Hokeja turnīrā piedalijās \(16\) komandas. Katra komanda ar katru citu spēlēja tieši vienu reizi; neizšķirtu nav. Apzīmēsim katras komandas uzvaru un zaudējumu skaitu attiecīgi ar \(x_{i}\) un \(y_{i}, i=1; 2; \ldots ; 16\). Pierādīt, ka \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\ldots+x_{16}^{2}=y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+\ldots+y_{16}^{2}\)
Tā kā turnīrā piedalījās \(16\) komandas un katra komanda spēlēja ar katru citu, tad katra komanda ir piedalījusies tieši \(15\) spēlēs.
Tā kā komanda jebkurā spēlē vai nu uzvarēja, vai zaudēja (neizšķirtu nav), tad skaidrs, ka \(i\)-tās komandas uzvaru skaitu var izteikt ar zaudējumu skaitu, tas ir, \(x_{i}=15-y_{i}\). Tad
\[\begin{aligned} x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{16}^{2} & =\left(15-y_{1}\right)^{2}+\left(15-y_{2}\right)^{2}+\cdots+\left(15-y_{16}\right)^{2}= \\ & =\left(225-30 y_{1}+y_{1}^{2}\right)+\cdots+\left(225-30 y_{16}+y_{16}^{2}\right)= \\ & =16 \cdot 225-30 \cdot\left(y_{1}+y_{2}+\cdots+y_{16}\right)+\left(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+\ldots+y_{16}^{2}\right) \end{aligned}\]
Pavisam kopā tika izspēlētas \(\frac{16 \cdot 15}{2}=120\) spēles, tāpēc zaudējumu kopskaits \(y_{1}+y_{2}+\cdots+y_{16}=120\). Līdz ar to \(16 \cdot 225-30 \cdot\left(y_{1}+y_{2}+\cdots+y_{16}\right)=16 \cdot 225-30 \cdot 120=0\), no kā izriet prasītais, tas ir, \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\ldots+x_{16}^{2}=y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+\ldots+y_{16}^{2}\).