LV.VOL.2023.12.2 lv
Uz trijstūra \(ABC\) malas \(BC\) izvēlēts patvaļīgs punkts \(D\). Punkti \(I_{1}\) un \(I_{2}\) ir attiecīgi trijstūros \(ABD\) un \(ACD\) ievilkto rinķa līniju centri. Trijstūrim \(AI_{1}B\) apvilktā rinķa līnija krusto taisni \(BC\) punktā \(X\), kas nesakrīt ar \(B\), bet trijstūrim \(A I_{2} C\) apvilktā riņķa līnija krusto taisni \(BC\) punktā \(Y\), kas nesakrīt ar \(C\). Pierādīt, ka \(DX=DY\).
Atrisinājums
Pierādīsim, ka \(\sphericalangle D X A=\sphericalangle X A D\) (skat. 4. att.). Tā kā apvilktā četrstūra \(AI_{1} BX\) pretējo leṇku summa ir \(180^{\circ}\), tad \(\sphericalangle DXA=180^{\circ}-\sphericalangle AI_{1}B\). Izmantojot trijstūra \(B A I_{1}\) iekšējo leṇku summu, var izteikt \(180^{\circ}-\sphericalangle AI_{1} B=\sphericalangle I_{1}AB+\sphericalangle I_{1}BA\), tātad \(\sphericalangle DXA=\sphericalangle I_{1}AB+\sphericalangle I_{1}BA\).
Aplūkojot otrus divus pretējos leņķus apvilktajā četrstūrī \(AI_{1}BX\), iegūstam, ka \(\sphericalangle I_{1} A X=180^{\circ}-\sphericalangle I_{1} B X\). Izmantojot blakusleņu īpašību, varam izteikt \(180^{\circ}-\sphericalangle I_{1} BX=\sphericalangle I_{1} BD\), tātad \(\sphericalangle I_{1} AX=\sphericalangle I_{1} BD\). Ievērojam, ka \(\sphericalangle DAX=\sphericalangle DAI_{1}+\sphericalangle I_{1}AX=\sphericalangle DAI_{1}+\sphericalangle I_{1}BD\).
Tā kā trijstūra ievilktās riṇka līnijas centrs atrodas bisektrišu krustpunktā, tad \(\sphericalangle DAI_{1}=\sphericalangle I_{1}AB\) un \(\sphericalangle I_{1}BA=\sphericalangle I_{1}BD\). Tādā gadījumā \(\sphericalangle DXA=\sphericalangle I_{1}AB+\sphericalangle I_{1}BA=\sphericalangle DAI_{1}+\sphericalangle I_{1}BD=\sphericalangle DAX\), tātad \(DX=DA\).
Līdzīgi, aplūkojot ap četrstūri \(AI_{2}CY\) apvilkto riņķa līniju un ar to saistītos leņķus, pierāda, ka \(DY=DA\). Tātad \(DX=DA=DY\), kas bija jāpierāda.
