Atrisinājums

Pierādīsim, ka \(H\) ir riņķa līnijas \(\omega\) centrs. Tā kā \(AC=DM\), tad \(\overline{CDA}=\overline{DAM}\) un \(\overline{AkM}=\overline{DAM}-\overline{DA}=\) \(=\overline{CDA}-\overline{DA}=\overline{CmD}\) (skat. 8.att.). Tā kā uz vienādiem lokiem balstās vienādas hordas, tad \(AM=CD\). Ievērojam, ka \(\sphericalangle MAC=\sphericalangle CDM\) un \(\sphericalangle AMD=\sphericalangle DCA\) kā ievilktie leņķi, kas balstās attiecīgi uz viena un tā paša loka. Tad \(\triangle AYM=\triangle DYC\) pēc pazīmes \(\ell m \ell\) un \(MY=YC\) kā atbilstošās malas. Esam ieguvuši, ka punkts \(Y\) atrodas vienādā attālumā no nogriežņa \(MC\) galapunktiem. Trijstūris \(MXC\) ir vienādsānu, jo \(\sphericalangle DCM=\sphericalangle AMC\) kā leņķi, kas balstās uz vienādiem lokiem \(DAM\) un \(ADC\), tātad punkts \(X\) atrodas vienādā attālumā no nogriežņa \(MC\) galapunktiem. Līdz ar to \(XY\) (jeb \(XH\) ) ir nogriežņa \(MC\) vidusperpendikuls. Ievērojam, ka simetrijas dēļ \(MH\) ir malu \(AB\) un \(CD\) vidusperpendikuls. Tā kā četrstūris \(DAMC\) ir ievilkts četrstūris, tad tam apvilktās riņķa līnijas centrs atrodas malu vidusperpendikulu krustpunktā, līdz ar to punkts \(H\) ir riņķa līnijas \(\omega\) centrs.

Tā kā punkts \(M\) ir mazākā loka \(AB\) viduspunkts, tad \(AM=MB\). Trijstūris \(AMB\) ir vienādsānu taisnleņķa trijstūris, jo balstās uz diametra \(AB\), tad pēc Pitagora teorēmas \(AB^{2}=AM^{2}+MB^{2}=CD^{2}+CD^{2}=2CD^{2}\).