Divas dažādas skaitḷu virknes \(a_{1} ; a_{2} ; \ldots ; a_{2025}\) un \(b_{1} ; b_{2} ; \ldots ; b_{2025}\) katra satur visus naturālos skaitļus no \(1\) līdz \(2025\) (katru tieši vienu reizi), bet skaitlu virkne \(c_{1} ; c_{2} ; \ldots ; c_{2025}\) satur visus pāra skaitlus no \(2\) līdz \(4050\) katru tieši vienu reizi. Pierādīt, ka
\[\frac{c_{1}^{2}-4 a_{1} b_{1}}{a_{1}+b_{1}+c_{1}}+\frac{c_{2}^{2}-4 a_{2} b_{2}}{a_{2}+b_{2}+c_{2}}+\cdots+\frac{c_{2025}^{2}-4 a_{2025} b_{2025}}{a_{2025}+b_{2025}+c_{2025}}>0\]
Ievērosim, ka \((a+b)^{2} \geq 4 a b\) jebkuriem skaitļiem \(a\) un \(b\) (tas ir ekvivalents \((a-b)^{2} \geq 0\) ), turklāt vienādība izpildās tad un tikai tad, ja \(a=b\). Tas nozīmē, ka
\[\frac{c^{2}-4 a b}{a+b+c} \geq \frac{c^{2}-(a+b)^{2}}{a+b+c}=\frac{(c-a-b)(c+a+b)}{a+b+c}=c-a-b\]
turklāt vienādība izpildās tad un tikai tad, ka \(a=b\). Tad\[\begin{gathered} \frac{c_{1}^{2}-4 a_{1} b_{1}}{a_{1}+b_{1}+c_{1}}+\frac{c_{2}^{2}-4 a_{2} b_{2}}{a_{2}+b_{2}+c_{2}}+\cdots+\frac{c_{2025}^{2}-4 a_{2025} b_{2025}}{a_{2025}+b_{2025}+c_{2025}} \geq \\ \geq\left(c_{1}-a_{1}-b_{1}\right)+\left(c_{2}-a_{2}-b_{2}\right)+\cdots+\left(c_{2025}-a_{2025}-b_{2025}\right)=0 \end{gathered}\]
Turklāt tā kā virknes \(a_{n}\) un \(b_{n}\) ir dažādas, tad vismaz vienā (patiesībā vismaz divās) izteiksmēs nevienādība ir stingrā, līdz ar to rezultāts arī ir stingri lielāks nekā \(0\).