LV.VOL.2018.12.2 lv
Uz trijstūra \(ABC\) malas \(AB\) atlikti punkti \(D\) un \(E\) tā, ka \(AD=DE=EB\), uz malas \(BC\) - punkti \(F\) un \(G\) tā, ka \(BF=FG=GC\), uz malas \(AC\) - punkts \(H\) tā, ka \(2AH=CH\). Nogrieznis \(DF\) krusto nogriežņus \(EH\) un \(EG\) attiecīgi punktos \(P\) un \(R\). Pierādīt, ka \(DP=PR=RF\).
Atrisinājums
Nogriežņi \(DF\) un \(GE\) ir trijstūra \(BDG\) mediānas (skat. 13.att.). Mediānas krustojoties tiek sadalītas attiecībā \(2:1\), skaitot no virsotnes, tāpēc \(DR=2RF\).
Novelkam \(BR\), tas krusto \(DG\) punktā \(M\) un \(AC\) punktā \(J\). levērojam, ka \(BM\) ir trijstūra \(DBG\) mediāna (jo iet caur mediānu krustpunktu). Tā kā trijstūri \(BDG\) un \(BAC\) ir līdzīgi pēc pazīmes \(m \ell m\), tad \(\frac{BA}{BD}=\frac{AC}{DG}\) un \(\sphericalangle BDG=\sphericalangle BAC\), tātad \(DG \parallel AC\). Tā kā trijstūri \(BDM\) un \(BAJ\) ir līdzīgi pēc pazīmes \(\ell \ell\), tātad \(\frac{AJ}{DM}=\frac{BA}{BD}=\frac{AC}{GD}\), no kā varam secināt, ka \(\frac{AJ}{AC}=\frac{DM}{GD}=\frac{1}{2^{\prime}}\) tātad \(BJ\) ir trijstūra \(BAC\) mediāna. Tā kā trijstūri \(AEH\) un \(ABJ\) ir līdzīgi pēc pazīmes \(m \ell m\), tad \(\sphericalangle AEH=\sphericalangle ABJ\) un tātad \(EH \parallel BJ\). Pēc Talesa teorēmas secinām, ka \(DP=PR\). Tā kā \(DR=2RF\) un \(DP=PR\), tad \(DP=PR=RF\).
