Divas funkcijas tiek definētas šādi: \(f(a)=a^{2}+3a+2\) un \(g(b; c)=b^{2}-b+3c^{2}+3c\). Pierādīt, ka jebkurai naturālai \(a\) vērtībai iespējams atrast tādas naturālas \(b\) un \(c\) vērtības, ka \(f(a)=g(b; c)\).
Ievērojam, ka \(f(a)=a^{2}+3a+2=(a+1)(a+2)\).
Ja \(a\) ir nepāra, tad der vērtības \(b=c=\frac{a+1}{2}\), jo tad
\[g(b; c)=g(b; b)=4b^{2}+2b=2b(2b+1)=2 \cdot \frac{a+1}{2} \cdot\left(2 \cdot \frac{a+1}{2}+1\right)=(a+1)(a+2)=f(a)\]
Ja \(a\) ir pāra, tad der vērtības \(b=\frac{a}{2}+2\) un \(c=\frac{a}{2}\), jo tad\[g(c+2; c)=4c^{2}+6c+2=(2c+1)(2c+2)=\left(2 \cdot \frac{a}{2}+1\right)\left(2 \cdot \frac{a}{2}+2\right)=(a+1)(a+2)=f(a)\]
*Piezīme.* Uzdevumu vieglāk atrisināt, ja sākumā aplūko funkcijas \(f\) vērtības dažām \(a\) vērtībām un atrod tām atbilstošo \(b\) un \(c\) vērtību: \(f(1)=g(1; 1)=6,\ f(2)=g(3; 1)=12,\ f(3)=g(2; 2)=20,\ f(4)=g(4; 2)=30\). Pēc tam var pamanīt, ka nepāra \(a\) vērtībai \(b=c\) un apskatīt funkciju\[g(b; b)=b^{2}-b+3b^{2}+3b=4b^{2}+2b=2b(2b+1)\]
Pāra \(a\) vērtībām izpildās \(b=c+2\), tāpēc var apskatīt funkciju\[g(c+2; c)=(c+2)^{2}-(c+2)+3c^{2}+3c=4c^{2}+6c+2=(2c+1)(2c+2)\]