Atrisinājums

Mazākā \(k\) vērtība ir \(3\).

Ievērojam, ka \(k=2\) neder, jo, piemēram, izvēloties skaistus skaitļus \(2\) un \(9\) (dalītāju summa ir attiecīgi \(1+2=3\) un \(1+3+9=13\)), to reizinājums \(2 \cdot 9=18\) nav naturāla skaitļa kvadrāts.

Pierādīsim, ka ar \(k=3\) pietiek. Jebkuru naturālu skaitli \(n\) var izteikt formā \(n=2^{u} \cdot v\), kur \(v\) ir nepāra skaitlis. Skaidrs, ja \(n\) ir skaists, tad arī \(v\) ir skaists, jo visi \(n\) nepāra dalītāji ir visi \(v\) dalītāji, bet pāra dalītāji nemaina dalītāju summas paritāti. Visi \(v\) dalītāji ir nepāra skaitļi, sadalām tos pāros tā, ka vienā pārī ietilpst \(v\) dalītāji, kuru reizinājums ir \(v\). Iespējami divi gadījumi.

• Ja \(v\) nav naturāla skaitļa kvadrāts, tad visus dalītājus šādi var sadalīt pāros, tātad to summa ir pāra skaitlis, tātad \(v\) šādā gadījumā nav skaists.
• Ja \(v\) ir naturāla skaitļa kvadrāts, tas ir, \(v=k^{2}\), tad visi dalītāji, izņemot \(k\), sadalās pāros. Tātad šādā gadījumā dalītāju skaits ir nepāra skaitlis un to summa arī ir nepāra, tātad \(v\) ir skaists.

No tā secinām, ka \(n\) ir skaists, ja \(v\) ir kvadrāts.

Ja doti trīs skaisti skaitļi \(n_{1}=2^{u_{1}} \cdot v_{1},\ n_{2}=2^{u_{2}} \cdot v_{2}\) un \(n_{3}=2^{u_{3}} \cdot v_{3}\), tad divi no skaitļiem \(u_{1}, u_{2}\), \(u_{3}\) būs ar vienādu paritāti, ja sareizina attiecīgos skaistos skaitļus (pieņemsim, ka tie ir \(n_{1}\) un \(n_{2}\)), tad redzams, ka reizinājums \(n_{1} \cdot n_{2}=2^{u1+u2} v_{1}v_{2}\) ir naturāla skaitļa kvadrāts.