LV.VOL.2020.10.3 lv
Taisnleņķa trijstūrī \(ABC\), kurā \(\sphericalangle ABC=90^{\circ}\), novilkts augstums \(BD\), nogriežņa \(BD\) viduspunkts ir \(E\). Punkti \(F\) un \(G\) ir attiecīgi nogriežņu \(AD\) un \(CD\) viduspunkti. Pierādīt, ka \(\sphericalangle AEC+\sphericalangle FBG=180^{\circ}\).
Atrisinājums
Ievērojam, ka \(\triangle ABD \sim \triangle BDC\) pēc pazīmes \(\ell \ell\), jo \(\sphericalangle ADB=\sphericalangle BDC=90^{\circ}\) un \(\sphericalangle BAD=90^{\circ}-\sphericalangle ABD=\sphericalangle DBC\) (skat. 4.att.). Tātad trijstūru malas ir proporcionālas, tas ir, \(\frac{BD}{CD}=\frac{AD}{BD}\). Tā kā \(AD=2FD\) un \(BD=2ED\), tad \(\frac{BD}{CD}=\frac{FD}{ED}\). Līdz ar to \(\triangle BDF \sim \triangle CDE\) pēc pazīmes \(m \ell m\). Tātad \(\sphericalangle FBD=\sphericalangle DCE=90^{\circ}-\sphericalangle DEC\) jeb \(\sphericalangle FBD+\sphericalangle DEC=90^{\circ}\).
Līdzīgi pierāda, ka \(\sphericalangle GBD+\sphericalangle AED=90^{\circ}\).
Tātad \(\sphericalangle AEC+\sphericalangle FBG=(\sphericalangle AED+\sphericalangle DEC)+(\sphericalangle FBD+\sphericalangle GBD)=90^{\circ}+90^{\circ}=180^{\circ}\).
