Doti tādi reāli skaitli \(x\) un \(y\), ka \(x+y=1\) un \(x^{2}+y^{2}=3\). Pierādīt, ka izteiksmes \(x^{11}+y^{11}\) vērtība ir naturāls skaitlis, un atrast šo vērtību!
Vispirms noskaidrosim skaitļa \(xy\) vērtību:
\[2xy=(x+y)^{2}-x^{2}-y^{2}=1^{2}-3=-2 \quad \Rightarrow \quad x y=-1\]
Tālāk varam izmantot šādas vienādības, lai pakāpeniski aprēkinātu prasīto vērtību:\[\begin{gathered} x^{3}+y^{3}=(x+y)\left(x^{2}-x y+y^{2}\right)=1 \cdot(3+1)=4 \\ x^{5}+y^{5}=\left(x^{2}+y^{2}\right)\left(x^{3}+y^{3}\right)-(x y)^{2}(x+y)=3 \cdot 4-1 \cdot 1=11 \\ x^{6}+y^{6}=\left(x^{3}+y^{3}\right)^{2}-2(x y)^{3}=4^{2}+2=18 \\ x^{11}+y^{11}=\left(x^{6}+y^{6}\right)\left(x^{5}+y^{5}\right)-(x y)^{5}(x+y)=18 \cdot 11+1 \cdot 1=199 \end{gathered}\]