādīt, ka katram naturālam skaitlim \(n(n>1)\) var atrast tādus naturālus skaitļus \(x\) un \(y(x \leq y)\), ka

\[\frac{1}{n}=\frac{1}{x(x+1)}+\frac{1}{(x+1)(x+2)}+\cdots+\frac{1}{y(y+1)}\]

LV.VOL.2016.11.3

Pierādīt, ka katram naturālam skaitlim \(n(n>1)\) var atrast tādus naturālus skaitļus \(x\) un \(y(x \leq y)\), ka

\[\frac{1}{n}=\frac{1}{x(x+1)}+\frac{1}{(x+1)(x+2)}+\cdots+\frac{1}{y(y+1)}\]

LV.VOL.2016.11.3

Pierādīt, ka katram naturālam skaitlim \(n(n>1)\) var atrast tādus naturālus skaitļus \(x\) un \(y(x \leq y)\), ka

\[\frac{1}{n}=\frac{1}{x(x+1)}+\frac{1}{(x+1)(x+2)}+\cdots+\frac{1}{y(y+1)}\]

LV.VOL.2016.11.3

Pierādīt, ka katram naturālam skaitlim \(n(n>1)\) var atrast tādus naturālus skaitļus \(x\) un \(y(x \leq y)\), ka

\[\frac{1}{n}=\frac{1}{x(x+1)}+\frac{1}{(x+1)(x+2)}+\cdots+\frac{1}{y(y+1)}\]

LV.VOL.2016.11.3

Pierādīt, ka katram naturālam skaitlim \(n(n>1)\) var atrast tādus naturālus skaitļus \(x\) un \(y(x \leq y)\), ka

\[\frac{1}{n}=\frac{1}{x(x+1)}+\frac{1}{(x+1)(x+2)}+\cdots+\frac{1}{y(y+1)}\]