LV.VOL.2019.12.2 lv
Riņķa līnijā ar centru punktā \(O\) novilkta horda \(AB\), kas neiet caur \(O\). Caur punktu \(B\) novilkts perpendikuls pret \(AB\), kas riņķa līniju vēlreiz krusto punktā \(D\). Uz loka \(AB\), kuram nepieder \(D\), atzīmēts šī loka viduspunkts \(C\). Taisnes \(AC\) un \(DB\) krustojas punktā \(E\). Pierādīt, ka \(OE^{2}=OB^{2}+2 \cdot OB \cdot BE\).
Atrisinājums
Novelkam rādiusu \(OC\) (skat. 13.att.). Tā kā \(C\) ir loka \(AB\) viduspunkts, tad \(OC\) ir nogriežņa \(AB\) vidusperpendikuls, kas \(AB\) krusto punktā \(F\). Tātad \(OC \parallel DE\). No \(AO=OD\) un \(OC \parallel DE\) izriet, ka \(OC\) ir trijstūra \(ADE\) viduslīnija. Tātad
\[ED=2OC=2OB\]
No \(O\) velkam perpendikulu \(OG\) pret \(DB\). Tā kā trijstūris \(DOB\) ir vienādsānu, tad \(DG=GB\) un līdz ar to\[ED=EB+2BG\]
Tad, izmantojot Pitagora teorēmu taisnleṇka trijstūrī \(OGE\), pakāpeniski iegūstam\[\begin{gathered} OE^{2}=OG^{2}+EG^{2} \\ OE^{2}=OG^{2}+(EB+BG)^{2} \\ OE^{2}=OG^{2}+EB^{2}+2 \cdot EB \cdot BG+BG^{2} \end{gathered}\]
Izmantojot Pitagora teorēmu taisnleņķa trijstūrī \(OGB\), iegūstam, ka \(OG^{2}+BG^{2}=OB^{2}\), tad\[\begin{gathered} OE^{2}=OB^{2}+EB^{2}+2 \cdot EB \cdot BG \\ OE^{2}=OB^{2}+EB \cdot(EB+2BG) \\ OE^{2}=OB^{2}+EB \cdot ED \\ OE^{2}=OB^{2}+2 \cdot EB \cdot OB \end{gathered}\]
