Dota ģeometriskā progresija \(x_{1}; x_{2}; x_{3}; x_{4}; x_{5}; x_{6}\), kuras locekļi ir pozitīvi skaitļi. Zināms, ka \(x_{4}+x_{3}-x_{2}-x_{1}=3\). Pierādīt, ka \(x_{5}+x_{6} \geq 12\).
\(\textit {Piezīme.}\) Ģeometriskā progresija ir skaitļu virkne, kuras pirmais loceklis ir \(x_{1}\) un katru nākamo virknes locekli iegūst, iepriekšēo reizinot ar kādu fiksētu skaitli \(q\), tas ir, \(x_{2}=qx_{1}, x_{3}=qx_{2}\) utt.
Apzīmēsim ģeometriskās progresijas kvocientu ar \(q\). Ievērojam, ka \(q\) ir pozitīvs skaitlis un nav vienāds ar \(1\) (citādi progresija būtu konstanta un nevarētu izpildīties \(x_{4}+x_{3}-x_{2}-x_{1}=3\) ).
No dotā izriet, ka
\[\begin{gather*} x_{1}q^{3}+x_{1}q^{2}-x_{1}q-x_{1}=3 \\ x_{1} \cdot\left(q^{3}+q^{2}-q-1\right)=3 \\ x_{1}\left(q^{2}(q+1)-(q+1)\right)=3 \\ x_{1}(q+1)\left(q^{2}-1\right)=3 \\ x_{1} \cdot(q+1)=\frac{3}{q^{2}-1} \tag{1} \end{gather*}\]
Mums jāpierāda, ka \(x_{5}+x_{6}=x_{1}\left(q^{5}+q^{4}\right)=x_{1}(q+1)q^{4} \geq 12\) jeb \(q^{4} \geq \frac{12}{x_{1} \cdot(q+1)}\). levietojot šajā nevienādībā \((1)\), iegūstam, ka \(q^{4} \geq 4 \cdot\left(q^{2}-1\right)\), kas ir patiesa nevienādība, jo \(q^{4}-4q^{2}+4=\left(q^{2}-2\right)^{2} \geq 0\).