LV.VOL.2021.9.4 lv
Trijstūrī \(ABC\) ievilktā riņķa līnija pieskaras tā malām \(AB, BC\) un \(AC\) attiecīgi punktos \(C_{1}, A_{1}\) un \(B_{1}\). Taisne, kas vilkta caur punktu \(A\) paralēli \(BC\), un taisne \(A_{1}C_{1}\) krustojas punktā \(K\). Pierādīt, ka \(\sphericalangle KB_{1}A_{1}=90^{\circ}\).
Atrisinājums
Trijstūris \(C_{1}BA_{1}\) ir vienādsānu trijstūris (jo \(BC_{1}=BA_{1}\) kā pieskaru nogriežņi, kas vilkti no viena punkta), tāpēc \(\sphericalangle BA_{1}C_{1}=\sphericalangle BC_{1}A_{1}\) (kā pamata pielenķi pie vienādajām malām). Līdz ar to
\[\sphericalangle AKC_{1}=\sphericalangle BA_{1}C_{1}=\sphericalangle BC_{1}A_{1}=\sphericalangle AC_{1}K\]
(pirmajā vienādībā ir iekšējie škērsleņķi, trešajā - krustleņķi, skat. 4.att.). Tātad \(\triangle KAC_{1}\) ir vienādsānu trijstūris (jo pamata pieleņķi ir vienādi) un \(KA=AC_{1}\). Tā kā \(AC_{1}=AB_{1}\) kā pieskaru nogriežņi, kas vilkti no viena punkta, tad arī \(KA=AB_{1}\). Tātad \(\triangle KAB_{1}\) ir vienādsānu trijstūris un \(\sphericalangle KB_{1}A=\frac{180^{\circ}-\sphericalangle KAB_{1}}{2}\). Tā kā \(A_{1}C=CB_{1}\), tad arī \(\sphericalangle CB_{1}A_{1}=\frac{180^{\circ}-\sphericalangle B_{1}CA_{1}}{2}\). Tātad\[\sphericalangle KB_{1}A+\sphericalangle CB_{1}A_{1}=\frac{180^{\circ}-\sphericalangle KAB_{1}}{2}+\frac{180^{\circ}-\sphericalangle B_{1}CA_{1}}{2}=180^{\circ}-\frac{\sphericalangle KAB_{1}+\sphericalangle B_{1}CA_{1}}{2}=90^{\circ}\]
jo \(\sphericalangle KAB_{1}+\sphericalangle B_{1}CA_{1}=180^{\circ}\) kā iekšējie vienpusleņķi. Līdz ar to\[\sphericalangle KB_{1}A_{1}=180^{\circ}-\sphericalangle KB_{1}A-\sphericalangle CB_{1}A_{1}=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}\]
