Atrisinājums

Kims prasīto var panākt visiem nepāra skaitliem \(n\). Vispirms pierādīsim, ka, ja \(n \equiv 0(\bmod 4)\) un \(n \equiv 2(\bmod 4)\), tad eksistē skaitļu izkārtojums, no kura Kims nevar iegūt izkārtojumu, kurā visi skaitļi ir vienādi. Aplūkosim abus gadījumus.

• Ja \(n \equiv 0(\bmod 4)\) jeb \(n=4 k\), tad aplūkojam tādu skaitļu izkārtojumu, kurā ir \(k\) pēc kārtas esoši skaitlu četrinieki "\(0;0;1;1\)". Šādā gadījumā nav tāda skaitļa, kam abās pusēs uzrakstīti vienādi skaitļi, un Kims vispār nevar veikt nevienu gājienu, līdz ar to nevar panākt, ka visi aplī esošie skaitļi klūst vienādi.
• Ja \(n \equiv 2(\bmod 4)\) jeb \(n=4 k+2\), tad aplūkojam šādu skaitļu izkārtojumu: skait|u četriniekam "\(1;1;1;1\)" no abām pusēm pārmaiṇus rakstīti skaitļu pāri "\(0;0\) " un "\(1;1\)". Šādā gadījumā "\(1;1;1;1\)" no abām pusēm būs "\(0;0\)". Kims var veikt divus iespējamus gājienus: "\(1;1;1;1\)" pārrakstīt vai nu par "\(1;0;1;1\)" vai "\(1;1;0;1\)". Nezaudējot vispārīgumu, pieṇemsim, ka "\(1;1;1;1\)" ir pārveidots par "\(1;0;1;1\) " (otrs gadījums ir līdzīgs). Tādā gadījumā nākamais iespējamais gājiens ir skaitļu bloku "\(0;0;1;0;1;1;0;0\) " pārveidot par "\(0;0;0;0;1;1;0;0\)" vai "\(0;0;1;1;1;1;0;0\). Tas nozīmē, ka Kims iegūs līdzīgu situāciju pirms diviem gājieniem esošajam skait|̣u izkārtojumam. Līdz ar to Kims šajā gadījumā nevarēs iegūt uzdevumā prasīto. Pamatosim, ka gadījumā, ja \(n\) ir nepāra skaitlis, tad Kims vienmēr var panākt, ka pa apli uzrakstīti vienādi skaitli. Ar bloku apzīmēsim vienādu skait|u virkni, kurai abos galos blakus atrodas pretēji skaitli virknē esošajiem (piemēram, \(\ldots;0; \underbrace{1 ; 1 ; \ldots ; 1 ; 1}_{\text {bloks}};0;\ldots\)). Ievērosim, ka eksistē bloks, kura garums ir nepāra skaitlis. Ja tāds bloks neeksistētu, tad bloku garumu summa būtu pāra skaitlis, kas ir visu skait|u kopējais skaits. Iegūstam pretrunu, jo pa apli uzrakstīts nepāra skaits skaitļu.

Nezaudējot vispārīgumu, pieṇemsim, ka šajā blokā ir \(2k+1\) vieninieki (gadījums ar nullēm ir līdzīgs). Katram vieniniekam piešķirsim indeksu \(a_{i}\) pulksteṇa rādītāja virzienā. Sākumā Kims veic gājienus ar vieniniekiem, kuriem ir pāra indekss, tas ir, \(a_{2}, a_{4}, \ldots, a_{2 k}\), un pēc tam veic gājienus ar vieniniekiem ar nepāra indeksu, tas ir, \(a_{1}, a_{3}, \ldots, a_{2 k+1}\). Tādā veidā bloks ar vieniniekiem tiek pārveidots par bloku ar nullēm. Tā kā sākotnējam blokam abās pusēs ir divi bloki ar nullēm, tad pēc aprakstīto gājienu veikšanas visi trīs bloki saplūdīs kopā. Tātad kopējais bloku skaits samazinās par \(2\). Šādi Kims turpina darboties - atrod bloku ar garumu, kas ir nepāra skaitlis, un sapludina to kopā ar blakus esošajiem blokiem. Kādā brīdī bloku skaits klūs vienāds ar \(2\), jo sākumā bloku skaits ir pāra (nuļļu un vieninieku bloki mainās pārmaiṇus). Kad tas būs izdarīts, Kims var veikt gājienu ar to bloku, kura garums ir nepāra skaitlis, un tad visi uzrakstītie skaitļi būs vienādi.