Atrisinājums

Novelkam nogriezni \(BD\) (skat. 8.att.). Ievērojam, ka \(\sphericalangle DAC=\sphericalangle DBC\) kā ievilktie leņķi, kas balstās uz viena un tā paša loka. Tā kā \(DE \parallel BC\), tad \(\sphericalangle DBC=\sphericalangle BDM\) kā iekšējie škērsleņķi pie paralēlām taisnēm. Līdz ar to \(\sphericalangle DAC=\sphericalangle BDM\).

Pamatosim, ka ap \(AMD\) apvilktā riņķa līnija pieskaras taisnei \(BD\). Ar \(O\) apzīmējam trijstūrim \(AMD\) apvilktās riņķa līnijas centru (skat. 9.att.). Ja \(\sphericalangle DAC=\sphericalangle BDM=\alpha\), tad \(\sphericalangle MOD=2 \alpha\) kā atbilstošais centra leņķis. Tā kā trijstūris \(MOD\) ir vienādsānu, tad \(\sphericalangle ODM=\frac{180^{\circ}-2 \alpha}{2}=90^{\circ}-\alpha\). Līdz ar to \(\sphericalangle ODB=90^{\circ}-\alpha+\alpha=90^{\circ}\). Tā kā rādiuss \(OD\) ir perpendikulārs taisnei \(BD\), tad \(BD\) ir pieskare.

Līdzīgi iegūstam, ka ap trijstūri \(DNC\) apvilktā riņķa līnija pieskaras taisnei \(BD\). Tātad esam pierādījuši, ka abas riņķa līnijas pieskaras viena otrai punktā \(D\).