Dots, ka \(b\) un \(c\) ir naturāli skaitļi un kvadrātvienādojuma \(x^{2}-bx+c=0\) reālās saknes ir \(x_{1}\) un \(x_{2}\). Pierādīt, ka (A) \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+2017\); (B) \(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}\) ir naturāls skaitlis!
No Vjeta teorēmas izriet, ka \(x_{1}+x_{2}=b\) un \(x_{1}x_{2}=c\). Tātad gan sakņu summa, gan sakņu reizinājums ir naturāls skaitlis un abas saknes ir pozitīvas.
(A) Pārveidojam doto izteiksmi:
\[\begin{gathered} x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+2017=x_{1}^{2}+2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}-2x_{1}x_{2}+2017=\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}-2x_{1}x_{2}+2017= \\ =b^{2}-2c+2017 \end{gathered}\]
Tā kā naturāla skaitļa kvadrāts ir naturāls skaitlis un naturālu skaitļu summa vai starpība ir vesels skaitlis, tad \(b^{2}-2c+2017\) ir vesels skaitlis, līdz ar to \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+2017\) arī ir vesels skaitlis. Ņemot vērā, ka \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+2017>0\), secinām, ka \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+2017\) ir naturāls skaitlis. **(B)** Pārveidojam doto izteiksmi:\[\begin{gathered} x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=\left(x_{1}+x_{2}\right)\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right)-x_{1}x_{2}^{2}-x_{1}^{2}x_{2}=b\left(b^{2}-2c\right)-x_{1}x_{2}\left(x_{2}+x_{1}\right)= \\ =b\left(b^{2}-2c\right)-cb=b^{3}-3bc \end{gathered}\]
Tā kā naturāla skaitļa kubs ir naturāls skaitlis un naturālu skaitļu starpība ir vesels skaitlis, tad \(b^{3}-3bc\) ir vesels skaitlis. Tā kā \(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}>0\), tad \(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}\) ir naturāls skaitlis. *Piezīme.* (B) gadīumā var izmantot formulu \(a^{3}+b^{3}=(a+b)\left(a^{2}-ab+b^{2}\right)\).