Atrisinājums

a) Nē, saknes nevar būt veseli skaitļi. Ievērojam, ka \(d \neq 0\), jo pretējā gadījumā \(\overline{abcd}\) nav pirmskaitlis. Tas nozīmē, ka \(0\) nav vienādojuma sakne. Ja \(x \geq 0\), tad \(ax^{3}+bx^{2}+cx+d \geq d > 0\). Tātad vienādojumam var būt tikai negatīvas saknes. Apzīmējot saknes ar \(-x_{1},-x_{2},-x_{3}\) un sadalot kreisās puses izteiksmi reizinātājos, iegūstam

\[ax^{3}+bx^{2}+cx+d=a\left(x+x_{1}\right)\left(x+x_{2}\right)\left(x+x_{3}\right)\]

Pieņemsim, ka vienādojuma saknes ir veseli skaitļi. Ja \(x=10\), tad iegūstam

\[a\left(10+x_{1}\right)\left(10+x_{2}\right)\left(10+x_{3}\right)=1000a+100 b+10c+d=\overline{abcd}\]

Tātad esam ieguvuši, ka \(\overline{abc} d\) ir salikts skaitlis, kas ir pretrunā ar doto. Līdz ar to vienādojumam nav veselu sakņu. **b)** Nē, saknes nevar būt racionāli skaitļi. Pieņemsim, ka saknes vienādojumam ir racionālas, tas ir, \(-\frac{p_{1}}{q_{1}},-\frac{p_{2}}{q_{2}}\) un \(-\frac{p_{3}}{q_{3}}\), pie kam daļas ir nesaīsināmas jeb \(p_{i}\) un \(q_{i}\) ir savstarpēji pirmskaitļi. Pārveidojam vienādojuma kreisās puses izteiksmi:

\[ax^{3}+bx^{2}+cx+d=a\left(x+\frac{p_{1}}{q_{1}}\right)\left(x+\frac{p_{2}}{q_{2}}\right)\left(x+\frac{p_{3}}{q_{3}}\right)=\frac{a}{q_{1} q_{2} q_{3}}\left(q_{1} x+p_{1}\right)\left(q_{2} x+p_{2}\right)\left(q_{3} x+p_{3}\right)\]

levietojot \(x=10\), iegūstam

\[\begin{gathered} \frac{a}{q_{1} q_{2} q_{3}}\left(10 q_{1}+p_{1}\right)\left(10 q_{2}+p_{2}\right)\left(10 q_{3}+p_{3}\right)= \\ =1000 a+100\left(\frac{p_{1}}{q_{1}}+\frac{p_{2}}{q_{2}}+\frac{p_{3}}{q_{3}}\right)+10\left(\frac{p_{1}}{q_{1}} \cdot \frac{p_{2}}{q_{2}}+\frac{p_{1}}{q_{1}} \cdot \frac{p_{3}}{q_{3}}+\frac{p_{2}}{q_{2}} \cdot \frac{p_{3}}{q_{3}}\right)+\frac{p_{1}}{q_{1}} \cdot \frac{p_{2}}{q_{2}} \cdot \frac{p_{3}}{q_{3}}= \\ =1000 a+100 b+10 c+d=\overline{a b c d} . \end{gathered}\]

Reizinot abas puses ar \(q_{1} q_{2} q_{3} \neq 0\), iegūstam

\[q_{1} q_{2} q_{3} \cdot \overline{abcd}=a\left(10 q_{1}+p_{1}\right)\left(10 q_{2}+p_{2}\right)\left(10 q_{3}+p_{3}\right)\]

Pamatosim, ja vienādojuma \(ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0\) sakne ir \(\frac{p}{q}\) (nesaīsināma daļa), tad \(a\) dalās ar \(q\). levietojam vienādojumā \(ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0\) tā sakni \(x=\frac{p}{q}\) un pārveidojam iegūto identitāti:

\[\begin{gathered} a\left(\frac{p}{p}\right)^{3}+b\left(\frac{p}{q}\right)^{2}+c\left(\frac{p}{q}\right)+d=0 \\ ap^{3}+bp^{2}q+cq^{2}p+d q^{3}=0 \\ q\left(bp^{2}+cqp+dq^{2}\right)=-ap^{3} \end{gathered}\]

Tā kā pēdējās vienādības kreisā puse dalās ar \(q\), tad arī labās puses izteiksmei jādalās ar \(q\). Ņemot vērā, ka pēc pieņēmuma \(p\) un \(q\) ir savstarpēji pirmskaitļi, secinām, ka \(a\) ir jādalās ar \(q\). Līdz ar to secinām, ka \(q_{i}\) ir viencipara skaitlis, jo \(a\) ir cipars. Analogi iegūst, ka \(c\) dalās ar \(p_{i}\). Tas nozīmē, ka \(10 q_{i}+p_{i}\) ir divciparu skaitlis. Tātad vienādība \(q_{1} q_{2} q_{3} \cdot \overline{abcd}=a\left(10 q_{1}+p_{1}\right)\left(10 q_{2}+p_{2}\right)\left(10 q_{3}+p_{3}\right)\) nevar pastāvēt, jo kreisajā pusē ir reizinātājs \(\overline{abcd}\) (četrciparu pirmskaitlis), bet labajā pusē \(a\) ir viencipara skaitlis un pārējie reizinātāji - divciparu. Līdz ar to dotā vienādojuma saknes nav racionāli skaitļi.