Doti tādi reāli skaitli \(x\) un \(y\), ka \(x+y=1\) un \(x^{3}+y^{3}=4\). Pierādīt, ka izteiksmes \(x^{13}+y^{13}\) vērtība ir naturāls skaitlis, un atrast šo vērtību!
Izmantojot kubu summas formulu, iegūstam, ka \((x+y)\left(x^{2}-x y+y^{2}\right)=4\). Tā kā \(x+y=1\), tad \(x^{2}-x y+y^{2}=4\). Veicot ekvivalentus pārveidojumus, iegūstam, ka \((x+y)^{2}-3 x y=4\), tātad \(x y=-1\). Tālāk pakāpeniski iegūstam prasīto:
\[\begin{gathered} (x+y)^{2}=1 \Rightarrow x^{2}+2 x y+y^{2}=1 \Rightarrow x^{2}+y^{2}=1-2 x y=3 \\ x^{5}+y^{5}=\left(x^{2}+y^{2}\right)\left(x^{3}+y^{3}\right)-(x y)^{2}(x+y)=3 \cdot 4-1 \cdot 1=11 \\ x^{6}+y^{6}=\left(x^{3}+y^{3}\right)^{2}-2(x y)^{3}=4^{2}+2=18 \\ x^{7}+y^{7}=\left(x^{6}+y^{6}\right)(x+y)-x y\left(x^{5}+y^{5}\right)=18 \cdot 1+1 \cdot 11=29 \\ x^{13}+y^{13}=\left(x^{7}+y^{7}\right)\left(x^{6}+y^{6}\right)-(x y)^{6}(x+y)=29 \cdot 18-1 \cdot 1=522-1=521 \end{gathered}\]