Doti reāli pozitīvi skaitļi \(x, y, z\). Pierādīt, ka
\[\frac{x^{2}+y^{2}}{x+y}+\frac{y^{2}+z^{2}}{y+z}+\frac{z^{2}+x^{2}}{z+x} \geq x+y+z\]
Vispirms pamatosim, ka patvaļīgiem \(x\) un \(y\) ir spēkā \(x^{2}+y^{2} \geq \frac{(x+y)^{2}}{2}\). Atverot iekavas un pārnest visu uz kreiso pusi, iegūstam
\[x^{2}+y^{2}-\frac{(x+y)^{2}}{2}=x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\left(x^{2}+2 x y+y^{2}\right)=\frac{1}{2}\left(x^{2}-2 x y+y^{2}\right)=\frac{(x-y)^{2}}{2} \geq 0\]
Pielietojot šo visiem trim daļu skaitīājiem, iegūstam\[\frac{x^{2}+y^{2}}{x+y}+\frac{y^{2}+z^{2}}{y+z}+\frac{z^{2}+x^{2}}{z+x} \geq \frac{(x+y)^{2}}{2(x+y)}+\frac{(y+z)^{2}}{2(y+z)}+\frac{(z+x)^{2}}{2(z+x)}=x+y+z\]