Dots, ka \(a\) un \(b\) ir kaut kādi reāli skaitļi. Pierādīt, ka vismaz vienam no vienādojumiem
\[\begin{aligned} & x^{2}+2ax+b=0 \\ & ax^{2}+2bx+1=0 \\ & bx^{2}+2x+a=0 \end{aligned}\]
ir atrisinājums.
Pieņemsim pretējo. Tad visiem diskriminantiem jābūt negatīviem, tas ir,
\[a^{2} < b, \quad b^{2} < a, \quad 1 < ab\]
No pirmajām divām nevienādībām izriet, ka \(a>0\) un \(b>0\). Sareizinot pirmās divas nevienādības (to drīkst darīt, jo visas izteiksmes ir pozitīvas), iegūstam \(a^{2}b^{2} < ab\). Izdalot abas nevienādības puses ar \(ab>0\), iegūstam \(ab<1\), kas ir pretrunā ar trešo nevienādību. Tātad pieņēmums bija aplams, līdz ar to vismaz vienam vienādojumam ir atrisinājums.