Atrisinājums

(A) Skaists piecinieks ir, piemēram,

• \(27027024\) - ciparu summa ir \(24\); tā kā šis skaitlis dalās ar \(3\) (jo ciparu summa dalās ar \(3\)) un \(8\) (jo pēdējo trīs ciparu veidotais skaitlis dalās ar \(8\)), tad tas dalās ar \(24\);
• \(27027025\) - ciparu summa ir \(25\); tā kā pēdējo divu ciparu veidotais skaitlis dalās ar \(25\), tad arī pats skaitlis dalās ar \(25\);
• \(27027026\) - ciparu summa ir \(26\) un \(27027026=26 \cdot 10392501\);
• \(27027027\) - ciparu summa ir \(27\) un \(27027027=27 \cdot 1001001\);
• \(27027028\) - ciparu summa ir \(28\) un \(27027028=28 \cdot 965251\).

(B) Aplūkosim skaitļus, ko iegūst no skaitļiem \(27027024,\ 27027025,\ 27027026,\ 27027027\) un \(27027028\), pirms pēdējiem diviem cipariem ievietojot \(n\) nuļļu grupu:

\[27027 \underbrace{0 \ldots 0}_{n} 24; 27027 \underbrace{0 \ldots 0}_{n} 25; 27027 \underbrace{0 \ldots 0}_{n} 26; 27027 \underbrace{0 \ldots 0}_{n} 27; 27027 \underbrace{0 \ldots 0}_{n} 28\]

Iegūtie skaitļi joprojām ir secīgi un tā kā tika pievienotas tikai nulles, tad ciparu summa nemainās, tas ir, ciparu summas attiecīgi ir \(24,\ 25,\ 26,\ 27\) un \(28\). Katru no šiem skaitļiem var uzrakstīt formā \(27027 \cdot 10^{n+2}+x\), kur \(x=24,25,26,27,28\). Pamatosim, ka šie skaitļi dalās ar savu ciparu summu. Ievērojam, ka \(27027 \cdot 10^{n+2}+x=27 \cdot 1001 \cdot 10^{3} \cdot 10^{n-1}+x=2^{3} \cdot 3^{3} \cdot 5^{3} \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 10^{n-1}+x\) un ka pirmais saskaitāmais dalās ar visām iespējamām \(x\) vērtībām, tas ir, ar \(24,\ 25,\ 26,\ 27\) un \(28\). Tā kā abi saskaitāmie dalās ar \(x\), tad arī pats skaitlis dalās ar \(x\). <<<<<<< HEAD Tā kā \(n\) var būt jebkurš naturāls skaitlis, tad *skaistu piecinieku* ir bezgalīgi daudz. ======= Tā kā \(n\) var būt jebkurš naturāls skaitlis, tad skaistu piecinieku ir bezgalīgi daudz.

52493569e01e32faa41676aa42a782d2400ab975