Atrisinājums

Uz tāfeles var būt palicis jebkurš naturālais skaitlis no \(2\) līdz \(2022\). Tā kā vidējais aritmētiskais no diviem dažādiem skaitļiem ir mazāks nekā lielākais skaitlis un lielāks nekā mazākais skaitlis, tad varam secināt, ka pēdējais uzrakstītais skaitlis nevar būt \(1\) vai \(2023\) (vai lielāks).

Aprakstīsim algoritmu, kā pakāpeniski iegūt jebkuru naturālo skaitli \(4 \leq n \leq 2020\). Nezaudējot vispārīgumu, varam pieṇemt, ka skaitļi uzrakstīti augošā secībā.

Parādīsim, ka var panākt, ka skaitlim \(n\) blakus ir uzrakstīti skaitļi \(n-2\) un \(n+2\) (citu skait|u uz tāfeles vairs nav). Vispirms parādīsim, kā panākt, ka uz tāfeles no skaitļa \(n\) pa kreisi paliek tikai skaitlis \(n-2\). Pirmajā solī skaitļi 1 un 3 tiek aizstāti ar 2, katrā nākamajā solī no kreisās puses divi mazākie skaitļi tiek aizstāti ar to aritmētisko vidējo:

\[\begin{aligned} & 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; \ldots ; n-1 \quad \rightarrow \quad 2 ; 2 ; 4 ; 5 ; \ldots ; n-1 \quad \rightarrow \quad 2 ; 4 ; 5 ; 6 ; \ldots ; n-1 \quad \rightarrow \\ & \rightarrow \quad 3 ; 5 ; 6 ; \ldots ; n-1 \quad \rightarrow \cdots \rightarrow \quad \boldsymbol{n}-\mathbf{3} ; \boldsymbol{n}-\mathbf{1} \quad \rightarrow \quad n-2 \end{aligned}\]

Līdzīgi var iegūt, ka uz tāfeles no skaitļa \(n\) pa labi var palikt tikai skaitlis \(n+2\):

\[ \begin{aligned} & n+1 ; n+2 ; \ldots ; 2019 ; 2020 ; 2021 ; 2022 ; 2023 \quad \rightarrow \quad n+1 ; n+2 ; \ldots ; 2019 ; 2020 ; 2022 ; 2022 \rightarrow \\ & \rightarrow \quad n+1 ; n+2 ; \ldots ; 2019 ; 2020 ; 2022 \quad \rightarrow \quad n+1 ; n+2 ; \ldots ; 2019 ; 2021 \quad \rightarrow \\ & \rightarrow \cdots \rightarrow \quad n+1 ; n+3 \quad \rightarrow \quad n+2 \end{aligned} \]

Līdz ar to uz tāfeles ir uzrakstīti trīs skaitļi \(n-2;n;n+2\). Lai uz tāfeles paliktu skaitlis \(n\), rīkojamies šādi

\[\boldsymbol{n}-\mathbf{2} ; n ; \boldsymbol{n}+\mathbf{2} \quad \rightarrow \quad \boldsymbol{n} ; \boldsymbol{n} \quad \rightarrow \quad n\]

kur \(4 \leq n \leq 2020\). Parādīsim, kā iegūt skaitļus \(2\); \(3\); \(2021\) un \(2022\): - Pēc iepriekš aprakstītā var panākt, ka skaitlim \(2\) pa labi ir palicis tikai skaitlis \(4\), līdz ar to uz tāfeles ir palikuši tikai trīs skaitļi \(1; 2 ; 4\), no kuriem skaitli \(2\) var iegūt šādi: \(1 ; 2 ; 4 \rightarrow 1 ; 3 \rightarrow 2\). - Skaitlim \(2022\) pa kreisi var iegūt tikai skaitli \(2020\), līdz ar to uz tāfeles ir palikuši tikai trīs skaitļi \(2020\); \(2022\); \(2023\), no kuriem skaitli \(2022\) var iegūt šādi: \(2020; 2022; 2023 \rightarrow 2021; 2023 \rightarrow 2022\). - Skaitlim \(6\) pa labi var iegūt tikai skaitli \(8\), līdz ar to uz tāfeles ir palikuši tikai septiņi skaitļi \(1;2;3;4;5;6;8\), no kuriem skaitli \(3\) var iegūt šādi:

\[1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; \mathbf{6} ; 8 \rightarrow 1 ; 3 ; 4 ; 4 ; 5 ; \mathbf{8} \rightarrow 1 ; 3 ; 4 ; 5 ; \mathbf{6} \rightarrow 1 ; 3 ; \mathbf{5} ; \mathbf{5} \rightarrow \mathbf{1} ; 3 ; \mathbf{5} \rightarrow \mathbf{3} ; \mathbf{3} \rightarrow 3.\]

- Skaitlim \(2018\) pa kreisi var iegūt tikai skaitli \(2016\), līdz ar to uz tāfeles ir palikuši tikai septiṇi skaitļi \(2016; 2018; 2019; 2020; 2021; 2022; 2023\), no kuriem skaitli 2021 var iegūt šādi:

\[\begin{aligned} 2016; 2018; 2019; 2020; 2021; 2022; 2023 \rightarrow 2018 ; 2018 ; 2019 ; 2021 ; 2022 ; 2023 \rightarrow \\ \rightarrow \text { 2018; 2019;2020;2021;2023 } \rightarrow 2019 ; 2019 ; 2021 ; 2023 \rightarrow 2019 ; 2021 ; 2023 \rightarrow \\ \rightarrow \text { 2021;2021 } \rightarrow \text { 2021}.\\ \end{aligned}\]