Pa apli uzrakstīti \(n\) skaitļi, kur katrs no tiem ir \(0\) vai \(1\). Vienā gājienā Māris var izvēlēties kādu skaitli, kuram blakus abās pusēs (pa labi un pa kreisi) uzrakstītie skaitļi ir vienādi, un izvēlētā skaitļa vietā uzrakstīt otru skaitli (tas ir, skaitļa \(0\) vietā uzrakstīt \(1\) un otrādi). Vai Māris, atkārtojot šādus gājienus, vienmēr (neatkarīgi no sākotnējām skaitļu vērtībām un izkārtojuma) var panākt, ka visi pa apli uzrakstītie skaitļi ir vienādi, ja: (A) \(n=72\); (B) \(n=73\); (C) \(n=74\)?
(A) Ja \(n=72\), tad Māris ne vienmēr var iegūt prasīto. Piemēram, ja skaitli pa apli izkārtoti tā, ka \(18\) reizes pēc kārtas atkārtojas skaitļu četrinieki "\(0;0;1;1\)", tad nav tāda skaitļa, kam abās pusēs uzrakstīti vienādi skaitļi. Līdz ar to Māris vispār nevar veikt nevienu gājienu un nevar panākt, ka visi aplī esošie skaitļi kļūst vienādi.
(B) Pamatosim, ka Māris vienmēr var panākt, ka pa apli uzrakstīti vienādi skaitļi. Ar bloku apzīmēsim vienādu skaitļu virkni, kurai abos galos blakus atrodas pretēji skaitli virknē esošajiem (piemēram, \(\ldots ; 0 ; \underbrace{1 ; 1 ; \ldots ; 1 ; 1}_{b l o k s} ; 0 ; \ldots)\). Ievērosim, ka eksistē bloks, kura garums ir nepāra skaitlis. Ja tāds bloks neeksistētu, tad bloku garumu summa būtu pāra skaitlis, kas ir visu skaitļu kopējais skaits. Iegūstam pretrunu, jo pa apli uzrakstīti \(73\) skaitļi (nepāra skaitlis).
Nezaudējot vispārīgumu, pieṇemsim, ka šajā blokā ir \(2k+1\) vieninieki (gadījums ar nullēm ir līdzīgs). Katram vieniniekam piešḳirsim indeksu \(a_{i}\) pulksteṇa rādītāja virzienā. Sākumā Māris veic gājienus ar vieniniekiem, kuriem ir pāra indekss, tas ir, \(a_{2}, a_{4}, \ldots, a_{2 k}\), un pēc tam veic gājienus ar vieniniekiem ar nepāra indeksu, tas ir, \(a_{1}, a_{3}, \ldots, a_{2 k+1}\). Tādā veidā bloks ar vieniniekiem tiek pārveidots par bloku ar nullēm. Tā kā sākotnējam blokam abās pusēs ir divi bloki ar nullēm, tad pēc aprakstīto gājienu veikšanas visi trīs bloki saplūdīs kopā. Tātad kopējais bloku skaits samazinās par \(2\). Šādi Māris turpina darboties - atrod bloku ar garumu, kas ir nepāra skaitlis, un sapludina to kopā ar blakus esošajiem blokiem. Kādā brīdī bloku skaits kļūs vienāds ar \(2\), jo sākumā bloku skaits ir pāra (nuļļu un vieninieku bloki mainās pārmainus). Kad tas būs izdarīts, Māris var veikt gājienu ar to bloku, kura garums ir nepāra skaitlis, un tad visi uzrakstītie skaitļi būs vienādi.
(C) Ja \(n=74\), tad Māris ne vienmēr var iegūt prasīto. Aplūkosim šādu skaitlu izkārtojumu: skaitlu četriniekam "\(1;1;1;1\)" no abām pusēm pārmaiṇus ir sarakstīti skaitļu pāri "\(0;0\)" un "\(1;1\)". Šādā gadījumā "\(1;1;1;1\)" no abām pusēm būs "\(0;0\)". Māris var veikt divus iespējamus gājienus: "\(1;1;1;1\)" pārrakstīt vai nu par "\(1;0;1;1\)" vai "\(1;1;0;1\)". Nezaudējot vispārīgumu, pieṇemsim, ka "\(1;1;1;1\)" ir pārtaisīts par "\(1;0;1;1\)" (otrs gadījums ir līdzīgs). Tādā gadījumā nākamais iespējamais gājiens ir skaitļu bloku "\(0;0;1;0;1;1;0;0\)" pārrakstīt par "\(0;0;0;0;1;1;0;0\)" vai "\(0;0;1;1;1;1;0;0\)". Tas nozīmē, ka Māris iegūs līdzīgu situāciju pirms diviem gājieniem esošajam skaitļu izkārtojumam. Līdz ar to Māris šajā gadījumā nevarēs iegūt uzdevumā prasīto.