Pozitīviem skaitļiem \(a,\ b,\ c,\ d,\ e,\ f\) ir spēkā sakarības \(a^{2}+b^{2}=c^{2}\) un \(d^{2}+e^{2}=f^{2}\). Pierādīt, ka \((a+d)^{2}+(b+e)^{2} \leq(c+f)^{2}\).
Aplūkojam vektorus \(\vec{x}=(a; b)\) un \(\vec{y}=(d; e)\), tad
\(|\vec{x}|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{c^{2}}=c\) un \(|\vec{y}|=\sqrt{d^{2}+e^{2}}=\sqrt{f^{2}}=f\)
\(\vec{x}+\vec{y}=(a+d; b+e)\) un \(|\vec{x}+\vec{y}|=\sqrt{(a+d)^{2}+(b+e)^{2}}\)
Tad izteiksmi \((a+d)^{2}+(b+e)^{2} \leq(c+f)^{2}\) var pārrakstīt \(|\vec{x}+\vec{y}|^{2} \leq(|\vec{x}|+|\vec{y}|)^{2}\), kas ir patiesa, jo jebkuriem diviem vektoriem \(|\vec{x}+\vec{y}| \leq|\vec{x}|+|\vec{y}|\).