LV.VOL.2021.11.5 lv
Dotam naturālam skaitlim \(k>1\) torni būvē šādi: simetriski attiecībā pret vertikālu simetrijas asi pirmajā rindā blakus saliek \(k\) kvadrātus, otrajā rindā saliek \((k-1)\) kvadrātu, trešajā rindā saliek \((k-2)\) kvadrātus utt. līdz \(k\)-ajā rindā liek vienu kvadrātu (skat. 9.att., kur parādīts tornis, ja \(k=4\)). No torņa pirmās rindas kreisā malējā kvadrāta kreisās apakšējās virsotnes \(O\) novelk staru, kas torni sadala divās vienlielās figūrās. Pierādīt, ka bezgalīgi daudzām \(k\) vērtībām šis stars iet caur kādas rindas labā malējā kvadrāta labo augšējo virsotni!
Atrisinājums
Pierādīsim, ka prasītais izpildās visām nepāra \(k\) vērtīām \(k=2n-1\). Pievērsīsim uzmanību \(n\)-tajai kvadrātu rindai pēc kārtas un tās pēdējā kvadrāta labējai augšējai virsotnei.
Pieņemsim, ka kvadrāta malas garums ir viena vienība. Aprēķināsim figūras laukuma daļu, kas atrodas zem stara \(OP\) (skat. 10.att.). To veido trijstūra \(OPR\) laukums un kvadrātu rindu galu "trepīte" (figūras daļa pa labi no \(PR\)):
\[\begin{gathered} S_{OPR}=\frac{RO \cdot PR}{2}=\frac{\left(2n-1-\frac{1}{2}(n-1)\right) \cdot n}{2}=\frac{(3n-1) \cdot n}{4} \\ S_{\text {trepite }}=\frac{1}{2}\left(\frac{n(n-1)}{2}\right)=\frac{n(n-1)}{4} \\ S_{\text {ZemOP }}=\frac{(3n-1)n}{4}+\frac{n(n-1)}{4}=\frac{n(2n-1)}{2} \end{gathered}\]
Kopējais visas figūras laukums ir\[S_{visa}=1+2+\cdots+(2n-1)=\frac{2n(2n-1)}{2}=n(2n-1)\]
Puse no visa ir \(\frac{n(2n-1)}{2}\), kas sakrīt ar aprēķināto \(S_{\text {zemOP }}\). Tātad, ja \(k\) ir nepāra skaitlis, tad figūras laukumu vienlielās daļās sadalošais stars iet caur kvadrāta virsotni.