Atrisinājums

Ja \(N=1\), tad kastē ir vismaz viena bumbiņa, kas nokrāsota vienīgajā iespējamajā krāsā un uz tās uzrakstīts skaitlis \(1\). Tātad vērtība \(N=1\) der.

Parādīsim, ja \(N=2\), tad vienmēr var atrast divas bumbiņas, kam izpildās prasītās īpašības. Izvēlamies patvaļīgu bumbiņu. Tās krāsu apzīmējam ar \(k_{1}\), bet skaitli, kas uz tās uzrakstīts - ar \(s_{1}\). Ja kastē atrodas bumbiņa, kuras krāsa ir \(k_{2}\) un uz kuras uzrakstīts skaitlis \(s_{2}\), tad esam atraduši nepieciešamo bumbiņu pāri. Apskatīsim gadījumu, kad kastē nav bumbiņa, kuras krāsa ir \(k_{2}\) un uz kuras uzrakstīts skaitlis \(s_{2}\). Tā kā kastē ir divu dažādu krāsu bumbiņas, tad kastē ir jābūt bumbiņai, kuras krāsa ir \(k_{2}\) un uz kuras uzrakstīts skaitlis \(s_{1}\). Tā kā kastē ir bumbiņa, uz kuras uzrakstīts skaitlis \(s_{2}\), tad kastē ir jābūt bumbiņai, kuras krāsa ir \(k_{1}\) un uz kuras uzrakstīts skaitlis \(s_{2}\). Tātad, kastē ir divas bumbiņas, kuru krāsas ir \(k_{2}\) un \(k_{1}\) un uz tām uzrakstītie skaitļi ir attiecīgi \(s_{1}\) un \(s_{2}\), kas veido nepieciešamo bumbiņu pāri.

Pamatosim, ka \(N\) nevar būt lielāks kā \(2\). Tabulā parādīts piemērs, kurā visas uzdevumā minētās īpašības izpildās, bet nevar atrast \(N\) dažādu krāsu bumbiņas, uz kurām uzrakstīti visi skaitļi no \(1\) līdz \(N\).