Uz tāfeles uzrakstīti divi polinomi \(P(x)=x^{2}+2\) un \(Q(x)=x+1\). Vienā gājienā Ilmārs izvēlas kādus divus uz tāfeles jau uzrakstītus polinomus \(a\) un ( \(a\) un \(b\) var būt arī viens un tas pats polinoms) un uzraksta uz tāfeles kādu no polinomiem \(a+b, a-b\) vai \(a \cdot b\) (rezultātā var sanākt arī nulltās pakāpes polinoms, kas ir skaitlis). Vai, atkārtojot šādas darbības, viṇam kādā brīdī var izdoties uz tāfeles uzrakstīt polinomu: (A) \(x^{3}+2\); (B) \(x^{4}+2\) ?
(A) Nē, neizdosies. levērosim, ka sākotnējiem polinomiem \(P(2)=6\) un \(Q(2)=3\), tātad polinoma vērtība punktā \(x=2\) dalās ar \(3\). Tas paliek spēkā arī pēc jebkuras no atlautajām darbībām (ja polinomi \(P_{1}(x)\) un \(P_{2}(x)\) punktā \(x=2\) dalās ar \(3\), tad arī \(P_{1}(x)+P_{2}(x), P_{1}(x)-P_{2}(x)\) un \(P_{1}(x) \cdot P_{2}(x)\) punktā \(x=2\) dalīsies ar \(3\)). Bet polinoms \(R(x)=x^{3}+2\) punktā \(x=2\) pieṇem vērtību \(R(2)=2^{3}+2=8\), kas nedalās ar \(3\).
(B) Tas ir iespējams, piemēram, uzrakstot uz tāfeles šādus polinomus:
\[\begin{gathered} P_{1}(x)=Q(x) \cdot Q(x)=(x+1)^{2}=x^{2}+2 x+1 \\ P_{2}(x)=P 1(x)-P(x)=x^{2}+2 x+1-\left(x^{2}+2\right)=2 x-1 \\ P_{3}(x)=P(x) \cdot P(x)=\left(x^{2}+2\right)^{2}=x^{4}+4 x^{2}+4 \\ P_{4}(x)=P_{2}(x) \cdot P_{2}(x)=(2 x-1)^{2}=4 x^{2}-4 x+1 \\ P_{5}(x)=P_{3}(x)-P_{4}(x)=\left(x^{4}+4 x^{2}+4\right)-\left(4 x^{2}-4 x+1\right)=x^{4}+4 x+3 ; \\ P_{6}(x)=P_{5}(x)-P_{2}(x)=x^{4}+4 x+3-(2 x-1)=x^{4}+2 x+4 \\ P_{7}(x)=P_{6}(x)-Q(x)=x^{4}+2 x+4-(x+1)=x^{4}+x+3 \\ P_{8}(x)=P_{7}(x)-Q(x)=x^{4}+x+3-(x+1)=x^{4}+2 \end{gathered}\]