LV.VOL.2016.11.2 lv
Šaurleņķu trijstūrim \(ABC(AB>AC)\) apvilktās riņķa līnijas centrs ir \(O\) un punkts \(D\) ir malas \(BC\) viduspunkts. Riņķa līnija ar diametru \(AD\) krusto malas \(AB\) un \(AC\) attiecīgi punktos \(E\) un \(F\). Uz nogriežņa \(EF\) atlikts punkts \(M\) tā, ka \(DM \parallel AO\). Pierādīt, ka trijstūri \(ABD\) un \(FDM\) ir līdzīgi!
Atrisinājums
Apzīmējam \(\sphericalangle BAC=\alpha, \sphericalangle ABC=\beta\) un \(\sphericalangle BCA=\gamma\).
Ievērojam, ka \(\sphericalangle EAD=\sphericalangle EFD\) kā ievilktie leņķi, kas balstās uz viena un tā paša loka (skat. 11.att.).
Tā kā \(\sphericalangle BOA=2 \sphericalangle BCA\) un \(\triangle BOA\) ir vienādsānu \((AO=OB)\), tad iegūstam \(\sphericalangle OAB=\frac{1}{2}\left(180^{\circ}-\sphericalangle BOA\right)=90^{\circ}-\sphericalangle BCA=90^{\circ}-\gamma\). Tā kā \(AD\) ir riņķa līnijas diametrs, tad \(\sphericalangle AFD=90^{\circ}\). No trijstūra \(DFC\) iegūstam, ka \(\sphericalangle FDC=90^{\circ}-\gamma\). Tā kā \(\sphericalangle ADC\) ir trijstūra \(ABD\) ārējais leņķis, tad \(\sphericalangle ADC=\sphericalangle DAB+\sphericalangle DBA.\) Ievērojam, ka \(\sphericalangle ADC=\sphericalangle ADM+\sphericalangle MDF+\sphericalangle FDC\) un \(\sphericalangle DAB+\sphericalangle DBA=\sphericalangle DAO+\sphericalangle OAB+\beta\). Tā kā \(\sphericalangle ADM=\sphericalangle DAO\) (kā iekšējie škērsleņķi pie paralēlām taisnēm \(DM\) un \(AO\)) un \(\sphericalangle FDC=\sphericalangle OAB=90^{\circ}-\gamma\), tad \(\sphericalangle MDF=\beta\). Tātad \(\sphericalangle ABD=\sphericalangle MDF\).
Līdz ar to \(\triangle ABD \sim \triangle FDM\) pēc pazīmes \(\ell \ell\).
