LV.VOL.2016.12.2 lv
Trijstūrī \(ABC\) ievilktās riņķa līnijas \(\omega\) centrs ir \(I\). Uz malām \(AB\) un \(BC\) izvēlēti attiecīgi punkti \(P\) un \(Q\) tā, ka \(PI=QI\) un \(PB>QB\). Nogrieznis \(QI\) krusto \(\omega\) punktā \(T\). Taisne, kas pieskaras \(\omega\) punktā \(T\), krusto malas \(AB\) un \(BC\) attiecīgi punktos \(U\) un \(V\). Pierādīt, ka \(PU=UV+VQ\) !
Atrisinājums
Apzīmējam \(\omega\) pieskaršanās punktus malām \(AB\) un \(BC\) attiecīgi ar \(E\) un \(F\) (skat.att.). Tā kā \(PI=QI\) un \(EI=IF\), tad \(\triangle PEI=\triangle QFI\) pēc pazīmes \(kh\). Tātad
\[\begin{equation*} PE=QF \tag{1} \end{equation*}\]
kā vienādu trijstūru atbilstošās malas. Tā kā pieskares, kas vilktas no viena punkta pret riņķa līniju, ir vienāda garuma, tad\[\begin{equation*} UE=UT \tag{2} \end{equation*}\]
Saskaitot \((1)\) un \((2)\) iegūstam, ka \(PE+UE=UT+QF\). Savukārt, \(QF=QV+VF\), tāpēc \(PE+UE=UT+QV+VF\). Tā kā \(VF=VT\) (pieskares no viena punkta), tad \(PE+UE=UT+QV+VT\). No tā, ka \(PU=PE+UE\) un \(UV=UT+VT\), izriet \(PU=UV+VQ\).