Atrisinājums

Tā kā \(a\) un \(b\) ir pozitīvi skaitļi, tad abu parabolu zari ir vērsti uz augšu un kvadrātfunkciju minimālā vērtība sakrīt ar parabolas virsotnes \(y\) koordinātu. Parabolas \(y=ax^{2}+2018x+b\) virsotnes koordinātas ir

\(x_{v_{1}}=-\frac{2018}{2a}=-\frac{1009}{a}\) un \(y_{v_{1}}=a \cdot\left(-\frac{1009}{a}\right)^{2}+2018 \cdot\left(-\frac{1009}{a}\right)+b=-\frac{1009^{2}}{a}+b\)

bet parabolas \(y=bx^{2}+2018x+a\) virsotnes koordinātas ir

\(x_{v_{2}}=-\frac{1009}{b}\) un \(y_{v_{2}}=b \cdot\left(-\frac{1009}{b}\right)^{2}+2018 \cdot\left(-\frac{1009}{b}\right)+a=-\frac{1009^{2}}{b}+a\)

Tā kā abu kvadrātfunkciju minimālo vērtību summa ir nulle, tad

\[\begin{gathered} -\frac{1009^{2}}{a}+b-\frac{1009^{2}}{b}+a=0 \\ a+b-\frac{1009^{2}}{ab}(a+b)=0 \\ (a+b)\left(1-\frac{1009^{2}}{ab}\right)=0 \end{gathered}\]

Tā kā \(a+b>0\), tad \(\left(1-\frac{1009^{2}}{ab}\right)=0\) jeb \(ab=1009^{2}\). Tātad \(b=\frac{1009^{2}}{a}\) un \(y_{v_{1}}=-\frac{1009^{2}}{a}+\frac{1009^{2}}{a}=0\). Līdzīgi iegūst, ka \(y_{v_{2}}=0\). *Piezīme.* Kvadrātfunkcijas minimālo vērtību var atrast arī atdalot pilno kvadrātu:

\[y=ax^{2}+2018 x+b=a\left(x^{2}+2 \cdot 1009 \cdot x \cdot \frac{1}{a}+\frac{1009^{2}}{a^{2}}\right)+b-\frac{1009^{2}}{a^{2}}=a\left(x+\frac{1009}{a}\right)^{2}+b-\frac{1009^{2}}{a^{2}}\]

Tā kā \(a\left(x+\frac{1009}{a}\right)^{2} \geq 0\), tad kvadrātfunkcijas minimālā vērtība \(y_{v_{1}}=b-\frac{1009^{2}}{a^{2}}\).