LV.VOL.2017.11.3 lv
Trīs riņķa līnijas \(\omega_{1},\ \omega_{2}\) un \(\omega_{3}\) krustojas punktā \(O\). Riņķa līnijas pa pāriem krustojas arī punktos \(P\left(\omega_{1}\right.\) un \(\left.\omega_{2}\right), R\left(\omega_{2}\right.\) un \(\left.\omega_{3}\right)\) un \(S\left(\omega_{1}\right.\) un \(\left.\omega_{3}\right)\). Uz \(\omega_{1}\) loka \(P S\), kas nesatur \(O\), izvēlēts punkts \(A\), taisne \(AP\) vēlreiz krusto \(\omega_{2}\) punktā \(B\), un taisne \(AS\) vēlreiz krusto \(\omega_{3}\) punktā \(C\). Pierādīt, ka punkti \(B,\ R\) un \(C\) atrodas uz vienas taisnes!
Atrisinājums
Savienojam punktu \(R\) ar \(B\) un \(C\) (skat. 3.att.), pietiek pierādīt, ka \(\sphericalangle BRC=180^{\circ}\). Tā kā ievilkta četrstūra pretējo leņķu summa ir \(180^{\circ}\) un blakusleņķu summa ir \(180^{\circ}\), tad \(\sphericalangle BRO=180^{\circ}-\sphericalangle BPO=\sphericalangle APO\). Līdzīgi iegūst \(\sphericalangle CRO=180^{\circ}-\sphericalangle CSO=\sphericalangle ASO\). Tātad \(\sphericalangle BRC=\sphericalangle BRO+\sphericalangle CRO=\sphericalangle APO+\sphericalangle ASO=180^{\circ}\) kā ievilktā četrstūra pretējo leņķu summa.
