Atrisinājums

a) Jā, eksistē. Skaitļiem \(1, 2, 3, 6\) izpildās visi uzdevuma nosacījumi:

• \(2+3+6\) dalās ar \(1\) ,
• \(1+3+6\) dalās ar \(2\) ,
• \(1+2+6\) dalās ar \(3\) ,
• \(1+2+3\) dalās ar \(6\) .

b) Nē, neeksistē. Ievērojam, ka

• \(a+(b+c+d)\) dalās ar \(a\) (jo abi saskaitāmie dalās ar \(a\) ),
• \(b+(c+d+a)\) dalās ar \(b\),
• \(c+(d+a+b)\) dalās ar \(c\),
• \(d+(a+b+c)\) dalās ar \(d\).

Tā kā \(a, b, c, d\) ir pirmskaitļi, tad \(a+b+c+d\) dalās ar \(abcd\), no kā izriet, ka \(a+b+c+d \geq abcd\). Nezaudējot vispārīgumu varam pieņemt, ka \(a \leq b \leq c \leq d\). Tādā gadījumā \(a+b+c+d \leq 4d < abcd\), jo pat trīs mazāko atšķirīgo pirmskaitļu reizinājums \(2 \cdot 3 \cdot 5 > 4\). Esam ieguvuši pretrunu, tātad neeksistē tādi četri dažādi pirmskaitļi, kuriem izpildās visi uzdevuma nosacījumi.