Atrisinājums

Sanumurējam deputātus ar numuriem \(1, 2, 3, \ldots, n\). Ar \(k(d)\) apzīmējam visu komisiju skaitu, kurās strādā deputāts \(d\). No dotā izriet, ka deputāts \(d\) par darbu komisijās mēnesī saņem \(10 \cdot(0+1+2+\cdots+k(d)-1)=10 \cdot \frac{k(d)(k(d)-1)}{2}=10 \cdot C_{k(d)}^{2}\) eiro. Līdz ar to visi deputāti kopā par darbu komisijās mēnesī saņem \(10 \cdot\left(C_{k(1)}^{2}+C_{k(2)}^{2}+\cdots+C_{k(n)}^{2}\right)\) eiro.

Saskaitīsim, cik ir tādu pāru \(\{A; B\}\), ka \(A\) un \(B\) ir dažādas komisijas:

• Tā kā pavisam ir \(100\) komisijas, tad dažādo komisiju pāru skaits ir \(C_{100}^{2}=\frac{100 \cdot 99}{2}=4950\).
• Katram šādam pārim atbilst tieši viens deputāts \(d\), kas strādā gan \(A\), gan \(B\), tātad visus komisiju pārus var sadalīt \(n\) grupās tā, ka katram komisiju pārim \(\{A; B\}\) no \(d\) - tās grupas, \(d=1,2, \ldots, n\), ir kopīgs deputāts. Tādā gadījumā \(d\) - tajā grupā ir tieši \(C_{k(d)}^{2}\) komisiju pāri (jo no deputāta \(d\) apmeklētajām komisijām var izveidot \(C_{k(d)}^{2}\) komisiju pārus). Tā kā katrs komisiju pāris \(\{A; B\}\) pieder tieši vienai no šīm \(n\) grupām, tad no summas likuma izriet, ka pāru \(\{A; B\}\) skaits ir \(C_{k(1)}^{2}+C_{k(2)}^{2}+\cdots+C_{k(n)}^{2}\)

Vienu un to pašu lielumu esam saskaitījuši divos dažādos veidos, tātad abos gadījumos iegūtie skaitļi ir vienādi:

\[C_{k(1)}^{2}+C_{k(2)}^{2}+\cdots+C_{k(n)}^{2}=4950\]

Līdz ar to esam ieguvuši, ka visi parlamenta deputāti kopā par darbu komisijās mēnesī saņem \(10 \cdot\left(C_{k(1)}^{2}+C_{k(2)}^{2}+\cdots+C_{k(n)}^{2}\right)=49500\) eiro.